교차 가군

틀:위키데이터 속성 추적 군론과 대수적 위상수학에서 교차 가군(交叉加群, 틀:Llang)은 2-군의 데이터를 담고 있는 대수적 구조이다. 구체적으로, 서로 군 준동형 및 작용을 갖는 두 군으로 구성된다.

정의

교차 가군은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 군 $G$
• 군 $H$
• 군 준동형 $(\cdot ):G\to \mathrm{Aut}(H)$
• 군 준동형 $d:H\to G$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

$d(g\cdot h)=gd(h)g^{-1}\mathrm{\forall }g\in G,h\in H$

$d(h)\cdot h^{\prime }=h{h}^{\prime }{h}^{-1}\mathrm{\forall }h,h^{\prime }\in H$ (파이퍼 항등식 틀:Llang)

가환 그림으로 적으면 이 두 조건은 다음과 같다.

$\begin{array}{ccc}G\times H& \stackrel{(\cdot )}{\to }& H\\ {\mathrm{id}}_G\times d\downarrow {\mathrm{id}}_G\times d& & .d\downarrow d.\\ G\times G& \to {\mathrm{Ad}}_G& G\end{array}$

$\begin{array}{ccc}H\times H& \stackrel{d\times \mathrm{id}}{\to }& G\times H\\ \Vert & & (\cdot )\downarrow (\cdot )\\ H\times H& \to {\mathrm{Ad}}_H& H\end{array}$

이 개념은 사실 군의 범주 속의 내적 범주 또는 범주의 범주 속의 군 대상과 사실상 같다. 전자의 경우, 대상의 군은 $G$이며, 사상의 군은 $H⋊G$이다. 이 경우

$\mathrm{dom}(h,g)=g$

$\mathrm{codom}(h,g)=d(h)g$

이며, 항등 사상은 포함 군 준동형 $G\to H⋊G$이다.

구체적으로, 군의 범주 속의 내적 범주는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 대상의 군 $\mathrm{Ob}𝒢$
• 사상의 군 $\mathrm{Mor}𝒢$
• 항등 사상을 정의하는 군 준동형 $i:\mathrm{Ob}𝒢\to \mathrm{Mor}𝒢$
• 사상의 정의역을 정의하는 군 준동형 $\mathrm{dom}:\mathrm{Mor}𝒢\to \mathrm{Ob}𝒢$
• 사상의 공역을 정의하는 군 준동형 $\mathrm{codom}:\mathrm{Mor}𝒢\to \mathrm{Ob}𝒢$
• 사상의 합성을 정의하는 군 준동형 $\{(f,g)\in (\mathrm{Mor}𝒢{)}^2:\mathrm{dom}f=\mathrm{codom}g\}\to \mathrm{Mor}𝒢$

이는 교차 가군의 데이터와 다음과 같이 대응된다.

교차 가군	군의 범주의 내적 범주
$G$	$\mathrm{Ob}𝒢$
$H$	$\ker \mathrm{dom}\le \mathrm{Mor}𝒢$
$H⋊G$	$\mathrm{Mor}𝒢$
$d:H\to G$	$\mathrm{codom}\upharpoonright (\ker \mathrm{dom})$
$(\cdot ):G\times H\to H$	$(g,h)\mapsto i(g)hi(g{)}^{-1}\in \ker \mathrm{dom}$
$H⋊G\to G$, $(h,g)\mapsto g$	$\mathrm{dom}:\mathrm{Mor}𝒢\to \mathrm{Ob}𝒢$
$H⋊G\to G$, $(h,g)\mapsto d(h)g$	$\mathrm{codom}:\mathrm{Mor}𝒢\to \mathrm{Ob}𝒢$

예

정규 부분군

임의의 군 $G$의 정규 부분군 $N$이 주어졌을 때,

$d:N\hookrightarrow G$

$g\cdot n=gn{g}^{-1}(g\in G,n\in N)$

로 잡으면, 이는 교차 가군을 이룬다.

가군

틀:본문 다음 두 개념이 서로 동치이다.

• 군 $G$의 군환 $\mathbb{Z}[G]$의 왼쪽 가군 ${}_{\mathbb{Z}[G]}H$
• $d=1_G$ (치역이 $G$의 항등원인 상수 함수)인 교차 가군 $(G,H)$

증명:

$\mathbb{Z}[G]$의 왼쪽 가군 $H$가 주어졌다고 하자. 이제, $d=1_G$으로 놓으면, 이는 교차 가군의 데이터를 이룬다 ($H$의 군 연산은 가군의 덧셈). 만약 $d=1_G$일 때, 교차 가군의 두 조건 가운데 하나는 자명하며 다른 하나(파이퍼 항등식)는 $H$가 아벨 군임을 의미한다.

반대로, $d=1_G$인 교차 가군 $(G,H)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교차 가군의 조건(파이퍼 항등식)에 의하여 $H$는 아벨 군이며, 작용 $G\to \mathrm{Aut}(H)$는 $H$ 위에 $\mathbb{Z}[G]$-가군의 구조를 정의한다.

즉, $\mathbb{Z}[G]$-왼쪽 가군의 범주는 $G$에 대한 교차 가군의 범주의 부분 범주를 이룬다. 다시 말해, 교차 가군의 개념은 군의 가군의 개념의 일반화이다.

사실, 파이퍼 항등식을

$h{h}^{\prime }=(d(h)\cdot h^{\prime })h\mathrm{\forall }h,h^{\prime }\in H$

와 같이 쓰면, 이는 $H$가 “뒤틀린 교환 법칙”을 따른다는 것으로 해석될 수 있다.

중심 확대

군의 짧은 완전열

$1\to A\to H\stackrel{d}{\to }G\to 1$

에서, $A$가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면,

$g\cdot h=kh{k}^{-1}\mathrm{\forall }k\in d^{-1}(g)\subseteq H$

을 정의하면, $(G,H,d,\cdot )$는 교차 가군을 이룬다.

특히, 만약 $G=1$이며 $A=H$가 임의의 아벨 군일 경우, 이는 교차 가군을 이룬다.

마찬가지로, 만약 $A=1$이며 $G=H$가 임의의 군일 경우, 이 역시 교차 가군을 이룬다. 이 경우

$d={\mathrm{id}}_G$

$g\cdot h=gh{g}^{-1}$

이다.틀:Rp

자기 동형군

임의의 군 $H$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 표준적인 군 준동형

$d:H\to \mathrm{Aut}(H)$

$d:h\mapsto (h^{\prime }\mapsto h{h}^{\prime }{h}^{-1})$

이 존재한다. 즉, 이는 군 원소를 내부 자기 동형에 대응시킨다. 이에 따라, $(\mathrm{Aut}(H),H)$는 교차 가군을 이루며, 이를 $\mathrm{AUT}(H)$라고 한다.틀:Rp

증명:

파이퍼 항등식은 정의에 따라 성립한다. 나머지 한 조건은

$d(f(h))=f\circ d(h)\circ f^{-1}\mathrm{\forall }h\in H,f\in \mathrm{Aut}(H)$

이다. 이를 확인하려면, 임의의 $h^{\prime }\in H$에 대하여, 좌변은

$d(f(h))(h^{\prime })=f(h)h^{\prime }f(h{)}^{-1}$

인데, 우변은

$(f\circ d(h)\circ f^{-1})(h^{\prime })=f(h{f}^{-1}(h^{\prime })h^{-1})=f(h)f(f^{-1}(h^{\prime }))f(h{)}^{-1}=f(h)h^{\prime }f(h{)}^{-1}$

이므로, 따라서 이 조건 역시 참이다.

2-기본군

위상 공간 $X$의 부분 공간 $A\subseteq X$ 및 $x\in A\subseteq X$에 대하여,

$G={\pi }_1(A,x)$ (기본군)

$H={\pi }_2(X,A,x)$ (2차 호모토피 군)

을 정의하고,

$d:H\to G$

가 상대 호모토피류의 경계로 정의되는 군 준동형이라고 하자. 그렇다면, 이는 교차 가군을 이룬다.

리 교차 가군

교차 가군 $(G,H)$에서, 만약 $G$와 $H$가 리 군이라고 하고, 또 모든 작용 및 군 준동형이 매끄러운 함수라고 하자. 이 경우, 교차 가군 $(G,H)$의 구조를 그 리 대수에 제한할 수 있다. 구체적으로, $\mathrm{Lie}(G)=𝔤$, $\mathrm{Lie}(H)=𝔥$라고 할 때, 교차 가군의 구조는 다음과 같이 제한된다.

• 두 유한 차원 실수 리 대수 $𝔤$, $𝔥$
• 리 대수 준동형 $\rho :𝔤\to 𝔡𝔢𝔯(𝔥)$ (공역은 $𝔥$의 미분 리 대수)
• 리 대수 준동형 $d:𝔥\to 𝔤$

이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

$d(\rho (g)h)=[g,d(h)]$

$\rho (d(h))=[h,-]={\mathrm{ad}}_{𝔥}(h)$ (무한소 파이퍼 항등식)

특히, 파이퍼 항등식으로부터, $𝔥$의 리 괄호가 완전히 결정된다. 따라서,

$[-,-]:𝔤{\otimes }_{ℝ}𝔥\to 𝔥$

$[g,h]=\rho (g)h$

$\mathrm{deg}𝔤=0$

$\mathrm{deg}𝔥=1$

를 정의하면, $(𝔤\oplus 𝔥,d,[-,-])$는 등급이 0 또는 1인 미분 등급 리 대수이며, 특히 (3차 이상의 괄호들이 모두 0인) L∞-대수의 특수한 경우이다.

역사

존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드가 1941년에 최초로 도입하였으며, 화이트헤드는 1949년에 ‘교차 가군’(틀:Llang)이라는 용어를 최초로 사용하였다.틀:Rp 이에 대하여 화이트헤드는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용