집합족적 정규 공간

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 집합족적 정규 공간(틀:Llang)은 정규 공간보다 강한 분리공리를 만족시키는 위상 공간이다. 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 하우스도르프 공간과 정규 하우스도르프 공간 사이에 있다.

정의

위상 공간 $X$의 부분 집합들의 집합족 $\{S_i{\}}_{i\in I}\subseteq 𝒫(X)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 이산 집합족(틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 $x\in X$에 대하여, $\{i\in I:N\cap S_i\ne \varnothing \}$이 공집합이거나 한원소 집합인 근방 $N\ni x$이 존재한다.
• $\{\mathrm{cl}{S}_i{\}}_{i\in I}$는 서로소 집합족이며, 임의의 $J\subseteq I$에 대하여 $\bigcup _{j\in J}\mathrm{cl}{S}_j$는 닫힌집합이다.

위상 공간 $X$의 부분 집합들의 집합족 $\{S_i{\}}_{i\in I}\subseteq 𝒫(X)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 분리 집합족(틀:Llang) 또는 거의 이산 집합족(틀:Llang)이라고 한다.

• 임의의 $i\in I$에 대하여, $S_i\cap \mathrm{cl}\bigcup _{j\in I\setminus \{i\}}{S}_j=\varnothing$이다.
• $\{S_i{\}}_{i\in I}$는 $\bigcup _{i\in I}{S}_i$의 이산 집합족이다.

모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이자 분리 집합족이다. 모든 분리 집합족은 (자명하게) 서로소 집합족이다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$를 집합족적 정규 공간이라고 한다.

• 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 $\{F_i{\}}_{i\in I}\subseteq 𝒫(X)$에 대하여, $\mathrm{\forall }i\in I:F_i\subseteq U_i$인 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_i{\}}_{i\in I}$이 존재한다.
• 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 $\{F_i{\}}_{i\in I}\subseteq 𝒫(X)$에 대하여, $\mathrm{\forall }i\in I:F_i\subseteq U_i$인 열린집합들의 이산 집합족 $\{U_i{\}}_{i\in I}$이 존재한다.
• 임의의 이산 집합족 $\{F_i{\}}_{i\in I}\subseteq 𝒫(X)$에 대하여, $\mathrm{\forall }i\in I:F_i\subseteq U_i$인 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_i{\}}_{i\in I}$이 존재한다.
• 임의의 이산 집합족 $\{F_i{\}}_{i\in I}\subseteq 𝒫(X)$에 대하여, $\mathrm{\forall }i\in I:F_i\subseteq U_i$인 열린집합들의 이산 집합족 $\{U_i{\}}_{i\in I}$이 존재한다.

틀:증명 만약 $\{A_i{\}}_{i\in I}$가 이산 집합족이라면, $\{\mathrm{cl}{A}_i{\}}_{i\in I}$ 역시 이산 집합족이다. 따라서, 첫 번째와 세 번째 조건 및 두 번째와 네 번째 조건은 서로 동치이다. 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 이제, 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 $\{F_i{\}}_{i\in I}\subseteq 𝒫(X)$에 대하여, $\mathrm{\forall }i\in I:F_i\subseteq U_i$인 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_i{\}}_{i\in I}$이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, $X$는 자명하게 정규 공간이다. 또한, $\{F_i{\}}_{i\in I}$는 닫힌집합들의 국소 유한 집합족이므로, 그 합집합 역시 닫힌집합이다. 따라서,

$\bigcup _{i\in I}{F}_i\subseteq V\subseteq \mathrm{cl}V\subseteq \bigcup _{i\in I}{U}_i$

인 열린집합 $V\subseteq X$가 존재한다. 그렇다면 임의의 $i\in I$에 대하여, $U_i\cap V$는 열린집합이며, $F_i\subseteq U_i\cap V$이다. 이제, $\{U_i\cap V{\}}_{i\in I}$가 이산 집합족임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 $x\in X$에 대하여, $N\cap U_i\cap V\ne \varnothing$인 $i\in I$가 하나 이하인 근방 $N\ni x$를 찾아야 한다. 만약 $x\in ̸\mathrm{cl}V$라면,

$N=X\setminus \mathrm{cl}V$

를 고른다. 만약 $x\in \mathrm{cl}V$라면, $N$을

$x\in U_i$

인 유일한 $U_i$로 잡을 수 있다. 틀:증명 끝

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$를 완비 집합족적 정규 공간(틀:Llang) 또는 유전 집합족적 정규 공간(틀:Llang)이라고 한다.

• $X$의 모든 부분 집합은 집합족적 정규 공간이다.
• $X$의 모든 열린집합은 집합족적 정규 공간이다.
• 임의의 분리 집합족 $\{S_i{\}}_{i\in I}\subseteq 𝒫(X)$에 대하여, $\mathrm{\forall }i\in I:S_i\subseteq U_i$인 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_i{\}}_{i\in I}$이 존재한다.

틀:증명 첫 번째 조건은 자명하게 두 번째 조건을 함의한다. 임의의 $X$의 임의의 부분 집합 $Y\subseteq X$의 이산 집합족은 $X$의 분리 집합족이므로, 세 번째 조건은 첫 번째 조건을 함의한다. 따라서, 두 번째 조건이 세 번째 조건을 함의함을 보이면 충분하다. 임의의 분리 집합족 $\{S_i{\}}_{i\in I}\subseteq 𝒫(X)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

$V_i=X\setminus \mathrm{cl}\bigcup _{j\in I\setminus \{i\}}{S}_j$

는 열린집합이며, $S_i\subseteq V_i$이다. 따라서,

$V=\bigcup _{i\in I}{V}_i$

는 열린집합이며, 모든 $S_i$를 포함한다. 가정에 따라, $V$는 집합족적 정규 공간이다. 또한, $V$의 임의의 원소는 어떤 $V_i$를 열린 근방으로 하며, $V_i$와 만나는 $S_j$는 $j=i$뿐이다. 따라서, $\{S_i{\}}_{i\in I}$는 $V$의 이산 집합족이며, $\mathrm{\forall }i\in I:S_i\subseteq U_i$인 $V$의 열린집합들의 서로소 집합족 $\{U_i{\}}_{i\in I}$가 존재한다. $V$는 열린집합이므로, $U_i$는 $X$의 열린집합이다. 틀:증명 끝

성질

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

거리화 가능 공간	→	단조 정규 하우스도르프 공간	→	완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간	→	집합족적 정규 하우스도르프 공간
	↘			↓		↓
		완전 정규 하우스도르프 공간 (T6)	→	완비 정규 하우스도르프 공간 (T5)	→	정규 하우스도르프 공간 (T4)

모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 집합족적 정규 공간이다. 반대로, 모든 메타콤팩트 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 공간이다 (마이클-나가미 정리, 틀:Llang).틀:Rp

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 거리화 가능 공간이다.
• 무어 공간이며, 집합족적 정규 공간이다.

예

순서 위상을 가한 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이며, 특히 완비 집합족적 정규 공간이다. 하지만 순서 위상을 준 최소의 비가산 순서수 ${\omega }_1$은 완전 정규 공간이 아니다.

집합족적 정규 공간이 아닌 완전 정규 하우스도르프 공간이 존재한다.틀:Rp

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:플래닛매스