르장드르 기호

틀:위키데이터 속성 추적 수론에서 르장드르 기호(Legendre symbol)는 어떤 수가 제곱 잉여인지 아닌지를 나타내는 함수이다.

정의

홀수 소수 $p$ 와 정수 $a$ 에 대하여, 르장드르 기호는 다음과 같다.

(\frac{a}{p}) = {\begin{matrix} 1 & p ∤ a \land \exists x \in ℤ : x^{2} \equiv a (\mod p) \\ - 1 & p ∤ a \land \exists x \in ℤ : x^{2} \equiv a (\mod p) \\ 0 & p ∣ a \end{matrix}

즉, $a$ 가 $p$ 에 대한 제곱 잉여일 때 1을, $a$ 가 $p$ 에 대한 제곱 비잉여일 때 -1을, $a$ 가 $p$ 의 배수일 때 0을 값으로 한다. 르장드르 기호는 마치 분수처럼 생겼지만, 분수의 계산과는 관련이 없다.

다음과 같은 항등식들이 성립한다.

(\frac{a}{p}) \equiv a^{p (p - 1) / 2} (\mod p)

(\frac{a}{p}) = (\frac{p + a}{p})

(\frac{a b}{p}) = (\frac{a}{p}) (\frac{b}{p})

(\frac{a^{2}}{p}) = {\begin{matrix} 1 & p ∤ a \\ 0 & p ∣ a \end{matrix}

이들은 제곱 잉여의 성질에 대응한다. 예를 들어, 세 번째 항등식에 따라, 두 제곱 잉여의 곱은 제곱 잉여이다.

만약 $2, p ∤ a$ 라면, 다음이 성립한다.

(\frac{a}{p}) = (- 1)^{\sum_{k = 1}^{(p - 1) / 2} ⌊ a k / p ⌋}

틀:본문 홀수 소수 $p, q$ 가 $p \neq q$ 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

(\frac{p}{q}) = (- 1)^{(p - 1) (q - 1) / 4} (\frac{q}{p})

이를 이차 상호 법칙이라고 한다. 즉, $p$ 와 $q$ 는

p \equiv q \equiv 3 (\mod 4)

인 경우를 제외하면 서로에 대한 제곱 잉여이거나, 서로에 대한 제곱 비잉여이다.

작은 정수의 홀수 소수 $p$ 에 대한 르장드르 기호는 다음과 같다.

(\frac{1}{p}) = 1

(\frac{- 1}{p}) = (- 1)^{(p - 1) / 2}

(\frac{2}{p}) = (- 1)^{(p^{2} - 1) / 8}

야코비 기호는 르장드르 기호를 소수에서 임의의 홀수까지 확장하며, 크로네커 기호는 이를 임의의 짝수에까지 확장한다.

프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르가 도입하였다.