이차 상호 법칙

틀:위키데이터 속성 추적 수론에서 이차 상호 법칙(二次相互法則, 틀:Llang)은 두 홀수 소수가 서로에 대하여 제곱잉여인지 여부가 대칭적이라는 정리다.

정의

이차 상호 법칙에 따르면, $p$와 $q$가 서로 다른 홀수 소수일 때, 이차 합동식

$\{\begin{array}{c}{x}^2\equiv p(\mathrm{mod}q)\\ y^2\equiv q(\mathrm{mod}p)\end{array}$

에 대하여 다음 두 경우가 성립한다.

• 만약 $p\equiv q\equiv 3(\mathrm{mod}4)$라면 두 합동식 가운데 하나는 해가 존재하고, 다른 하나는 해가 존재하지 않는다.
• 그밖의 경우 둘 다 해가 존재하든지 둘 다 해가 존재하지 않는다.

서로 다른 두 홀수 소수 $p$와 $q$에 대하여 르장드르 기호 $\left(\frac{p}{q}\right)$는 $p$가 $q$에 대한 제곱잉여일 때 $1$, 그렇지 않을 때 $-1$로 정의된다.

르장드르 기호를 이용하면, 이차 상호 법칙을 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.

$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1{)}^{(p-1)(q-1)/4}$

우변은 $p$와 $q$를 4로 나눈 나머지가 둘 다 3일 때만 $-1$이 된다.

위의 등식은 야코비 기호로 확장할 수 있다. 1이 아닌 두 홀수 $m$과 $n$이 서로소일 때,

$\left(\frac{m}{n}\right)\left(\frac{n}{m}\right)=(-1{)}^{(m-1)(n-1)/4}$

이 성립한다.

또한, $p>2$가 소수라면 다음 두 법칙이 성립한다.

$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{(p-1)/2}$

$\left(\frac{2}{p}\right)=(-1{)}^{(p^2-1)/8}$

이를 각각 이차 상호 법칙의 제1 보충(二次相互法則의第一補充, 틀:Llang)과 이차 상호 법칙의 제2 보충(二次相互法則의第二補充,틀:Llang)이라고 한다.

가우스 정수의 이차 상호 법칙

가우스 정수의 경우, 다음과 같은 형태의 이차 상호 법칙이 성립한다. $p\in \mathbb{Z}[i]$가 2가 아닌 가우스 소수이며, $k\in \mathbb{Z}[i]$가 $p$의 배수가 아닌 가우스 정수라고 하자. 그렇다면 르장드르 기호와 유사하게 다음 기호를 정의하자.

${\left[\frac{k}{p}\right]}_2=\{\begin{array}{cc}+1& p\nmid k\wedge \mathrm{\exists }n\in \mathbb{Z}[i]:n^2\equiv k(\mathrm{mod}p)\\ -1& p\nmid k\wedge \nexists n\in \mathbb{Z}[i]:n^2\equiv k(\mathrm{mod}p)\\ 0& p\mid k\end{array}$

그렇다면 다음이 성립한다.

${\left[\frac{k}{p}\right]}_2\equiv k^{(N_{\mathbb{Q}[i]/\mathbb{Q}}(p)-1)/2}(\mathrm{mod}p)$

여기서

$N_{\mathbb{Q}[i]/\mathbb{Q}}:a+bi\mapsto a^2+b^2$

는 가우스 정수의 체 노름이다.

서로 다른 두 가우스 소수 $p,q\in \mathbb{Z}[i]$에 대하여,

$\mathrm{Re}p\equiv \mathrm{Re}q\equiv 1(\mathrm{mod}2)$

$\mathrm{Im}p\equiv \mathrm{Im}q\equiv 0(\mathrm{mod}2)$

라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\left[\frac{p}{q}\right]}_2={\left[\frac{q}{p}\right]}_2$

또한, $i$ 및 $1+i$에 대하여 다음이 성립한다.

${\left[\frac{i}{p}\right]}_2=(-1{)}^{\mathrm{Im}p/2}$

${\left[\frac{1+i}{p}\right]}_2=\left(\frac{2}{\mathrm{Re}p+\mathrm{Im}p}\right)$

아이젠슈타인 정수의 이차 상호 법칙

아이젠슈타인 정수의 경우, 다음과 같은 형태의 이차 상호 법칙이 성립한다. $p\in \mathbb{Z}[\omega ]$가 아이젠슈타인 소수이며, $N(p)\ne 3$이라고 하자. 또한, $k\in \mathbb{Z}[\omega ]$가 $p$의 배수가 아닌 아이젠슈타인 정수라고 하자. 그렇다면 르장드르 기호와 유사하게 다음 기호를 정의하자.

${\left[\frac{k}{p}\right]}_2=\{\begin{array}{cc}+1& \mathrm{\exists }n\in \mathbb{Z}[\omega ]:n^2\equiv k(\mathrm{mod}p)\\ -1& \nexists n\in \mathbb{Z}[\omega ]:n^2\equiv k(\mathrm{mod}p)\end{array}$

그렇다면 다음이 성립한다.

${\left[\frac{k}{p}\right]}_2\equiv k^{(N(p)-1)/2}(\mathrm{mod}p)$

여기서

$N:a+b\omega \mapsto a^2-ab+b^2=(a+b\omega )(a+b\overline{\omega })$

는 아이젠슈타인 정수의 체 노름이다.

서로 다른 두 아이젠슈타인 소수 $p,q\in \mathbb{Z}[\omega ]$가

$p=a+b\omega (3\nmid a,3\mid b)$

$q=c+d\omega (3\nmid c,3\mid d)$

의 꼴이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\left[\frac{p}{q}\right]}_2{\left[\frac{q}{p}\right]}_2=(-1{)}^{(N(p)-1)(N(q)-1)/4)}$

또한, 다음이 성립한다.

${\left[\frac{1-\omega }{p}\right]}_2=\left(\frac{a}{3}\right)$

${\left[\frac{2}{p}\right]}_2=\left(\frac{2}{N(p)}\right)$

역사

이차 상호 법칙을 다루고 있는 《산술 연구》의 쪽

레온하르트 오일러와 아드리앵마리 르장드르는 이차 상호 법칙을 추측하였으나 증명하지 못했다. 카를 프리드리히 가우스가 《산술 연구》(틀:Llang)에서 최초로 이차 상호 법칙을 증명하였다. 가우스는 이차 상호 법칙을 "기본 정리"(틀:Llang)라고 불렀고, 이에 대하여 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2 가우스는 평생에 걸쳐 이차 상호 법칙의 8가지 다른 증명을 제시하였다.

가우스 이후, 현재까지 발표된 이차 상호 법칙의 증명들은 200여 개에 이르며, 최근까지도 꾸준히 새로운 증명들이 발표되고 있다.

예

두 홀수 소수들 사이의 제곱 잉여 여부를 표로 나타내면 다음과 같다. 이차 상호 법칙에 따라, 표가 대각선을 중심으로 대칭이거나 반대칭임을 알 수 있다.

범례

R	q는 제곱잉여 (mod p)	q ≡ 1 (mod 4) 또는 p ≡ 1 (mod 4)
N	q는 제곱잉여가 아님 (mod p)
R	q는 제곱잉여 (mod p)	q ≡ p ≡ 3 (mod 4)
N	q는 제곱잉여가 아님 (mod p)

		q
		3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97
p	3		N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N	R	R	N	N	R
	5	N		N	R	N	N	R	N	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N	R	N	R	N	R	N
	7	N	N		R	N	N	N	R	R	N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	R	N	N	N
	11	R	R	N		N	N	N	R	N	R	R	N	N	R	R	R	N	R	R	N	N	N	R	R
	13	R	N	N	N		R	N	R	R	N	N	N	R	N	R	N	R	N	N	N	R	N	N	N
	17	N	N	N	N	R		R	N	N	N	N	N	R	R	R	R	N	R	N	N	N	R	R	N
	19	N	R	R	R	N	R		R	N	N	N	N	R	R	N	N	R	N	N	R	N	R	N	N
	23	R	N	N	N	R	N	N		R	R	N	R	N	R	N	R	N	N	R	R	N	N	N	N
	29	N	R	R	N	R	N	N	R		N	N	N	N	N	R	R	N	R	R	N	N	R	N	N
	31	N	R	R	N	N	N	R	N	N		N	R	N	R	N	R	N	R	R	N	N	N	N	R
	37	R	N	R	R	N	N	N	N	N	N		R	N	R	R	N	N	R	R	R	N	R	N	N
	41	N	R	N	N	N	N	N	R	N	R	R		R	N	N	R	R	N	N	R	N	R	N	N
	43	N	N	N	R	R	R	N	R	N	R	N	R		R	R	R	N	R	N	N	R	R	N	R
	47	R	N	R	N	N	R	N	N	N	N	R	N	N		R	R	R	N	R	N	R	R	R	R
	53	N	N	R	R	R	R	N	N	R	N	R	N	R	R		R	N	N	N	N	N	N	R	R
	59	R	R	R	N	N	R	R	N	R	N	N	R	N	N	R		N	N	R	N	R	N	N	N
	61	R	R	N	N	R	N	R	N	N	N	N	R	N	R	N	N		N	N	R	N	R	N	R
	67	N	N	N	N	N	R	R	R	R	N	R	N	N	R	N	R	N		R	R	N	R	R	N
	71	R	R	N	N	N	N	R	N	R	N	R	N	R	N	N	N	N	N		R	R	R	R	N
	73	R	N	N	N	N	N	R	R	N	N	R	R	N	N	N	N	R	R	R		R	N	R	R
	79	N	R	N	R	R	N	R	R	N	R	N	N	N	N	N	N	N	R	N	R		R	R	R
	83	R	N	R	R	N	R	N	R	R	R	R	R	N	N	N	R	R	N	N	N	N		N	N
	89	N	R	N	R	N	R	N	N	N	N	N	N	N	R	R	N	N	R	R	R	R	N		R
	97	R	N	N	R	N	N	N	N	N	R	N	N	R	R	R	N	R	N	N	R	R	N	R

제곱 잉여 문제의 일부 예는 다음과 같다.

(p, q)	$p\stackrel{?}{\equiv }3\stackrel{?}{\equiv }q(\mathrm{mod}4)$	$x^2\equiv p(\mathrm{mod}q)$	$x^2\equiv q(\mathrm{mod}p)$
(3,7)	$p\equiv 3\equiv q(\mathrm{mod}4)$	해 없음	$y\equiv \pm 1(\mathrm{mod}3)$
(3,5)	$p\equiv 3\equiv ̸q(\mathrm{mod}4)$	해 없음	해 없음
(5,11)	$p\equiv ̸3\equiv q(\mathrm{mod}4)$	$x\equiv \pm 4(\mathrm{mod}11)$	$y\equiv \pm 1(\mathrm{mod}5)$
(5, 13)	$p\equiv ̸3\equiv ̸q(\mathrm{mod}4)$	해 없음	해 없음
(13, 17)	$p\equiv ̸3\equiv ̸q(\mathrm{mod}4)$	$x\equiv \pm 8(\mathrm{mod}17)$	$y\equiv \pm 2(\mathrm{mod}13)$

제곱잉여의 판별

일반적으로 어떤 수가 제곱잉여인지 아닌지를 판별하는 문제는 쉽지 않다. 이때 이차상호법칙을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

예를 들어, 다음 합동식

$x^2\equiv 57(\mathrm{mod}127)$

이 해를 가지는지를 판별하여 보자. 이것은 르장드르 기호 $\left(\frac{57}{127}\right)$의 값을 구하면 된다.

르장드르 기호의 성질에 의해,

$\left(\frac{57}{127}\right)=\left(\frac{3}{127}\right)\left(\frac{19}{127}\right)$

이다. 한편 3, 19, 127은 모두 4로 나눈 나머지가 3인 소수이므로 이차상호법칙에 의해

$\left(\frac{3}{127}\right)=(-1{)}^{\frac{(3-1)(127-1)}{4}}\left(\frac{127}{3}\right)=(-1)\left(\frac{1}{3}\right)=-1$

이고

$\left(\frac{19}{127}\right)=(-1{)}^{\frac{(19-1)(127-1)}{4}}\left(\frac{127}{19}\right)=(-1)\left(\frac{13}{19}\right)$

$=(-1)(-1{)}^{\frac{(13-1)(19-1)}{4}}\left(\frac{19}{13}\right)=(-1)\left(\frac{6}{13}\right)=(-1)\left(\frac{2}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right)$

$=(-1)(-1)(-1{)}^{\frac{(3-1)(13-1)}{4}}\left(\frac{13}{3}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)=1$

이다. 따라서

$\left(\frac{57}{127}\right)=-1$

이므로, 57은 127에 대한 제곱잉여가 아니다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
  • 틀:웹 인용
  • 틀:웹 인용
• 틀:수학노트
• 틀:서적 인용

같이 보기

• 르장드르 기호
• 야코비 기호
• 힐베르트 기호
• 유체론
• 아르틴 상호 법칙