화살집 표현

틀:위키데이터 속성 추적 화살집 표현(-表現, 틀:Llang)은 환론에서 화살집의 각 꼭짓점에 가군을 대응시키며 각 변에 가군 준동형을 대응시키는 수학 구조이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• 화살집 $Q$

추상적 정의

$Q$의 $K$ 계수 화살집 표현 $R$는 다음과 같은 함자이다.

$R:\mathrm{Free}(Q)\to {\mathrm{Mod}}_K$

여기서 $\mathrm{Free}(Q)$는 $Q$로 생성되는 자유 범주이며, ${\mathrm{Mod}}_K$는 $K$-가군의 범주이다.

두 화살집 표현 $R$, $S$ 사이의 사상 $\varphi :R\to S$은 함자 사이의 자연 변환이다.

구체적 정의

$Q$의 $K$ 계수 화살집 표현 $R$은 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 꼭짓점 $v\in \mathrm{V}(Q)$에 대하여, $K$-가군 $R_v$
• 각 변 $e:u\to v$에 대하여, $K$-가군 준동형 $R_e:R_u\to R_v$

두 화살집 표현 $R$, $S$ 사이의 사상 $\varphi :R\to S$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 각 꼭짓점 $v\in \mathrm{V}(Q)$에 대하여, $K$-가군 준동형 ${\varphi }_v:R_v\to S_v$

이는 다음 가환 그림을 만족시켜야 한다. 임의의 변 $e:u\to v$에 대하여,

$\begin{array}{ccc}{R}_u& \stackrel{{\varphi }_u}{\to }& S_u\\ R_e\downarrow R_e& & S_e\downarrow S_e\\ R_v& \to {\varphi }_v& S_v\end{array}$

환론적 정의

화살집 $Q$ 속의, 길이 $n\in \mathbb{N}$의 보행(틀:Llang)은 다음 조건을 만족시키는 유한 개의 꼭짓점과 변들의 열

$v_n,e_{n-1},\dots ,e_1,v_1,e_0,v_0$

이다.

$s(e_i)=v_i\mathrm{\forall }i\in \{0,\dots ,n-1\}$

$t(e_i)=v_{i+1}\mathrm{\forall }i\in \{0,\dots ,n-1\}$

(보행 속에서 같은 꼭짓점 또는 변이 중복되어 등장할 수 있으며, 길이 0의 보행 역시 가능하다. 길이 0의 보행들의 집합은 꼭짓점 집합과 일대일 대응한다.)

$Q$의 보행들을 기저로 갖는 $K$-자유 가군 위에 다음과 같은 곱을 정의하자.

• 임의의 두 보행 $\alpha =(v_n,e_{n-1},\dots ,e_0,v_0)$, $\beta =(v{\text{'}}_{n^{\prime }},e{\text{'}}_{n^{\prime }-1},\dots ,e{\text{'}}_0,v{\text{'}}_0)$에 대하여,
  • 만약 $v_0=v{\text{'}}_{n^{\prime }}$이라면, $\alpha \beta =(v_n,e_{n-1},\dots ,e_0,v_0,e{\text{'}}_{n^{\prime }-1},\dots ,v{\text{'}}_0)$
  • 만약 $v_0\ne v{\text{'}}_{n^{\prime }}$이라면, $\alpha \beta =0$

이는 유사환을 이루며, 만약 $Q$가 유한 개의 꼭짓점을 갖는다면, 이는 항등원

$1=\sum _{v\in \mathrm{V}(Q)}(v)$

을 가져 환을 이룬다. 이를 $Q$ 위의 보행 대수(틀:Llang) $K[Q]$라고 한다.

이제, 만약 $Q$의 꼭짓점 집합이 유한 집합일 경우, $Q$의 $K$-표현은 보행 대수 $K[Q]$의 왼쪽 가군 $R$이다.

이 정의들은 다음과 같이 대응한다.

범주론적 정의	구체적 정의	환론적 정의
꼭짓점 $v$에 대응하는 대상의 상 $R(v)$	꼭짓점 $v$에 대응되는 가군 $R_v$	$(v)R$ ($(v)$는 길이 0의 보행)
변 $e$에 대응하는 사상의 상 $R(e)$	변 $e:u\to v$에 대응하는 가군 준동형 $R_e:R_u\to R_v$	길이 1의 보행 $(u,e,v)$의 작용 $(u,e,v):(v)R\to (u)R$
보행 $(v_n,\dots ,e_0,v_0)$에 대응하는 사상의 상 $R(e_{n-1})\circ \cdots \circ R(e_0)$	보행의 변들에 대응하는 가군 준동형들의 합성 $R_{e_{n-1}}\circ \cdots \circ R_{e_0}:R_{v_0}\to R_{v_n}$	보행의 작용

연산

분리합

화살집들의 집합 $(Q_i{)}_{i\in I}$ 및 각 $i\in I$에 대하여 $Q_i$의 표현 $R^{(i)}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 $\underset{i\in I}{⨆}{Q}_i$의 $K$-표현 $\underset{i\in I}{⨆}{R}^{(i)}$이 자연스럽게 존재한다.

반대로, $\underset{i\in I}{⨆}{Q}_i$의 모든 $K$-표현은 $Q_i$들의 표현들의 족 $(R^{(i)}{)}_{i\in I}$의 분리합으로 유일하게 나타내어진다.

(이는 화살집의 분리합집합이 대응되는 범주의 쌍대곱에 대응하기 때문이다.)

직합

화살집 $Q$의 $K$-표현들의 집합 $(R^{(i)}{)}_{i\in I}$의 직합은 다음과 같은 화살집 표현이다.

$R_v=\underset{i\in i}{⨁}{R}_v^{(i)}(v\in \mathrm{V}(Q))$

$R_e=\underset{i\in i}{⨁}{R}_e^{(i)}(e\in \mathrm{E}(Q))$

직합의 항등원은 모든 성분이 영가군인 영 표현(零表現, 틀:Llang)이다. 하나 이상의 영 표현이 아닌 화살집 표현들의 직합으로 표현될 수 없는 화살집 표현을 분해 불가능 표현(分解不可能表現, 틀:Llang)이라고 한다.

성질

임의의 가환환 $K$ 및 화살집 $Q$에 대하여, $Q$의 $K$-표현들의 범주는 (작은 범주에서 아벨 범주로 가는 함자 범주이므로) 아벨 범주이다.

가브리엘 정리

${𝖠}_n$ · ${𝖣}_n$ · ${𝖤}_n$ 꼴의 근계의 딘킨 도표

가브리엘 정리(Gabriel定理, 틀:Llang)에 따르면, 화살집 $Q$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 분해 불가능 복소수 표현의 동형류의 수가 유한하다.
• 유한 개의 연결 성분을 가지며, 각 연결 성분은 (변의 방향을 망각하면) ${𝖠}_n$ · ${𝖣}_n$ · ${𝖤}_6$ · ${𝖤}_7$ · ${𝖤}_8$ 꼴의 딘킨 도표를 이룬다. (특히, 다중 그래프일 수 없다.)

또한, 위와 같은 꼴의 연결 화살집의 분해 불가능 $K$-표현의 동형류는 이에 대응되는 (A/D/E 꼴의) 근계의 양근과 일대일 대응한다.

예

임의의 가환환 $K$가 주어졌다고 하자.

공집합(즉, 0개의 꼭짓점을 갖는 화살집)은 유일한 (자명한) $K$-표현을 갖는다.

A₁

하나의 꼭짓점을 갖는 화살집 ${𝖠}_1$의 표현들은 $K$-가군이다. 특히, 만약 $K$가 체일 때, ${𝖠}_1$의 분해 불가능 $K$-표현은 1차원 표현 $K$ 밖에 없다. (이는 ${𝖠}_1$ 근계의 유일한 양근에 대응한다.)

A₂

${𝖠}_2$ 근계는 세 개의 양근 $\alpha$, $\beta$, $\alpha +\beta$를 갖는다.

두 개의 꼭짓점을 갖는 화살집 ${𝖠}_2$의 표현들은 두 $K$-가군 사이의 가군 준동형이다. 특히, 만약 $K$가 체일 때,

${𝖠}_2=\bullet u\stackrel{e}{-}\bullet v$

의 분해 불가능 $K$-표현은 다음 세 개이다. (이는 ${𝖠}_2$ 근계의 세 양근에 대응한다.)

• $R_u=K$, $R_v=0$, $R_e$는 값이 0인 상수 함수
• $R_u=0$, $R_v=K$, $R_e$는 값이 0인 상수 함수
• $R_u=R_v=K$, $R_e$는 항등 함수

역사

가브리엘 정리는 피에르 가브리엘(틀:Llang, 1933~2015)이 1972년에 증명하였다.틀:Rp

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용