코호몰로지 연산

틀:위키데이터 속성 추적 대수적 위상수학에서 코호몰로지 연산(cohomology演算, 틀:Llang)은 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환, 또는 이를 나타내는 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류이다.

정의

1차 코호몰로지 연산

자연수 $m,n\in \mathbb{N}$ 및 아벨 군 $G,H\in \mathrm{Ab}$에 대하여, $(m,n;G,H)$형 1차 코호몰로지 연산(틀:Llang)은 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수의 호모토피류

$A:K(G,m)\to K(H,n)$

이다. $(m,n;G,H)$형 1차 코호몰로지 연산들의 집합은 에일렌베르크-매클레인 공간의 코호몰로지

${\mathrm{H}}^n(K(G,m);H)$

를 이룬다. $(m,n;G,H)$형 1차 코호몰로지 연산 $\alpha$는 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환

$A_{*}:{\mathrm{H}}^m(-;G)\Rightarrow {\mathrm{H}}^n(-;H)$

을 유도한다.

2차 코호몰로지 연산

에일렌베르크-매클레인 공간은 다음과 같은 세르 올뭉치를 갖는다.

$K(H,n-1)\simeq \mathrm{\Omega }K(H,n)\hookrightarrow 𝒫K(H,n)\twoheadrightarrow K(H,n)$

여기서 $\mathrm{\Omega }X=[{𝕊}^1,X{]}_{\bullet }$는 고리 공간, $𝒫X=[𝕀,X{]}_{\bullet }$는 밑점에서 시작하는 경로 공간을 뜻한다. 임의의 1차 코호몰로지 연산 $\alpha \in {\mathrm{H}}^n(K(G,m);H)$에 대하여, 올뭉치의 당김

$K(H,n-1)\stackrel{\iota }{\hookrightarrow }{\alpha }^{*}𝒫K(H,n)\stackrel{\pi }{\twoheadrightarrow }K(G,m)$

을 정의할 수 있다. $A$ 위의 $(H^{\prime },n^{\prime })$형 2차 코호몰로지 연산은 $A^{*}𝒫K(H,n)$ 위의 코호몰로지류

$B\in {\mathrm{H}}^{n^{\prime }}({\alpha }^{*}𝒫K(H,n),n^{\prime })$

이다. 즉, 다음과 같은 호모토피류들이 존재한다.

$\begin{array}{ccccc}K(H,n-1)& \stackrel{\iota }{\hookrightarrow }& A^{*}𝒫K(H,n)& \stackrel{\pi }{\twoheadrightarrow }& K(G,m)\\ & & \downarrow B\\ & & K(H^{\prime },n^{\prime })\end{array}$

그렇다면,

$B\circ \iota :K(H,n-1)\to A^{*}𝒫K(H,n)\to K(H^{\prime },n^{\prime })$

를 사용하여

$(B\circ \iota {)}_{*}:{\mathrm{H}}^{n-1}(X;H)\to {\mathrm{H}}^{n^{\prime }}(X;H^{\prime })$

를 정의할 수 있다.

2차 코호몰로지 연산 $B\in {\mathrm{H}}^{n^{\prime }}({\alpha }^{*}𝒫K(H,n),n^{\prime })$는 코호몰로지류 위의 함수

$B_{*}:(\ker A_{*}\subseteq {\mathrm{H}}^m(X,G))\to \frac{{\mathrm{H}}^{n^{\prime }}(X;H^{\prime })}{(B\circ \iota {)}_{*}{\mathrm{H}}^{n-1}(X;H)}$

를 정의한다. 구체적으로, 코호몰로지류

$\alpha :X\to K(G,m)$

가 주어졌을 때,

$B_{*}(\alpha )=B\circ {\pi }^{-1}\circ a:X\to {\mathrm{H}}^{n^{\prime }}(X;H^{\prime })$

이다. 여기서 사용한 역함수 ${\pi }^{-1}$는 일반적으로 잘 정의되지 않는다. 하지만,

• ${\pi }^{-1}$는 $\ker A_{*}$ 위에서 항상 하나 이상의 값을 갖는다.
• ${\pi }^{-1}$는 일반적으로 여러 개의 값을 가지지만, 가능한 값들의 차는 모두 $(B\circ \iota {)}_{*}{\mathrm{H}}^{n-1}(X;H)$에 속한다.

고차 코호몰로지 연산

보다 일반적으로, $k$차 코모홀로지 연산에 대응하는 $k+1$차 코호몰로지 연산의 개념을 정의할 수 있다. 예를 들어, 1차 코호몰로지 연산 $A_1:K(G_0,n_0)\to K(G_1,n_1)$에 대한 2차 코호몰로지 연산 $A_2:A_1^{*}𝒫K(G_1,n_1)\to K(G_2,n_2)$이 주어졌다고 할 때, 그 위의 3차 코호몰로지 연산은 호모토피류 $A_3:A_2^{*}𝒫K(G_2,n_2)\to K(G_3,n_3)$이다. 즉, 다음과 같다.

$\begin{array}{ccccc}K(G_1,n_1-1)& \stackrel{{\iota }_1}{\hookrightarrow }& A_1^{*}𝒫K(G_1,n_1)& \stackrel{{\pi }_1}{\twoheadrightarrow }& K(G_0,n_0)\\ & & \downarrow A_2\\ & & K(G_2,n_2)\end{array}$

$\begin{array}{ccccc}K(G_2,n_2-1)& \stackrel{{\iota }_2}{\hookrightarrow }& A_2^{*}𝒫K(G_2,n_2)& \stackrel{{\pi }_2}{\twoheadrightarrow }& A_1^{*}𝒫K(G_1,n_1)\\ & & \downarrow A_3\\ & & K(G_3,n_3)\end{array}$

이는 연산

$A_3^{*}:(\ker A_2^{*}\subseteq {\mathrm{H}}^{n_0}(-;G_0))\to \frac{{\mathrm{H}}^{n_3}(-;G_3)}{(A_3\circ {\iota }_2{)}^{*}{\mathrm{H}}^{n_2-1}(-;G_2)}$

을 정의한다.

예

특이 코호몰로지에 대하여 정의되는 코호몰로지 연산은 다음을 들 수 있다.

• 합곱 $⌣:K(G,m)\times K(G,n)\to K(G,m+n)$. 이는 불안정 연산이다.
• 스틴로드 제곱 ${\mathrm{Sq}}^i:K(\mathbb{Z}/2,n)\to K(\mathbb{Z}/2,n+i)$
• 스틴로드 축소 제곱 $P^i:K(\mathbb{Z}/p,n)\to K(\mathbb{Z}/p,n+2i(p-1)$, $p$ 소수
• 폰트랴긴 제곱 $K(\mathbb{Z}/p^r,2n)\to K(\mathbb{Z}/p^{r+1},2pn)$
• 아벨 군의 짧은 완전열 $G/N=H$에 대하여, 복시테인 준동형 $K(H,n)\to K(N,n+1)$
• 포스트니코프 제곱
• 매시 곱. 이는 2차 코호몰로지 연산이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
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외부 링크

• 틀:Nlab
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