2차원 𝒩=2 초등각 장론

틀:위키데이터 속성 추적 양자장론에서, 2차원 $𝒩=2$ 초등각 장론(二次元$𝒩=2$超等角場論, 틀:Llang)은 두 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다. 끈 이론 및 거울 대칭에서 중요한 역할을 한다.

𝒩=2 초등각 대수

2차원 $𝒩=2$ 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.

기호	이름	무게 $h$	U(1) R대칭 전하 $q$
$T(z)$	에너지-운동량 텐서	2	0
$G^{\pm }(z)$	초전류	3/2	±½
$J(z)$	R대칭 보존류	1	0
$c$	중심 원소	0	0

통상적으로, $\hat{c}$를 다음과 같이 정의한다.

$\hat{c}=c/3$

이는 칼라비-야우 다양체 위의 시그마 모형의 경우, 칼라비-야우 다양체의 복소수 차원에 해당한다.

이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다.틀:Rp 여기서 $\cdots$는 $z\to 0$에서 비특이항을 뜻한다.

$T(z)T(0)=\frac{3}{2}\hat{c}{z}^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots$

$T(z)G^{\pm }(0)=\frac{3}{2}{z}^{-2}{G}^{\pm }(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots$

$T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots$

$J(z)J(0)=\hat{c}{z}^{-2}+\cdots$

$J(z)G^{\pm }(0)=\pm z^{-1}{G}^{\pm }(0)+\cdots$

$G^{\pm }(z)G^{\pm }(0)=\cdots$

$G^{\pm }(z)G^{\mp }(0)=\hat{c}{z}^{-3}\pm z^{-2}J(0)+z^{-1}(T(0)\pm \frac{1}{2}\partial J(0))+\cdots$

모드 전개

$𝒩=2$ 대수의 생성원은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.틀:Rp

$T(z)=\sum _n{z}^{n-2}{L}_{-n}$

$G^{\pm }(z)=\sum _{r\in \mathbb{Z}\pm \eta }{z}^{r-3/2}{G}_{-r}^{\pm }$

$J(z)=\sum _n{z}^{n-1}{J}_{-n}$

여기서 NS 경계 조건의 경우 $\eta =0$이며 R 경계 조건의 경우 $\eta =1/2$이다.

이들은 다음과 같은 교환자를 갖는다.틀:Rp틀:Rp틀:Rp

c는 모든 원소와 가환

$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{1}{4}\hat{c}(m^3-m){\delta }_{m+n,0}$

$[L_m,J_n]=-n{J}_{m+n}$

$[J_m,J_n]=\hat{c}m{\delta }_{m+n,0}$

$\{G_r^{+},G_s^{-}\}=L_{r+s}+\frac{1}{2}(r-s)J_{r+s}+\frac{1}{2}\hat{c}(r^2-\frac{1}{4}){\delta }_{r+s,0}$

$\{G_r^{+},G_s^{+}\}=0=\{G_r^{-},G_s^{-}\}$

$[L_m,G_r^{\pm }]=(m/2-r)G_{r+m}^{\pm }$

$[J_m,G_r^{\pm }]=\pm G_{m+r}^{\pm }$

대역적 대수

NS 대수에서, $L_0$, $L_{\pm 1}$, $J_0$, $G_{1/2}^{\pm }$, $G_{-1/2}^{\pm }$는 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 대칭 $𝔬𝔰𝔭(2|2)$이다. 이 리 초대수의 보손 성분 $𝔰𝔬(2)\oplus 𝔲𝔰𝔭(2)\cong 𝔲(1)\oplus 𝔰𝔬(3)$는 각각 R대칭 및 (정칙) 등각 대칭에 대응한다.

R 대수에서, $L_0$, $J_0$, $G_0^{\pm }$, $c$는 부분 리 초대수를 이루며, 다음과 같다.

$\{G_0^{+},G_0^{-}\}=L_0-c/24$

$[J_0,G_0^{\pm }]=\pm G_0^{\pm }$

$[L_0,G_0^{\pm }]=[L_0,L_0]=[L_0,J_0]=\{G_0^{\pm },G_0^{\pm }\}=[J_0,J_0]=0$

이는 콤팩트 리만 다양체에서 $\mathrm{\Delta }$, $d$, $d^{†}$가 이루는 대수와 같다.

표현

베르마 가군

비라소로 대수의 경우와 마찬가지로, $𝒩=2$ 초등각 대수의 기약 표현은 초1차장(超一次場, 틀:Llang) 위에 사다리 연산자들의 작용으로 구성된다. 초1차장 $|\varphi ⟩$은 다음 조건을 만족시킨다.

$L_n|\varphi ⟩=G_r|\varphi ⟩=0\mathrm{\forall }n,r>0$

초등각 대수 기약 표현의 나머지 장들은 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

$L_{-n_1}{L}_{-n_2}\cdots L_{-n_k}{G}_{-r_1}^{+}{G}_{-r_2}^{+}\cdots G_{-r_p}^{+}{G}_{-s_1}^{-}{G}_{-s_2}^{-}\cdots G_{-s_q}^{-}|\varphi ⟩(0<n_1\le n_2\le \cdots \le n_k,0<r_1<r_2<\cdots <r_p,0\le s_1<\cdots <s_q$

여기서 $r_i<r_{i+1}$ 및 $s_i<s_{i+1}$인 것은

$(G_r^{+}{)}^2+=(G_s^{-}{)}^2=0$

이기 때문이다. 또한, $0<r_1$인 것은 라몽 대역 초등각 대수 $(G_0^{+},G_0^{-},L_0,J_0,c)$의 작용을 대각화시켜, 초1차장 $|h,q⟩$에 대하여 항상 다음이 성립하도록 잡을 수 있기 때문이다.

$G_0^{+}|h,q⟩=0$

유니터리 초1차장의 범위

$c=6$ $𝒩=2$ NS 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 $g_r^{\mathrm{NS}}=0$으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 $f_{1,2}^{\mathrm{NS}}=0$에 의하여 정의된다.

$c=6$ $𝒩=2$ R 초등각 대수의 유니터리 초1차장들의 가능한 범위는 회색으로 칠해진 범위 및 굵은 실선이다. 굵은 실선과 그 점선 연장은 $g_r^{\mathrm{R}}=0$으로 정의되며, 가는 실선 포물선은 $f_{1,2}^{\mathrm{R}}=0$에 의하여 정의된다.

다음과 같은 함수들을 정의하자.

$g_r^{\text{NS}}(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^2-1/4)(r\in \mathbb{Z}+1/2)$

$g_r^{\text{R}}(c,h,q)=2(h-rq)+(c/3-1)(r^2-1/4)-1/4(r\in \mathbb{Z})$

$f_{1,2}^{\text{NS}}(c,h,q)=2(c/3-1)h-q^2+\frac{1}{4}(c/3+1{)}^2-\frac{1}{4}(c/3-1{)}^2$

$f_{1,2}^{\text{R}}(c,h,q)=2(c/3-1)(h-c/24)-q^2+\frac{1}{4}(c/3+1{)}^2$

$q_{k,l,m}^{\text{NS}}=-\frac{m}{k+2}$

$q_{k,l,m}^{\text{R}}=-\frac{m}{k+2}+\frac{1}{2}$

$h_{k,l,m}^{\text{NS}}=\frac{l(l+2)-m^2}{4(k+2)}$

$h_{k,l,m}^{\text{R}}=\frac{l(l+2)-m^2}{4(k+2)}+\frac{1}{8}$

$g_r=0$은 $(q,h)$ 반평면에 직선을 정의하며, $f_{1,2}=0$은 $(q,h)$ 반평면에 포물선을 정의한다.

그렇다면, $𝒩=2$ 대수의 유니터리 표현은 다음과 같은 세 가지가 있다.

	$c$ 범위	NS 조건	R 조건
유질량 표현	$c\ge 3$	$\mathrm{\forall }r\in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}:g_r^{\text{NS}}>0$	$\mathrm{\forall }r\in \mathbb{Z}:g_r^{\text{R}}>0$
무질량 표현	$c\ge 3$	$f_{1,2}^{\mathrm{NS}}\ge 0,\mathrm{\exists }r\in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}:g_r^{\text{NS}}=0,g_{r+\mathrm{sgn}r}\le 0$	$f_{1,2}^{\mathrm{R}}\ge 0,\mathrm{\exists }r\in \mathbb{Z}:g_r^{\text{R}}=0,g_{r+\mathrm{sgn}r}\le 0$
최소 모형의 표현	$c=3k/(k+2)<3,(k=1,2,\dots )$	$\mathrm{\exists }l,m:(h,q)=(h_{k,l,m}^{\text{NS}},q_{k,l,m}^{\text{NS}})$, $0\le l\le k$, $|m|\le l$	$\mathrm{\exists }l,m:(h,q)=(h_{k,l,m}^{\text{R}},q_{k,l,m}^{\text{R}})$, $0\le l\le k$, $m\in [1-l,l-1]\cup \{l+1\}$

$c\ge 3$일 경우, 유질량 · 무질량 유니터리 표현이 존재한다. 유질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 양수이며, 따라서 유니터리 표현이다. 무질량 표현의 경우 카츠 행렬식이 0이다. $c<3$일 경우, 가능한 유니터리 표현들은 $𝒩=2$ 최소 모형에 등장하는 것들이다.

특히, $G_r^{+}$에서 $r\in \mathbb{Z}+ϵ$이라고 한다면,

$0\le ⟨h,q|G_{ϵ}^{\pm }{G}_{-ϵ}^{\mp }|h,q⟩+⟨h,q|G_{-ϵ}^{\mp }{G}_{+ϵ}^{\pm }|h,q⟩=⟨h,q|\{G_{ϵ}^{\pm },G_{-ϵ}^{\mp }\}|h,q⟩=⟨h,q|(L_0\pm ϵJ_0+c({ϵ}^2-1/4)/6)|h,q⟩=h\pm ϵq+c\frac{4{ϵ}^2-1}{24}$

이므로, 항상

$h+c\frac{4{ϵ}^2-1}{24}\ge |ϵq|$

가 성립한다. 즉, NS 경계 조건에서는

$h\ge 2|q|$

이며 ($g_{\pm 1/2}^{\text{NS}}\ge 0$), R 경계 조건에서는

$h\ge c/24$

이다 ($g_0^{\text{R}}\ge 0$). NS (반)손지기장 또는 R 바닥 상태는 위 부등식을 포화시킨다.

$g_r=g_{r+\mathrm{sgn}r}=0$이 되는 점들은 다음과 같은 포물선 위에 위치한다.

$\frac{q^2}{2(c/3-1)}=\{\begin{array}{cc}h& \text{NS}\\ h-1/8& \text{R}\end{array}$

즉, 유질량 초1차장들은 이 포물선의 상부 $h\ge q^2/(2(c/3)-1)+\{0,1/8\}$에만 존재할 수 있다.

c=3인 경우

유니터리 표현의 분류는 $c=3$인 경우에 단순해진다. 이 중심 전하는 자유 보손 · 페르미온 이론의 중심 전하와 같다. 이 경우,

$g_r^{\text{NS}}(c,h,q)=2(h-rq)(r\in \mathbb{Z}+1/2)$

$g_r^{\text{R}}(c,h,q)=2(h-rq)-1/4(r\in \mathbb{Z})$

$f_{1,2}^{\text{NS}}(c,h,q)=f_{1,2}^{\text{R}}(c,h,q)=1-q^2$

이므로, 유질량 표현은 존재하지 않으며, 무질량 표현들은 다음과 같다.

$|q|\le 1$

$h=\{\begin{array}{cc}|q|/2,3|q|/2,5|q|/2,\dots & \text{NS}\\ 1/8,|q|+1/8,2|q|+1/8,\dots & \text{R}\end{array}$

BPS 상태

NS 초1차장 가운데 만약

$q=\pm 2h$

인 상태 $|h,\pm 2h⟩$가 있다면,

$G_{-1/2}^{\pm }|h,\pm 2h⟩=0$

이 된다. 이는 BPS 상태의 일종이며, + 부호일 경우 손지기장(틀:Llang), − 부호일 경우 반손지기장(틀:Llang)이라고 한다. 유니터리 NS (반)손지기장의 경우 $f_{1,2}^{\text{NS}}\ge 0$ 조건에 의하여

$2h=|q|\le c/3$

이다.틀:Rp

특별한 경우로, 진공 $h=q=0$일 경우에는

$L_{-1}|0,0⟩=G_{-1/2}^{\pm }|0,0⟩=0$

이다.

라몽 초1차장 가운데, 만약 $h=c/24$일 경우,

$G_0^{\pm }|c/24,q⟩=0$

이 성립한다. 이는 $g_0^{\text{R}}=0$과 같은 조건이다. 이 역시 BPS 상태의 일종이며, 이러한 상태를 라몽 바닥 상태(틀:Llang)라고 한다. 유니터리 라몽 초1차장의 경우 $f_{1,2}^{\text{R}}\ge 0$ 조건에 의하여

$|q|\le c/6+1/2$

이다.

초공간

2차원 $𝒩=(2,2)$ 초대칭은 초공간 ${ℝ}^{2|4}$를 사용하여 나타낼 수 있다.틀:Rp 이 경우, 보손 좌표 ${ℝ}^2$는 복소평면 $ℂ$로 여겨, 복소수 좌표 $(z,\overline{z})$로 적을 수 있으며, 페르미온 좌표도 두 개의 반가환 복소수 $({\theta }^{\pm },{\overline{\theta }}^{\mp })$로 나타낼 수 있다. 이 때

$({\theta }^{\pm }{)}^{*}={\overline{\theta }}^{\mp }$

이다. 이 경우, ${\theta }^{\pm }$ 및 ${\overline{\theta }}^{\pm }$은 각각 스핀 $\pm 1/2$를 갖는다. 즉, 이는 국소적으로 복소수 외대수

${𝒞}^{\omega }(ℂ){\otimes }_{ℂ}\bigwedge ({ℂ}^2)$

의 층을 갖는 환 달린 공간이다.

일반적 초장은

$\mathrm{\Phi }(z,\overline{z},{\theta }^{\pm },{\overline{\theta }}^{\mp })=\varphi (z,\overline{z})+{\theta }^{+}{f}_{+}(z,\overline{z})+{\theta }^{-}{f}_{-}(z,\overline{z})+{\overline{\theta }}^{+}{g}_{+}(z,\overline{z})+{\overline{\theta }}^{-}{g}_{-}(z,\overline{z})+{\theta }^{+}{\theta }^{-}h(z,\overline{z})$

와 같이, 총 6개의 장으로 구성된다. 여기에 공변 초미분 $D^{\pm }$, ${\overline{D}}^{\pm }$을 정의하면 손지기 초장(틀:Llang)

${\overline{D}}_{\pm }\mathrm{\Phi }=0$

및 반손지기 초장(틀:Llang

${\overline{D}}_{\pm }\mathrm{\Phi }=0$

및 뒤틀린 손지기 초장(틀:Llang)

${\overline{D}}_{+}\mathrm{\Phi }=D_{-}\mathrm{\Phi }=0$

및 뒤틀린 반손지기 초장(틀:Llang)

$D_{+}\mathrm{\Phi }={\overline{D}}_{-}\mathrm{\Phi }=0$

이 존재한다. 이들은 $𝒩=(2,2)$ 초등각 대칭에서, 정칙 초등각 대수에 대하여 (반)손지기장이자 반정칙 초등각 대수에 대하여 손지기장인 초등각 대수 기약 표현을 나타낸다.

성질

위상 뒤틀림

정칙 $𝒩=2$ 초등각 장론이 주어졌을 때, 그 힐베르트 공간 $\mathscr{H}$ 위에

$Q^2=(G_{-1/2}^{\pm }{)}^2=0$

이므로, 이를 사용하여 코호몰로지를 정의할 수 있다. 즉, $G_{-1/2}^{\pm }$를 BRST 연산자로 간주할 수 있다. 이렇게 하면 위상 양자장론을 얻게 되고, 이 경우 살아남는 상태들은

$h=\pm q/2$

인 것들, 즉 ($Q=G_{-1/2}^{+}$인 경우) 손지기장 또는 ($Q=G_{-1/2}^{-}$인 경우) 반손지기장이다. 이들은 BPS 상태이며, 각각 손지기환(틀:Llang) 및 반손지기환(틀:Llang)이라는 등급 가환환을 이룬다.

비정칙 $𝒩=(2,2)$ 초등각 장론이 주어졌을 때에는 서로 동치이지 않는 두 개의 위상 뒤틀림이 존재하며, 다음과 같다.틀:Rp

$Q_A={\overline{G}}_{-1/2}^{+}+G_{-1/2}^{-}$

$Q_B={\overline{G}}_{-1/2}^{+}+G_{-1/2}^{+}$

이 경우, A-뒤틀림은

$(h,\overline{h})=(-q/2,\overline{q}/2)$

인 것들을 남기고 (ac환 틀:Llang), B-뒤틀림은

$(h,\overline{h})=(q/2,\overline{q}/2)$

인 것들을 남긴다 (cc환 틀:Llang). 여기서 ‘a’와 ‘c’는 (반)손지기(틀:Llang)의 영어 머릿글자이다. aa환과 cc환이 서로 동형이며, ac환과 ca환이 서로 동형이다.

스펙트럼 흐름

$𝒩=2$ NS 대수 및 R 대수는 사실 서로 동형이며, 이 동형을 스펙트럼 흐름(틀:Llang)이라고 한다.

스펙트럼 흐름은 어떤 연속 매개변수 $\eta \in ℝ$에 대한 유니터리 변환으로 구현되며, $\eta =1/2$라면 이는 NS 경계 조건에서 R 경계 조건으로 가는 변환이며, $\eta =1$이라면 이는 NS 또는 R 경계 조건에서의 자기 동형을 이룬다. 이에 따라, 등각 무게와 R대칭 전하는 다음과 같이 변환한다.틀:Rp

$h\mapsto h-\eta q+c{\eta }^2/6$

$q\mapsto q-c\eta /3$

스펙트럼 흐름 아래

$h-\frac{3}{2c}{q}^2$

는 불변량이다. 즉, 다음과 같이 로런츠 변환과 유사하게 작용한다.

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{2ch/3}}{q})\mapsto \left(\begin{array}{cc}\cosh \theta & \sinh \theta \\ \sinh \theta & \cosh \theta \end{array}\right)(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{2ch/3}}{q})$

여기서

$\sqrt{2ch/3}d\theta =\frac{c}{3}d\eta$

이므로,

$\eta =\sqrt{6h/c}(\sinh \theta )+\frac{3q}{c}(\cosh \theta -1)$

이다.

이에 따라, $\eta =1/2$일 때 손지기장 $h=q/2$은 $(h^{\prime },q^{\prime })=(c/24,q-c/6)$인 R 바닥 상태로 대응된다. 마찬가지로, $\eta =1$인 경우, 손지기장 $h=q/2$는 반손지기장 $(h^{\prime },q^{\prime })=(c/6-q/2,q-c/3)$으로 대응된다.

$\eta =-1$	$\eta =-1/2$	$\eta =0$	$\eta =1/2$	$\eta =1$
		손지기장 $(h,q)=(h,2h)$	라몽 바닥 상태 $(h,q)=(c/24,2h-c/6)$	반손지기장 $(h,q)=(c/6-h,2h-c/3)$
	손지기장 $(h,q)=(c/12+q/2,c/6+q)$	라몽 바닥 상태 $(h,q)=(c/24,q)$	반손지기장 $(h,q)=(c/12-q/2,q-c/6)$
손지기장 $(h,q)=(c/6-h,c/3-2h)$	라몽 바닥 상태 $(h,q)=(c/24,-2h+c/6)$	반손지기장 $(h,q)=(h,-2h)$

모듈러 불변성

$𝒩=(2,2)$ 초등각 장론이 주어졌을 때, R대칭에 대한 퓨가시티

$y=\exp (2\pi iz)$

$\overline{y}=\exp (-2\pi i\overline{z})$

$q=\exp (2\pi i\tau )$

$\overline{q}=\exp (-2\pi i\overline{\tau })$

를 삽입하여, 다음과 같은 분배 함수를 정의할 수 있다.

$Z(q,\overline{q},y,\overline{y})={\mathrm{tr}}_{\mathrm{NS}}\left(q^{L_0-c/24}{\overline{q}}^{{\overline{L}}_0-c/24}{y}^{J_0}{\overline{y}}^{{\overline{J}}_0}\right)=\sum _{(h,\overline{h},q,\overline{q})}{q}^{h-c/24}{\overline{q}}^{\overline{h}-c/24}{y}^j{\overline{y}}^{\overline{j}}$

이는 모듈러 군의 S변환

$S:(\tau ,z)\mapsto ({\tau }^{\prime },z^{\prime })=(-1/\tau ,z/\tau )$

아래 다음과 같이 변환한다.

$Z(\tau ,z)=\exp (-\pi ic{z}^2/3\tau )\exp (\pi ic{\overline{z}}^2/3\overline{\tau })Z({\tau }^{\prime },z^{\prime })$

즉, S변환에 대하여 복소수 위상을 얻는다.

이와 유사하게, R 경계 조건에서 페르미온 수 $(-1{)}^F=\exp (i\pi (J_0-{\overline{J}}_0))$를 삽입하여, 다음과 같은 타원 종수(楕圓種數, 틀:Llang)를 정의할 수 있다.틀:Rp

$Z(\tau ,z)={\mathrm{tr}}_{\mathrm{R}}((-1{)}^F{q}^{L_0-c/24}{\overline{q}}^{{\overline{L}}_0-c/24}{y}^{J_0})$

이는 위튼 지표의 일반화이며, $\tau$ 및 $z$에 대하여 정칙 함수이다. 이는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.틀:Rp

$Z(\tau ,z)=Z(\tau ,-z)=Z(\tau +1,z)$

$Z(\tau ,z)=\exp (-\pi ic{z}^2/3\tau )Z(-1/\tau ,z/\tau )$

따라서, 타원 종수는 무게 0, 지표 $\hat{c}/2$의 약한 야코비 형식을 이룬다.

예

자유 이론

2차원 $𝒩=2$ 초등각 장론의 가장 간단한 예는 자유 입자로 구성된 이론이다. 이 이론은 $c=3$을 가지며, 정칙 이론의 경우, 존재하는 비라소로 1차장은 다음과 같다.

경계 조건	장	무게 $h$	R대칭 전하 $q$	설명
	1	0	1	진공
NS	$Q^{+}={\psi }^{+}\partial {\varphi }^{*}$	3/2	+1	초전류
NS	$Q^{-}={\psi }^{-}\partial \varphi$	3/2	−1	반초전류
NS	$J={\psi }^{+}{\psi }^{-}$	1	0	R대칭 보존류
NS	${\psi }^{+}$	½	+1	페르미온
NS	$\partial \varphi =G_{-1/2}^{-}\partial {\psi }^{+}$	1	0	보손
NS	${\psi }^{-}$	½	−1	반페르미온
NS	$\partial {\varphi }^{*}=G_{-1/2}^{+}\partial {\psi }^{-}$	1	0	반보손
R	$U_{1/2}1=U_{-1/2}{\psi }^{-}$	⅛	−½	라몽 바닥 상태
R	$U_{1/2}{\psi }^{+}=U_{-1/2}1$	⅛	½	라몽 바닥 상태

이 이론은 진공 밖에, 하나의 손지기 초1차장 ${\psi }^{+}$과 하나의 반손지기 초1차장 ${\psi }^{-}$를 갖는다. 즉, 손지기환은 $\mathbb{Z}/(2)$와 동형이다.

이들로부터 정의되는 $𝒩=2$ 대수는 구체적으로 다음과 같다.틀:Rp 복소수 보손 $\varphi$의 실수 · 허수 성분의 모드 전개를 각각 $a_n$, $b_n$이라고 하고, 복소수 페르미온 $\psi$의 모드 전개를 $e_r$라고 하자. 이들은 다음과 같은 교환 관계를 만족시킨다.

$[a_m,a_n]=\frac{m}{2}{\delta }_{m+n,0},[b_m,b_n]=\frac{m}{2}{\delta }_{m+n,0},a_n^{*}=a_{-n},b_n^{*}=b_{-n}$

$\{e_r,e_s^{*}\}={\delta }_{r,s},\{e_r,e_s\}=0.$

그렇다면 다음과 같이 $\hat{c}=1$ $𝒩=2$ 초등각 대수를 구성할 수 있다.

$L_n=\sum _m:a_{-m+n}{a}_m:+\sum _m:b_{-m+n}{b}_m:+\sum _r(r+\frac{n}{2}):e_r^{*}{e}_{n+r}:$

$J_n=\sum _r:e_r^{*}{e}_{n+r}:$

$G_r^{+}=\sum (a_{-m}+i{b}_{-m})\cdot e_{r+m}$

$G_r^{-}=\sum (a_{r+m}-i{b}_{r+m})\cdot e_m^{*}$

최소 모형

틀:본문 $\hat{c}<1$인 일련의 $𝒩=2$ 최소 모형들이 존재한다. 이들은 정칙 이론들이며, 비정칙 $𝒩=2$ 모듈러 불변 최소 모형들은 일종의 ADE 분류에 따라 분류된다.

잉여류 모형

단순 리 군 $G$ 및 닫힌 부분군 $H\le G$가 주어졌으며, $\mathrm{rank}G=\mathrm{rank}H$이며, $H$의 중심의 차원이 양수일 때, 잉여류 공간 $G/H$는 콤팩트 켈러 다양체이며, 그 위에 가자마-스즈키 모형(틀:Llang)이라는 $𝒩=2$ 등각 장론을 정의할 수 있다. 이는 가자마 요이치(틀:Llang)와 스즈키 히사오(틀:Llang)가 도입하였다.

시그마 모형

복소수 $d$차원 칼라비-야우 다양체 위에 정의된 2차원 시그마 모형은 $\hat{c}=c/3=d$인 $𝒩=(2,2)$ 초등각 장론을 이룬다.

임의의 초다중항은 왼쪽 손지기인지 여부와 오른쪽 손지기인지의 여부에 따라서, 다음과 같이 세 가지로 분류된다.

• 0-BPS 상태. 즉, 왼쪽 손지기도, 오른쪽 손지기도 아니다. 이는 칼라비-야우 다양체의 기하학적 (비(非)위상수학적) 성질로부터 결정된다.
• ¼-BPS 상태. 왼쪽 손지기이지만 오른쪽 손지기가 아니거나, 그 반대이다. 이는 타원 종수로부터 결정된다.
• ½-BPS 상태. 왼쪽 · 오른쪽 손지기이다. 이는 위상 뒤틂으로 얻어지는 (c,c) 또는 (a,c) 환에 속하며, 이러한 상태의 수는 칼라비-야우 다양체의 호지 수에 의하여 결정된다.

타원 종수는 야코비 형식을 이루는데, 낮은 차원 ($d\le 3$)의 경우 이러한 야코비 형식의 벡터 공간은 1차원이며, 따라서 호지 수로부터 완전히 결졍된다.

응용

$𝒩=2$ 초등각 장론은 초끈 이론에서 4차원 $𝒩=1$ 진공해를 얻기 위하여 사용된다.틀:Rp

역사

1976년에 초끈 이론에서 최초로 발견되었고, 1977년에 빅토르 카츠가 같은 대수를 독자적으로 재발견하였다. 그 유니터리 표현들은 1986년에 분류되었다. 이후 1988년에 NS 대수와 R 대수가 스펙트럼 흐름으로 서로 동형임이 밝혀졌다.

같이 보기

• 2차원 등각 장론
• 2차원 𝒩=1 초등각 장론
• 2차원 𝒩=4 초등각 장론
• 끈 이론
• 초대칭
• 최소 모형 (등각 장론)
• 야코비 형식

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab