생성 집합

틀:위키데이터 속성 추적 범주론에서 생성 집합(生成集合, 틀:Llang, 틀:Lang)은 그 원소들의 쌍대곱의 몫 대상으로 모든 대상을 나타낼 수 있는, 범주 속의 대상 집합이다.

정의

범주 $𝒞$ 속의 대상들의 집합 $𝔊$가 다음 조건을 만족시킨다면, $𝒞$의 생성 집합이라고 한다.틀:Rp

• 임의의 두 사상 $f,g:X\to Y$에 대하여, 만약 $f\ne g$라면, $f\circ h\ne g\circ h$가 되는 대상 $G\in 𝔊$ 및 사상 $h:G\to X$가 존재한다.

  $G\stackrel{\mathrm{\exists }h}{\to }X\stackrel{f}{\rightrightarrows }gY$

만약 $𝒞$가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

• 다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.

  $\prod _{G\in 𝔊}{\mathrm{hom}}_{𝒞}(G,-):𝒞\to \mathrm{Set}$

  $\prod _{G\in 𝔊}{\mathrm{hom}}_{𝒞}(G,-):X\mapsto \prod _{G\in 𝔊}\mathrm{hom}(G,X)$

  $\prod _{G\in 𝔊}{\mathrm{hom}}_{𝒞}(G,-):(X\stackrel{f}{\to }Y)\mapsto ((h_G:G\to X{)}_{G\in 𝔊}\mapsto (f\circ h_G:G\to Y{)}_{G\in 𝔊})$

만약 $𝒞$가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 쌍대곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.

• 모든 대상 $X\in 𝒢$에 대하여, 다음과 같은 사상이 전사 사상이다.

  $\pi =\coprod _{G\in 𝔊,h\in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(G,X)}h$

  $\pi :\coprod _{G\in 𝔊,h\in \mathrm{hom}(G,X)}G\to X$

다시 말해, 모든 대상은 생성 집합에 속하는 대상들의 쌍대곱의 몫 대상과 동형이다.

만약 생성 집합 $𝔊=\{G\}$가 한원소 집합이라면, $G$를 $𝒞$의 생성 대상(틀:Llang, 틀:Lang)이라고 한다.

위 개념을 모두 쌍대화하여 쌍대 생성 집합(틀:Llang, 틀:Lang)과 쌍대 생성 대상(틀:Llang, 틀:Lang, 틀:Lang)을 정의할 수 있다. 범주 $𝒞$ 속의 대상들의 집합 $𝔊$가 다음 조건을 만족시킨다면, $𝒞$의 쌍대 생성 집합이라고 한다.틀:Rp

• 임의의 두 사상 $f,g:X\to Y$에 대하여, 만약 $f\ne g$라면, $h\circ f\ne h\circ g$가 되는 대상 $G\in 𝔊$ 및 사상 $h:Y\to G$가 존재한다.

  $X\stackrel{f}{\rightrightarrows }gY\stackrel{\mathrm{\exists }h}{\to }G$

만약 $𝒞$가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

• 다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.

  $\prod _{G\in 𝔊}{\mathrm{hom}}_{𝒞}(-,G):{𝒞}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$

  $\prod _{G\in 𝔊}{\mathrm{hom}}_{𝒞}(-,G):X\mapsto \prod _{G\in 𝔊}{\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,G)$

  $\prod _{G\in 𝔊}{\mathrm{hom}}_{𝒞}(-,G):(X\stackrel{f}{\to }Y)\mapsto ((h_G:Y\to G{)}_{G\in 𝔊}\mapsto (h_G\circ f:X\to G{)}_{G\in 𝔊})$

만약 $𝒞$가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.

• 모든 대상 $X\in 𝒢$에 대하여, 다음과 같은 사상이 단사 사상이다.

  $\pi =\prod _{G\in 𝔊,h\in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(X,𝔊)}h$

  $\pi :X\to \prod _{G\in 𝔊,h\in \mathrm{hom}(X,G)}G$

다시 말해, 모든 대상은 쌍대 생성 집합에 속하는 대상들의 곱의 부분 대상과 동형이다.

대수 구조의 경우

대수 구조 다양체의 범주 $𝒱$는 항상 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합의 범주로 가는 망각 함자 및 그 오른쪽 수반 함자인 자유 대상 함자

$\mathrm{Forget}:𝒱\rightleftarrows \mathrm{Set}:\mathrm{Free}$

를 생각하자. 이 경우, 한원소 집합 위의 자유 대상 $\mathrm{Free}(\{\bullet \})$은 항상 $𝒱$의 생성 대상을 이룬다. 한원소 집합 위의 자유 대상의 쌍대곱은 더 큰 집합 위의 자유 대상이다. 즉, 모든 집합 $S$에 대하여 다음이 성립한다.

$\coprod _{s\in S}\mathrm{Free}(\{s\})\cong \mathrm{Free}(S)$

따라서, $\mathrm{Free}(\{\bullet \})$이 생성 대상이라는 것은 $𝒱$에 속하는 모든 대수는 자유 대수의 몫대수로 나타낼 수 있음을 뜻한다.

대수 $A$를 이와 같이 자유 대수의 몫대수로 나타내는 것을 $A$의 표시(틀:Llang)라고 한다. 이는 일반적으로 다음과 같이 표기한다.

$A\cong ⟨S|(t_1=t_2{)}_{(t_1,t_2)\in \sim }⟩$

여기서

• $S$는 집합이다.
• $\sim$은 전사 사상 $\mathrm{Free}(S)\to A$를 정의하는, $\mathrm{Free}(S)$ 위의 합동 관계이다. 즉, $S$의 원소와 대수 구조 다양체 $𝒱$의 연산들로 적을 수 있는 두 항 $t_1,t_2\in \mathrm{Free}(S)$에 대한 등식 $t_1=t_2$의 꼴로 적을 수 있다.

군의 표시는 대수 구조의 표시의 특수한 경우다.

반면, 일반적으로 대수 구조 다양체의 범주는 쌍대 생성 대상을 가지지 않을 수 있다.

예

집합

집합 $S$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 집합과 함수의 범주 $\mathrm{Set}$의 생성 대상이다.
• 공집합이 아니다.

집합 $S$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 집합과 함수의 범주 $\mathrm{Set}$의 쌍대 생성 대상이다.
• 공집합이나 한원소 집합이 아니다.

위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주 $\mathrm{Top}$는 국소적으로 작은 범주이며, 완비 범주이며, 쌍대 완비 범주이다. 이 범주에서 한원소 공간 $\{\bullet \}$은 생성 대상이다. 구체적으로, 한원소 공간들의 쌍대곱은 이산 공간이며, 임의의 위상 공간 $X$에 대하여 $X$ 위에 이산 위상을 부여한 공간 $\mathrm{Disc}(\mathrm{Points}(X))$을 정의한다면, 수반 함자

$\mathrm{Points}:\mathrm{Top}\rightleftarrows \mathrm{Set}:\mathrm{Disc}$

의 쌍대단위원

$\eta :\mathrm{Disc}\circ \mathrm{Points}\Rightarrow {\mathrm{Id}}_{\mathrm{Top}}$

은 연속 함수

${\eta }_X:\mathrm{Disc}(\mathrm{Points}(X))\to X$

를 정의하며, 이는 (전단사 함수이므로) 전사 사상이자 단사 사상이다. 즉, 모든 위상 공간은 이산 공간의 범주론적 몫 대상으로 나타낼 수 있다.

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 위상 공간의 범주의 쌍대 생성 대상이다.
• 콜모고로프 공간이 아니다.

가군

모든 환은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 하자.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군의 범주 ${}_R\mathrm{Mod}$는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 한원소 집합 위의 자유 가군 ${}_{R}R$는 그 생성 대상을 이룬다. 마찬가지로, $R_R$는 오른쪽 가군의 범주 ${\mathrm{Mod}}_R$의 생성 대상을 이룬다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군의 범주 ${}_R\mathrm{Mod}$는 또한 항상 쌍대 생성 대상을 갖는다. 구체적으로, 환 $R$의 모든 왼쪽 단순 가군(=극대 왼쪽 아이디얼 ${}_R𝔐$에 대한 ${}_{R}R$의 몫가군 $R/𝔐$)들의 (동형류의) 단사 껍질들의 직합

$\underset{{}_R𝔐}{⨁}E{(}_{R}R/𝔐)$

을 ${}_R\mathrm{Mod}$의 표준 쌍대 생성 가군(틀:Llang)이라고 하며, 이는 ${}_R\mathrm{Mod}$의 쌍대 생성 대상을 이룬다.틀:Rp 특히, 모든 왼쪽 단순 가군들의 집합은 쌍대 생성 집합을 이룬다.

일반적으로, 자유 가군 ${}_{R}R$는 쌍대 생성 대상이 아닐 수 있다. 환 $R$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.틀:Rp

• 모든 충실한 $R$-왼쪽 가군은 ${}_R\mathrm{Mod}$의 쌍대 생성 대상이다.
• ${}_{R}R$는 단사 가군이며 유한 쌍대 생성 가군이다.
• ${}_{R}R$는 단사 가군이며, $R$의 모든 왼쪽 단순 가군은 왼쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, 왼쪽 카슈 환(틀:Llang)이다.)
• ${}_{R}R$는 ${}_R\mathrm{Mod}$의 쌍대 생성 대상이며, $R$의 모든 오른쪽 단순 가군은 오른쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, $R$는 오른쪽 카슈 환이다.)
• ${}_{R}R$는 ${}_R\mathrm{Mod}$의 쌍대 생성 대상이며, 오른쪽 단순 가군의 동형류의 수는 유한하다.

이 조건을 만족시키는 환을 왼쪽 유사 프로베니우스 환(틀:Llang)이라고 한다.

아벨 군

아벨 군의 개념은 정수환 $\mathbb{Z}$ 위의 가군과 같다. 이 경우 단순 가군은 소수 크기의 순환군 $\mathbb{Z}/p$이며, 그 단사 껍질은 프뤼퍼 군 $\mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }})$이다. 따라서 표준 쌍대 생성 가군은 모든 프뤼퍼 군들의 직합인 나눗셈군

$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}=\underset{p}{⨁}\mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }})$

이다.틀:Rp 즉, 모든 아벨 군 $G$는 직접곱

$\prod _{|G|}(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$

보다 일반적으로, 임의의 데데킨트 정역 $D$에 대하여, 표준 쌍대 생성 가군은 분수체의 몫가군 $(\mathrm{Frac}D)/D$이다.틀:Rp

(쌍대) 생성 집합이 없는 범주

범주 $\mathrm{Set}\times \mathrm{Set}$는 생성 대상을 갖지 않는다. 그러나

$\{(\{\bullet \},\varnothing ),(\varnothing ,\{\bullet \})\}$

는 $\mathrm{Set}\times \mathrm{Set}$ 생성 집합을 이룬다.틀:Rp

다음 범주들은 쌍대 생성 집합을 갖지 않는다.틀:Rp

• 군의 범주 $\mathrm{Grp}$. (단순군의 크기는 상한을 갖지 않는다.)
• 환의 범주 $\mathrm{Ring}$. (단순환, 특히 체의 크기는 상한을 갖지 않는다.)
• 하우스도르프 공간의 범주 $\mathrm{HausTop}$

같이 보기

• 생성함수 (수학)
• 대칭 (물리학)
• 입자물리학
• 초대칭
• 게이지 이론
• 장 (물리학)

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용