단조 정규 공간

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 단조 정규 공간(틀:Llang)은 서로소 닫힌집합을 분리하는 서로소 열린집합을 단조함수를 통해 고를 수 있는 정규 공간이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $(X,{𝒯}_X)$
• $X$의 부분 집합의 순서쌍들의 집합 $𝒜\subseteq 𝒫(X)\times 𝒫(X)$

그렇다면, 단조 정규성 연산자(틀:Llang) $G:𝒜\to {𝒯}_X$는 다음 두 조건을 만족시키는 함수이다.

• $𝒜$에 부분 순서 $(A,B)\le (A^{\prime },B^{\prime })⟺A\subseteq A^{\prime }\wedge B\supseteq B^{\prime }$를 주었을 때, $G$는 단조함수이다.
• $\mathrm{\forall }(A,B)\in 𝒜:A\subseteq G(A,B)\subseteq \mathrm{cl}G(A,B)\subseteq X\setminus B$

만약 다음 조건을 추가로 만족시키면, 자기 서로소 단조 정규성 연산자(틀:Llang)라고 한다.

$\mathrm{\forall }(A,B)\in 𝒜\cap {𝒜}^{-1}:G(A,B)\cap G(B,A)=\varnothing$

단조 정규성 연산자 $G:𝒜\to {𝒯}_X$가 주어졌을 때, 만약 $𝒜={𝒜}^{-1}$라면,

$H:𝒜\to {𝒯}_X$

$H(E,F)=G(E,F)\setminus \mathrm{cl}G(F,E)$

는 자기 서로소 단조 정규성 연산자를 이룬다.

다음과 같은 집합들을 정의하자.

${𝒮}_X=\{(A,B)\in 𝒫(X)\times 𝒫(X{)}^{\mathrm{op}}:A\cap \mathrm{cl}B=\mathrm{cl}A\cap B=\varnothing \}\subseteq 𝒫(X)\times 𝒫(X{)}^{\mathrm{op}}$

${𝒟}_X=\{(E,F):\mathrm{Clsd}(X)\times \mathrm{Clsd}(X{)}^{\mathrm{op}}:E\cap F=\varnothing \}\subseteq 𝒫(X)\times 𝒫(X{)}^{\mathrm{op}}$

${𝒩}_X=\{(x,F)\in X\times \mathrm{Clsd}(X{)}^{\mathrm{op}}:x\in X\setminus F\}\subseteq 𝒫(X)\times 𝒫(X{)}^{\mathrm{op}}$

그렇다면, 항상 ${𝒟}_X\subseteq {𝒮}_X$이며, $X$가 T₁ 공간이라면 ${𝒩}_X\subseteq {𝒟}_X$이다.

위상 공간 $(X,{𝒯}_X)$가 다음 조건을 만족시키면, 단조 정규 공간이라고 한다.

• 단조 정규성 연산자 ${𝒟}_X\to {𝒯}_X$가 존재한다.

T₁ 공간 $(X,{𝒯}_X)$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 단조 정규성 연산자 ${𝒮}_X\to {𝒯}_X$가 존재한다.
• 단조 정규성 연산자 ${𝒟}_X\to {𝒯}_X$가 존재한다.
• 자기 서로소 단조 정규성 연산자 ${𝒩}_X\to {𝒯}_X$가 존재한다.

틀:증명 $X$가 T₁ 공간이므로,

${𝒩}_X\subseteq {𝒟}_X\subseteq {𝒮}_X$

이다. 따라서, 만약 $G:{𝒮}_X\to {𝒯}_X$가 단조 정규성 연산자라면, $G\upharpoonright {𝒟}_X:{𝒟}_X\to {𝒯}_X$ 역시 단조 정규성 연산자이다. 만약 $G:{𝒟}_X\to {𝒯}_X$가 자기 서로소 단조 정규성 연산자라면, $G\upharpoonright {𝒩}_X:{𝒩}_X\to {𝒯}_X$ 역시 자기 서로소 단조 정규성 연산자이다. 즉, 첫 번째 조건은 두 번재 조건을 함의하며, 두 번째 조건은 세 번째 조건을 함의한다. 이제, 자기 서로소 단조 정규성 연산자

$G:{𝒩}_X\to {𝒯}_X$

가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 함수를 정의하자.

$H:{𝒮}_X\to {𝒯}_X$

$H(A,B)=\bigcup _{a\in A}G(a,\mathrm{cl}B)$

만약

$(A,B),(A^{\prime },B^{\prime })\in {𝒮}_X$

$A\subseteq A^{\prime }$

$B\supseteq B^{\prime }$

라면, 자명하게 $H(A,B)\subseteq H(A^{\prime },B^{\prime })$이다. 또한, 임의의 $(A,B)\in {𝒮}_X$에 대하여,

$A=\bigcup _{a\in A}\{a\}\subseteq \bigcup _{a\in A}G(a,\mathrm{cl}B)=H(A,B)$

$B=\bigcup _{b\in B}\{b\}\subseteq \bigcup _{b\in B}G(b,\mathrm{cl}A)=\mathrm{int}\bigcup _{b\in B}G(b,\mathrm{cl}A)\subseteq \mathrm{int}(X\setminus H(A,B))=X\setminus \mathrm{cl}H(A,B)$

$H(A,B)\cap H(B,A)=\bigcup _{a\in A}\bigcup _{b\in B}(G(a,\mathrm{cl}B)\cap G(b,\mathrm{cl}A))\subseteq \bigcup _{a\in A}\bigcup _{b\in B}(G(a,b)\cap G(b,a))=\bigcup _{a\in A}\bigcup _{b\in B}\varnothing =\varnothing$

이다. 따라서, $H$는 단조 정규성 연산자이다. 틀:증명 끝

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

거리화 가능 공간	→	단조 정규 하우스도르프 공간	→	완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간	→	집합족적 정규 하우스도르프 공간
	↘			↓		↓
		완전 정규 하우스도르프 공간 (T6)	→	완비 정규 하우스도르프 공간 (T5)	→	정규 하우스도르프 공간 (T4)

틀:증명 모든 거리 공간 $(X,d)$가 단조 정규 공간임을 보이면 충분하다. 다음과 같은 함수를 정의하자.

$G:{𝒟}_X\to {𝒯}_X$

$G(E,F)=\{x\in X:\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}\in [0,1/2)\}$

그렇다면,

$x\mapsto \frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}$

가 연속 함수 $X\to [0,1]$이므로, $G(E,F)\subseteq X$는 열린집합이다. 만약

$(E,F),(E^{\prime },F^{\prime })\in {𝒟}_X$

$E\subseteq E^{\prime }$

$F\supseteq F^{\prime }$

라면,

$\mathrm{\forall }x\in X:\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}\ge \frac{d(x,E^{\prime })}{d(x,E^{\prime })+d(x,F^{\prime })}$

이므로,

$G(E,F)\subseteq G(E^{\prime },F^{\prime })$

이다. 또한,

$E=\{x\in X:\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}=0\}\subseteq G(E,F)$

$F=\{x\in X:\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}=1\}\subseteq \{x\in X:\frac{d(x,E)}{d(x,E)+d(x,F)}\in (1/2,1]\}\subseteq X\setminus \mathrm{cl}G(E,F)$

이다. 즉, $G:{𝒟}_X\to {𝒯}_X$는 단조 정규성 연산자이다. 틀:증명 끝 틀:증명 단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이므로, 모든 단조 정규 하우스도르프 공간이 집합족적 정규 공간임을 보이면 충분하다. 단조 정규 하우스도르프 공간 $X$ 및 자기 서로소 단조 정규성 연산자

$G:{𝒟}_X\to {𝒯}_X$

및 닫힌집합들의 이산 집합족

$ℱ\subseteq 𝒫(X)$

$\mathrm{\forall }x\in X\mathrm{\exists }U\in {𝒯}_X:x\in U\wedge |\{F\in ℱ:U\cap F\ne \varnothing \}|<{\mathrm{\aleph }}_0$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 열린집합들의 서로소 집합족

$\{U(F){\}}_{F\in ℱ}\subseteq {𝒯}_X$

$\mathrm{\forall }E\in ℱ\mathrm{\forall }F\in ℱ\setminus \{E\}:U(E)\cap U(F)=\varnothing$

$\mathrm{\forall }F\in ℱ:F\subseteq 𝒰(F)$

을 찾으면 충분하다. 모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이므로, 폐포와 합집합 연산의 순서를 교환할 수 있다. 특히, 닫힌집합들의 이산 집합족의 합집합은 닫힌집합이다. 이제, 임의의 $F\in ℱ$에 대하여,

$U(F)=G(F,\bigcup ℱ\setminus \{F\})\subseteq X$

라고 하자. $G$의 정의에 따라, $U(F)$는 열린집합이며, $F\subseteq U(F)$이다. 만약 $E,F\in ℱ$이며 $E\ne F$라면,

$U(E)\cap U(F)\subseteq G(E,F)\cap G(F,E)=\varnothing$

이다. 즉, $\{U(F){\}}_{F\in ℱ}$는 서로소 집합족이다. 틀:증명 끝 순서 위상을 갖춘 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다.틀:Rp 틀:증명 임의의 전순서 집합 $(X,\le )$ 위에 순서 위상을 주자. 다음 두 조건을 보이면 충분하다.

• (T₁) 모든 한원소 집합은 닫힌집합이다.
• (단조 정규성) 자기 서로소 단조 정규성 연산자 $G:{𝒩}_X\to {𝒯}_X$가 존재한다.

T₁. 임의의 $x\in X$에 대하여,

$\{x\}=[x,x]=X\setminus ((-\mathrm{\infty },x)\cup (x,\mathrm{\infty }))$

이므로 한원소 집합 $\{x\}$는 닫힌집합이다.

단조 정규성. 선택 공리와 동치인 정렬 정리에 따라, $X$ 위에 임의의 정렬 전순서 $W$를 주자. 임의의 닫힌집합 $F\subseteq X$ 및 점 $x\in X\setminus F$에 대하여, 다음과 같이 정의하자.

• $C(x,F)$는 $x$를 포함하는 $X\setminus F$의 순서 볼록 성분이다.
• 만약 $C(x,F)\cap (-\mathrm{\infty },x)\ne \varnothing$이라면, $a(x,F)=\min {\mathrm{\backslash nolimits}}_{(X,W)}(C(x,F)\cap (-\mathrm{\infty },x))$
• 만약 $C(x,F)\cap (x,\mathrm{\infty })\ne \varnothing$이라면, $b(x,F)=\min {\mathrm{\backslash nolimits}}_{(X,W)}(C(x,F)\cap (x,\mathrm{\infty }))$

이제,

$G(x,F)=\{\begin{array}{cc}(a(x,F),b(x,F))& C(x,F)\cap (-\mathrm{\infty },x)\ne \varnothing \ne C(x,F)\cap (x,\mathrm{\infty })\\ (a(x,F),x]& C(x,F)\cap (-\mathrm{\infty },x)\ne \varnothing =C(x,F)\cap (x,\mathrm{\infty })\\ [x,b(x,F))& C(x,F)\cap (-\mathrm{\infty },x)=\varnothing \ne C(x,F)\cap (x,\mathrm{\infty })\\ \{x\}& C(x,F)\cap (-\mathrm{\infty },x)=\varnothing =C(x,F)\cap (x,\mathrm{\infty })\end{array}$

라고 하자. $G:{𝒩}_X\to {𝒯}_X$가 자기 서로소 단조 정규성 연산자임을 보이면 충분하다.

• $G(x,F)$는 열린집합이다.
  • $C(x,F)\cap (-\mathrm{\infty },x)\ne \varnothing =C(x,F)\cap (x,\mathrm{\infty })$인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) $x\in X\setminus F$이며 $X\setminus F$가 열린집합이므로, $x\in (a,b)\subseteq X\setminus F$인 $a,b\in X$가 존재한다. $(a,b)$는 $x$를 포함하는 순서 볼록 집합이므로, $(a,b)\subseteq C(x,F)$이다. $C(x,F)\cap (x,\mathrm{\infty })=\varnothing$이므로, $(x,b)=\varnothing$이다. 따라서, $(a(x,F),b)=(a(x,F),x]=G(x,F)$이다.
• $x\in G(x,F)$
  • 이는 자명하다.
• $\mathrm{cl}G(x,F)\subseteq X\setminus F$
  • $C(x,F)\cap (-\mathrm{\infty },x)\ne \varnothing =C(x,F)\cap (x,\mathrm{\infty })$인 경우를 생각하자. 이 경우, $\mathrm{cl}G(x,F)=\mathrm{cl}(a(x,F),x]\subseteq [a(x,F),x]\subseteq C(x,F)\subseteq X\setminus F$이다.
• 만약 $E,F\subseteq X$가 닫힌집합이며, $x\in X\setminus F\subseteq X\setminus E$라면, $G(x,E)\subseteq G(x,F)$
  • $C(x,E)\cap (-\mathrm{\infty },x)\ne \varnothing =C(x,E)\cap (x,\mathrm{\infty })$이며 $C(x,F)\cap (-\mathrm{\infty },x)\ne \varnothing =C(x,F)\cap (x,\mathrm{\infty })$인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, $G(x,E)=(a(x,E),x]$, $G(x,F)=(a(x,F),x]$이다. 만약 $a(x,E)=a(x,F)$라면, $G(x,E)=G(x,F)$이며, 특히 $G(x,E)\subseteq G(x,F)$이다. 이제, $a(x,E)\ne a(x,F)$라고 가정하자. $X\setminus F\subseteq X\setminus E$이므로, $C(x,F)\subseteq C(x,E)$이다. 따라서, $a(x,E){\le }_{W}a(x,F)$이며, $a(x,E)\ne a(x,F)$이므로 $a(x,E){<}_{W}a(x,F)$이다. $a(x,F)$의 정의에 따라, $a(x,E)$는 $C(x,F)$의 원소일 수 없다. 따라서, $a(x,E)<a(x,F)$이며, $G(x,E)\subseteq G(x,F)$이다.
• 임의의 서로 다른 $x,y\in X$에 대하여, $G(x,y)\cap G(y,x)=\varnothing$
  • $C(x,y)\cap (-\mathrm{\infty },x)=\varnothing \ne C(x,y)\cap (x,\mathrm{\infty })$이며 $C(y,x)\cap (-\mathrm{\infty },y)\ne \varnothing =C(y,x)\cap (y,\mathrm{\infty })$인 경우를 생각하자. (나머지 경우의 증명은 유사하다.) 이 경우, $G(x,y)=[x,b(x,y))$, $G(y,x)=(a(y,x),y]$이다. 귀류법을 사용하여, $G(x,y)\cap G(y,x)\ne \varnothing$이라고 가정하자. $[x,b(x,y)]\subseteq C(x,y)\subseteq X\setminus \{y\}$, $[a(y,x),y]\subseteq C(y,x)\subseteq X\setminus \{x\}$이므로, $x<a(y,x)<b(x,y)<y$일 수밖에 없다. 따라서 $a(y,x)=\min {\mathrm{\backslash nolimits}}_{(X,W)}(x,y)=b(x,y)$이며, 이는 모순이다.

연산에 대한 닫힘

단조 정규 하우스도르프 공간의 모든 부분 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이다. 반대로, 위상 공간 $X$가 단조 정규 하우스도르프 닫힌집합들로 구성된 국소 유한 덮개를 갖는다면, 단조 정규 하우스도르프 공간이다. 틀:증명 단조 정규 하우스도르프 공간 $X$ 및 단조 정규성 연산자

$G:{𝒮}_X\to {𝒯}_X$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 $Y\subseteq X$에 대하여,

${𝒮}_Y\subseteq {𝒮}_X$

이며,

$H:{𝒮}_Y\to {𝒯}_Y$

$H(A,B)=G(A,B)\cap Y$

는 단조 정규성 연산자이다. 틀:증명 끝

단조 정규 하우스도르프 공간 $X$ 및 닫힌 연속 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 그 상 $f(X)$는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.틀:Rp 틀:증명 편의상 $f(X)=Y$라고 하자. 단조 정규성 연산자

$G:{𝒟}_X\to {𝒯}_X$

가 주어졌을 때, 다음과 같은 함수를 정의하자.

$H:{𝒟}_Y\to {𝒯}_Y$

$H(E,F)=Y\setminus f(X\setminus G(f^{-1}(E),f^{-1}(F)))$

이는 자명하게 단조함수이다.

$f^{-1}(H)\subseteq G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))$

$f^{-1}(K)\subseteq X\setminus \mathrm{cl}G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))$

이므로,

$H\subseteq Y\setminus f(X\setminus G(f^{-1}(E),f^{-1}(F)))=H(E,F)$

$\begin{array}{cc}K& \subseteq Y\setminus f(\mathrm{cl}G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)))\\ & =\mathrm{int}(Y\setminus f(\mathrm{cl}G(f^{-1}(H),f^{-1}(K))))\\ & =\mathrm{int}f(X\setminus G(f^{-1}(H),f^{-1}(K)))\\ & =\mathrm{int}(X\setminus H(E,F))\\ & =X\setminus \mathrm{cl}H(E,F)\end{array}$

이다. 따라서, $H$는 단조 정규성 연산자이다. 틀:증명 끝

단조 정규 하우스도르프 공간 $X,Y$ 및 닫힌집합 $Z\subseteq X$ 및 연속 함수 $f:Z\to Y$에 대하여, 붙임 공간 $X{\cup }_{f}Y$는 단조 정규 하우스도르프 공간이다.틀:Rp 틀:증명 다음 두 조건을 보이는 것으로 충분하다.

• $X{\cup }_{f}Y$는 T₁ 공간이다. 즉, 모든 한원소집합은 닫힌집합이다.
• $X{\cup }_{f}Y$는 단조 정규 공간이다. 즉, 단조 정규성 연산자 $G:{𝒟}_{X{\cup }_{f}Y}\to {𝒯}_{X{\cup }_{f}Y}$가 존재한다.

T₁. 표준적인 연속 함수

$g:X\to X{\cup }_{f}Y$

$h:Y\to X{\cup }_{f}Y$

를 생각하자. 그렇다면, 부분 집합 $U\subseteq X{\cup }_{f}Y$이 열린집합일 필요충분조건은 $g^{-1}(U)\subseteq X$와 $h^{-1}(U)\subseteq Y$가 둘 다 열린집합인 것이다. 마찬가지로, 닫힌집합일 필요충분조건은 $g^{-1}(U)\subseteq X$와 $h^{-1}(U)\subseteq Y$가 둘 다 닫힌집합인 것이다. 또한, $g\upharpoonright X\setminus Z$는 열린 위상수학적 매장이며, $h$는 닫힌 위상수학적 매장이며,

$g(X\setminus Z)\cup h(Y)=X{\cup }_{f}Y$

$g(X\setminus Z)\cap h(Y)=\varnothing$

이다. (그러나 $X{\cup }_{f}Y$는 두 상의 분리합공간일 필요가 없다.) 이제, 임의의 $x\in X\setminus Z$ 및 $y\in Y$에 대하여,

$g^{-1}(g(x))=\{x\}\subseteq X$

$h^{-1}(g(x))=\varnothing \subseteq Y$

$g^{-1}(h(y))=f^{-1}(y)\subseteq Z\subseteq X$

$h^{-1}(h(y))=\{y\}\subseteq Y$

이다. 따라서, $g(x)$와 $h(y)$는 닫힌집합이며, $X{\cup }_{f}Y$는 T₁ 공간이다.

단조 정규성. 단조 정규성 연산자

$G_1:{𝒮}_X\to {𝒯}_X$

$G_2:{𝒮}_Y\to {𝒮}_Y$

가 주어졌다고 하자. 임의의 서로소 닫힌집합 $E,F\subseteq X{\cup }_{f}Y$에 대하여,

$(g^{-1}(E),g^{-1}(F))\in {𝒟}_X\subseteq {𝒮}_X$

$(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\in {𝒟}_Y\subseteq {𝒮}_Y$

이다. 이제,

$A(E,F)=g^{-1}(E)\cup f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X$

$B(E,F)=g^{-1}(F)\cup Z\setminus f^{-1}({\mathrm{cl}}_Y{G}_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X$

라고 하자. 그렇다면, $(A,B)\in {𝒮}_X$이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.

$\begin{array}{cc}{\mathrm{cl}}_X{f}^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))& \subseteq f^{-1}({\mathrm{cl}}_Y{G}_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\ & =Z\setminus (Z\setminus f^{-1}({\mathrm{cl}}_Y{G}_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{cl}}_X(Z\setminus f^{-1}({\mathrm{cl}}_Y{G}_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))& ={\mathrm{cl}}_X(Z\setminus f^{-1}({\mathrm{cl}}_Y{G}_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cap Z\\ & ={\mathrm{cl}}_Z(Z\setminus f^{-1}({\mathrm{cl}}_Y{G}_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\ & =Z\setminus {\mathrm{int}}_Z{f}^{-1}({\mathrm{cl}}_Y{G}_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\ & \subseteq X\setminus {\mathrm{int}}_Z{f}^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\ & =X\setminus f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{cl}}_X{g}^{-1}(E)& \subseteq g^{-1}({\mathrm{cl}}_{X{\cup }_{f}Y}E)\\ & =g^{-1}(E)\\ & \subseteq (X\setminus Z)\cup (g^{-1}(E)\cap Z)\\ & =(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(E))\\ & \subseteq (X\setminus Z)\cup f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\ & \subseteq (X\setminus {\mathrm{cl}}_X(Z\setminus f^{-1}({\mathrm{cl}}_Y{G}_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))))\cup (X\setminus {\mathrm{cl}}_X(Z\setminus f^{-1}({\mathrm{cl}}_Y{G}_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))))\\ & =X\setminus {\mathrm{cl}}_X(Z\setminus f^{-1}({\mathrm{cl}}_Y{G}_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mathrm{cl}}_X{g}^{-1}(F)& \subseteq g^{-1}({\mathrm{cl}}_{X{\cup }_{f}Y}F)\\ & =g^{-1}(F)\\ & \subseteq (X\setminus Z)\cup (g^{-1}(F)\cap Z)\\ & =(X\setminus Z)\cup f^{-1}(h^{-1}(F))\\ & \subseteq (X\setminus Z)\cup f^{-1}(Y\setminus {\mathrm{cl}}_Y{G}_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\ & \subseteq (X\setminus {\mathrm{cl}}_X{f}^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup (X\setminus {\mathrm{cl}}_X{f}^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\ & =X\setminus {\mathrm{cl}}_X{f}^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\end{array}$

이제,

$f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))=V(E,F)\cap Z$

인 열린집합 $V(E,F)\subseteq X$을 잡고,

$U(E,F)=G_1(A(E,F),B(E,F))\cap (X\setminus Z\cup V(E,F))\subseteq X$

$G(E,F)=g(U(E,F))\cup h(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\subseteq X{\cup }_{f}Y$

라고 하자.

$\begin{array}{cc}{g}^{-1}(G(E,F))& =U(E,F)\cup f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\ & =U(E,F)\cup (f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\cap G_1(A(E,F),B(E,F)))\cap \\ & =U(E,F)\cup (V(E,F)\cap Z\cap G_1(A(E,F),B(E,F)))\\ & =U(E,F)\cup (U(E,F)\cap Z)\\ & =U(E,F)\subseteq X\end{array}$

$\begin{array}{cc}{h}^{-1}(G(E,F))& =h^{-1}(g(U(E,F)\cap Z))\cup h^{-1}(h(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\ & =h^{-1}(g(f^{-1}(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\cup G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\\ & =G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))\subseteq Y\end{array}$

는 모두 열린집합이므로, $G(E,F)\subseteq X{\cup }_{f}Y$는 열린집합이다. 또한,

$\begin{array}{cc}E& =(E\cap g(X\setminus Z))\cup (E\cap h(Y))\\ & \subseteq g(g^{-1}(E)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(E))\\ & \subseteq g(A(E,F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(E))\\ & \subseteq g(G_1(A(E,F),B(E,F))\setminus Z)\cup h(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\ & \subseteq g(U(E,F))\cup h(G_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F)))\\ & =G(E,F)\end{array}$

$\begin{array}{cc}F& =(F\cap g(X\setminus Z))\cup (F\cap h(Y))\\ & \subseteq g(g^{-1}(F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\ & \subseteq g(B(E,F)\setminus Z)\cup h(h^{-1}(F))\\ & \subseteq g(X\setminus {\mathrm{cl}}_X{G}_1(A(E,F),B(E,F))\setminus Z)\cup (X{\cup }_{f}Y\setminus h({\mathrm{cl}}_Y{G}_2(h^{-1}(E),h^{-1}(F))))\\ & \subseteq X{\cup }_{f}Y\setminus {\mathrm{cl}}_{X{\cup }_{f}Y}G(E,F)\end{array}$

이며 ($g\upharpoonright X\setminus Z$가 열린 매장이며 $h$가 닫힌 매장이라는 사실을 사용하였다), 만약

$(E,F),(E^{\prime },F^{\prime })\in {𝒟}_{X{\cup }_{f}Y}$

$E\subseteq E^{\prime }$

$F\supseteq F^{\prime }$

라면

$U(E,F)\setminus Z\subseteq U(E^{\prime },F^{\prime })\setminus Z$

$U(E,F)\cap Z\subseteq U(E^{\prime },F^{\prime })\cap Z$

이므로

$G(E,F)\subseteq G(E^{\prime },F^{\prime })$

이다. 따라서, $G:{𝒟}_{X{\cup }_{f}Y}\to {𝒯}_{X{\cup }_{f}Y}$는 단조 정규성 연산자이다. 틀:증명 끝

외부 링크

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