H-공간

틀:위키데이터 속성 추적 H-공간(틀:Lang)과 쌍대 H-공간(틀:Lang)은 위상 공간으로부터 정의된 대수 구조이다.

정의

위상 공간 $X$가 주어졌을 때, H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 연속 함수 $\mu :X\times X\to X$
• 항등원 $e\in X$: 모든 $x\in X$에 대해 $x\mapsto \mu (x,e)$와 $x\mapsto \mu (e,x)$가 모두 항등 함수 ${\mathrm{id}}_x$와 호모토피 동치가 되게 한다.

H-공간은 항등원이 있는 마그마이지만 일반적으로 역원이 존재하지 않고 결합 법칙이 성립하지 않는다. 만약 군의 공리를 만족하는 경우 H-군(틀:Lang)이라 부른다.

쌍대 H-공간

쌍대 H-공간은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 연속 함수 $\mu :X\to X\vee X$
• 항등원 $e\in X$

예와 성질

위상군

위상군 $G$와 그 연산 $G\times G\to G$는 그 자체로 H-군을 이룬다.

초구

초구의 경우 H-공간이 되는 것은 ${𝕊}^0$, ${𝕊}^1$, ${𝕊}^3$, ${𝕊}^7$밖에 없다. ${𝕊}^7$을 제외한 나머지 3개는 모두 H-군이며 리 군을 이룬다.

$n\ge 1$일 경우 초구 ${𝕊}^n$에 다음과 같은 CW 복합체 구조를 줄 수 있다:

• 0차원 세포 1개 $\bullet$. 이는 ${𝕊}^n$의 적도 위의 한 점이다.
• $n-1$차원 세포 1개. 즉, $n-1$차원 뼈대는 초구 ${𝕊}^{n-1}$이다. 이는 ${𝕊}^n$의 적도에 해당한다.
• $n$차원 세포 2개. 이들은 각각 ${𝕊}^n$의 북반구와 남반구에 대응한다.

적도에 있는 $n-1$차원 세포 ${𝕊}^{n-1}\hookrightarrow {𝕊}^n$에 대한 몫공간 ${𝕊}^n/{𝕊}^{n-1}$을 취하면 두 초구의 쐐기합을 얻는다.

$w_n:{𝕊}^n\twoheadrightarrow {𝕊}^n/{𝕊}^{n-1}\cong {𝕊}^n\vee {𝕊}^n$

이 몫공간 함수 $w_n$을 연산자로 삼아서 ${𝕊}^n$ 위의 쌍대 H-공간을 정의할 수 있다.

현수 공간과 고리 공간

일반적으로 임의의 점을 가진 공간 $X$에 대하여 그 축소 현수 $\mathrm{\Sigma }X$는 쌍대 H-공간을 이룬다. $\mathrm{\Sigma }X=X\wedge {𝕊}^1=(X\times {𝕊}^1)/(X\vee {𝕊}^1)$ 위에서 연산을 다음과 같이 정의한다.

$({\mathrm{id}}_X\wedge w_1):X\wedge {𝕊}^1\to X\wedge ({𝕊}^1\vee {𝕊}^1)\cong (X\wedge {𝕊}^1)\vee (X\wedge {𝕊}^1)$

여기서 $\wedge$는 분쇄곱, $\vee$는 쐐기합이고, $w_1$은 위 초구의 쌍대 H-공간에서 정의한 연산이다. 초구의 경우 $\mathrm{\Sigma }{𝕊}^{n-1}\simeq {𝕊}^n$이므로, 초구의 쌍대 H-공간 구조는 현수의 쌍대 H-공간 구조의 특수한 경우이다.

거꾸로 고리 공간 $\mathrm{\Omega }X$는 H-공간을 이룬다. 구체적으로, $\mathrm{\Omega }X$ 위의 곱셈은 다음과 같다.

$m:(\gamma ,{\gamma }^{\prime })\mapsto (\gamma \vee {\gamma }^{\prime })\circ w_1$

여기서

$\gamma ,{\gamma }^{\prime }:{𝕊}^1\to X$

$\gamma \vee {\gamma }^{\prime }:{𝕊}^1\vee {𝕊}^1\to X$

$w_1:{𝕊}^1\to {𝕊}^1\vee {𝕊}^1$

이다.

에일렌베르크-매클레인 공간과 피터슨 공간

아벨 군 $G$ 및 자연수 $n$에 대하여, 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(G,n)$는 다른 공간의 고리 공간이다.

$K(G,n)\simeq \mathrm{\Omega }K(G,n+1)$

그러므로 에일렌베르크-매클레인 공간 $K(G,n)$은 H-공간을 이룬다.

마찬가지로 유한 생성 아벨 군 $G$ 및 $n\ge 3$의 경우 피터슨 공간 $P(G,n)$는 다른 공간의 축소 현수 공간이다.

$P(G,n)\simeq \mathrm{\Sigma }P(G,n-1)$

그러므로 피터슨 공간 $P(G,n)$은 쌍대 H-공간을 이룬다.

호모토피류의 연산

호모토피 군은 초구에서 공간 $X$으로 가는 호모토피류 $[{𝕊}^n,X{]}_{\bullet }$로, 그 위에서의 연산은 호모토피 합성함수 $h:{𝕊}^n\vee {𝕊}^n\to {𝕊}^n$에 의해 정의된다:

$[f]\cdot [g]:x\mapsto (f\vee g)(h(x))$

일반적으로, 쌍대 H-공간 $(X,\mu )$에서 공간 $Y$로 가는 호모토피류 $[X,Y{]}_{\bullet }$ 위의 이항 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$[f]\cdot [g]:x\mapsto (f\vee g)(\mu (x))$

거꾸로 공간 $X$에서 H-공간 $(Y,\mu )$로 가는 호모토피류의 연산을 다음과 같이 정의할 수 있다.

$[f]\cdot [g]:x\mapsto \mu (f(x),g(x))$

위에서 만약 각각이 (쌍대) H-군의 구조를 가질 경우 $[X,Y{]}_{\bullet }$은 군의 구조를 가진다.

에크만-힐튼 쌍대성에 의해 축소 현수 $\mathrm{\Sigma }$와 고리 공간 $\mathrm{\Omega }$는 서로 수반 함자를 이루므로, 이에 의한 호모토피류의 군 구조도 서로 일치한다:

$[X,\mathrm{\Omega }Y{]}_{\bullet }\cong [\mathrm{\Sigma }X,Y{]}_{\bullet }$

특히, $\mathrm{\Sigma }{𝕊}^{n-1}\cong {𝕊}^n$이므로 호모토피 군에 대해 ${\pi }_{n-1}(\mathrm{\Omega }X)\cong {\pi }_n(X)$가 성립한다.

역사

장피에르 세르가 하인츠 호프의 이론에 영향을 받아 만들었고, 호프의 이름의 머리글자인 H를 붙였다.

같이 보기

• 위상군
• 체흐 코호몰로지
• 호프 대수