역함수 정리

다변수 미적분학에서 역함수 정리(逆函數定理, 틀:Llang)는 주어진 함수가 국소적으로 충분히 매끄러운 역함수를 가질 충분 조건을 제시하는 정리이다.

정의

양의 정수 $k$ 및 열린 근방 $𝐚\in U\subseteq {ℝ}^n$ 및 ${𝒞}^k$ 함수 $𝐟:U\to {ℝ}^n$가 다음을 만족시킨다고 하자.

$\det \mathrm{D}𝐟(𝐚)\ne 0$

여기서 좌변은 $𝐟$의 $𝐚$에서의 야코비 행렬식이다. 그렇다면, $𝐟$는 $𝐚$에서 국소 ${𝒞}^k$ 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린 근방 $𝐚\in V\subseteq U$가 존재한다.

• $𝐟(V)$는 열린집합이다.
• $𝐟{|}_V$는 단사 함수이다.
• $𝐠:𝐟(V)\to {ℝ}^n$, $𝐟(𝐱)\mapsto 𝐱$는 ${𝒞}^k$ 함수이다.

이를 역함수 정리라고 한다.틀:Rp

일변수의 경우

열린구간 $a\in I\subseteq ℝ$ 및 ${𝒞}^k$ 함수 $f:I\to ℝ$가 다음을 만족시킨다고 하자.

$f^{\prime }(a)\ne 0$

그렇다면, $f$는 $a$에서 국소 ${𝒞}^k$ 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린구간 $a\in J\subseteq I$가 존재한다.

• $f(J)$는 열린구간이다.
• $f{|}_J$는 단사 함수이다.
• $g:f(J)\to ℝ$, $f(x)\mapsto x$는 ${𝒞}^k$ 함수이다.

이는 역함수 정리의 일변수 버전이다.

증명

임의의 $𝐲\in {ℝ}^n$에 대하여, 다음과 같은 함수 ${𝐅}_{𝐲}:U\to {ℝ}^n$를 정의하자.

${𝐅}_{𝐲}(𝐱)=𝐱+(\mathrm{D}𝐟(𝐚){)}^{-1}(𝐲-𝐟(𝐱))\mathrm{\forall }𝐱\in U$

그렇다면, 다음이 성립한다.

$\mathrm{D}{𝐅}_{𝐲}(𝐱)=(\mathrm{D}𝐟(𝐚){)}^{-1}(\mathrm{D}𝐟(𝐚)-\mathrm{D}𝐟(𝐱))\mathrm{\forall }𝐱\in U,𝐲\in {ℝ}^n$

그렇다면 $\mathrm{D}𝐟$가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방 $𝐚\in V\subseteq U$가 존재한다.

$\Vert \mathrm{D}𝐟(𝐚)-\mathrm{D}𝐟(𝐱)\Vert <\frac{1}{2\Vert \mathrm{D}𝐟(𝐚){)}^{-1}\Vert }$

즉, 다음이 성립한다.

$\Vert \mathrm{D}{𝐅}_{𝐲}(𝐱)\Vert <\frac{1}{2}\mathrm{\forall }𝐱\in V,𝐲\in {ℝ}^n$

즉, 다음이 성립한다.

$\Vert {𝐅}_{𝐲}(𝐱)-{𝐅}_{𝐲}({𝐱}^{\prime })\Vert \le \frac{1}{2}\Vert 𝐱-{𝐱}^{\prime }\Vert \mathrm{\forall }𝐱,{𝐱}^{\prime }\in V,𝐲\in {ℝ}^n$

이제 $𝐟{|}_V$가 단사 함수임을 보이자. $𝐱,{𝐱}^{\prime }\in V$가 $𝐟(𝐱)=𝐟({𝐱}^{\prime })$를 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, $𝐱,{𝐱}^{\prime }$는 모두 ${𝐅}_{𝐟(𝐱)}$의 고정점이다. 즉, ${𝐅}_{𝐟(𝐱)}(𝐱)=𝐱$이며 ${𝐅}_{𝐟(𝐱)}({𝐱}^{\prime })={𝐱}^{\prime }$이다. 이를 위에 대입하면, $𝐱={𝐱}^{\prime }$를 얻는다. 따라서 $𝐟{|}_V$는 단사 함수이다.

이제 $𝐟(V)$가 열린집합임을 보이자. 즉, 임의의 ${𝐱}^{\prime }\in V$에 대하여, $\mathrm{B}(𝐟({𝐱}^{\prime }),ϵ)\subseteq 𝐟(V)$인 $ϵ>0$을 찾자. 그러려면 임의의 $𝐲\in \mathrm{B}(𝐟({𝐱}^{\prime }),ϵ)$에 대하여, ${𝐅}_{𝐲}$가 $V$에서 고정점을 가지는 것으로 족하다. $\delta >0$가 $\overline{\mathrm{B}}({𝐱}^{\prime },\delta )\subseteq V$를 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 임의의 $𝐲\in \mathrm{B}(𝐟({𝐱}^{\prime }),ϵ)$에 대하여 ${𝐅}_{𝐲}(\mathrm{B}({𝐱}^{\prime },\delta ))\subseteq \mathrm{B}({𝐱}^{\prime },\delta )$가 성립함을 보이는 것으로 족하다. 사실, $ϵ=\delta /2\Vert (\mathrm{D}𝐟(𝐚){)}^{-1}\Vert$를 취하면, 임의의 $𝐲\in \overline{\mathrm{B}}(𝐟({𝐱}^{\prime }),ϵ)$ 및 $𝐱\in \mathrm{B}({𝐱}^{\prime },\delta )$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\Vert {𝐅}_{𝐲}(𝐱)-{𝐱}^{\prime }\Vert & \le \Vert {𝐅}_{𝐲}(𝐱)-{𝐅}_{𝐲}({𝐱}^{\prime })\Vert +\Vert {𝐅}_{𝐲}({𝐱}^{\prime })-{𝐱}^{\prime }\Vert \\ & \le \frac{1}{2}\Vert 𝐱-{𝐱}^{\prime }\Vert +\Vert (\mathrm{D}𝐟(𝐚){)}^{-1}(𝐲-𝐟({𝐱}^{\prime }))\Vert \\ & <\delta \end{array}$

즉, ${𝐅}_{𝐲}(𝐱)\in \overline{\mathrm{B}}({𝐱}^{\prime },\delta )$이다. 즉, ${𝐅}_{𝐲}$는 $\overline{\mathrm{B}}({𝐱}^{\prime },\delta )$ 위의 축약 사상이며, 바나흐 고정점 정리에 따라, ${𝐅}_{𝐲}$는 고정점 $𝐱\in \overline{\mathrm{B}}({𝐱}^{\prime },\delta )$를 갖는다. 따라서, $𝐲=𝐟(𝐱)\in 𝐟(\overline{\mathrm{B}}({𝐱}^{\prime },\delta ))\subseteq 𝐟(V)$이며, $𝐟(V)$는 열린집합이다.

이제 임의의 $𝐱\in V$에 대하여, $\mathrm{D}𝐟(𝐱)$가 가역 행렬임을 보이자. $𝐡\in {ℝ}^n$가 $\mathrm{D}𝐟(𝐱)𝐡=\mathrm{𝟎}$을 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}0& =\Vert \mathrm{D}𝐟(𝐱)𝐡\Vert \\ & \ge \Vert \mathrm{D}𝐟(𝐚)𝐡\Vert -\Vert (\mathrm{D}𝐟(𝐚)-\mathrm{D}𝐟(𝐱))𝐡\Vert \\ & \ge \frac{\Vert 𝐡\Vert }{\Vert (\mathrm{D}𝐟(𝐚){)}^{-1}\Vert }-\Vert \mathrm{D}𝐟(𝐚)-\mathrm{D}𝐟(𝐱)\Vert \Vert 𝐡\Vert \\ & \ge \frac{\Vert 𝐡\Vert }{2\Vert (\mathrm{D}𝐟(𝐚){)}^{-1}\Vert }\\ \end{array}$

즉, $𝐡=\mathrm{𝟎}$이다. 따라서 $\mathrm{D}𝐟(𝐱)$는 가역 행렬이다.

이제 $𝐠:𝐟(V)\to {ℝ}^n$, $𝐟(𝐱)\to 𝐱$가 ${𝒞}^k$ 함수임을 보이자. 임의의 $𝐲,𝐲+𝐤\in 𝐟(V)$에 대하여, $𝐲=𝐟(𝐱)$ 또한 $𝐲+𝐤=𝐟(𝐱+𝐡)$인 $𝐱,𝐱+𝐡\in V$를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\Vert 𝐡\Vert & \ge \Vert {𝐅}_{𝐲}(𝐱+𝐡)-{𝐅}_{𝐲}(𝐱)\Vert \\ & =\Vert 𝐡-(\mathrm{D}𝐟(𝐚){)}^{-1}𝐤\Vert \\ & \ge \Vert 𝐡\Vert -\Vert (\mathrm{D}𝐟(𝐚){)}^{-1}\Vert \Vert 𝐤\Vert \end{array}$

즉, $\Vert 𝐤\Vert \ge \Vert 𝐡\Vert /(2\Vert (\mathrm{D}𝐟(𝐚){)}^{-1}\Vert )$이다. 따라서, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\underset{𝐤\to \mathrm{𝟎}}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\Vert 𝐠(𝐲+𝐤)-𝐠(𝐲)-(\mathrm{D}𝐟(𝐱){)}^{-1}𝐤\Vert }{\Vert 𝐤\Vert }& =\underset{𝐤\to \mathrm{𝟎}}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\Vert 𝐡-(\mathrm{D}𝐟(𝐱){)}^{-1}(𝐟(𝐱+𝐡)-𝐟(𝐱))\Vert }{\Vert 𝐤\Vert }\\ & \le \underset{𝐡\to \mathrm{𝟎}}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\Vert (\mathrm{D}𝐟(𝐱){)}^{-1}\Vert }{\Vert (\mathrm{D}𝐟(𝐚){)}^{-1}\Vert }\frac{\Vert 𝐟(𝐱+𝐡)-𝐟(𝐱)-(\mathrm{D}𝐟(𝐱){)}^{-1}𝐡\Vert }{\Vert 𝐡\Vert }\\ & =0\end{array}$

즉, $\mathrm{D}𝐠(𝐱)=(\mathrm{D}𝐟(𝐠(𝐲){)}^{-1}$이며, $𝐠$는 ${𝒞}^k$ 함수이다.

따름정리

열린 함수 관련

열린집합 $U\subseteq {ℝ}^n$ 및 ${𝒞}^1$ 함수 $𝐟:U\to {ℝ}^n$가 다음을 만족시킨다고 하자.

$\det \mathrm{D}𝐟(𝐱)\ne 0\mathrm{\forall }𝐱\in U$

그렇다면, $𝐟$는 열린 함수이다. 즉, 모든 열린집합 $\tilde{U}\subseteq U$의 상 $𝐟(\tilde{U})$은 역시 열린집합이다.

(대역) 미분동형사상 관련

열린집합 $U\subseteq {ℝ}^n$ 및 단사 ${𝒞}^k$ 함수 $𝐟:U\to {ℝ}^n$가 다음을 만족시킨다고 하자.

$\det \mathrm{D}𝐟(𝐱)\ne 0\mathrm{\forall }𝐱\in U$

그렇다면, $𝐟$는 ${𝒞}^k$ 미분동형사상이다. 즉, 다음이 성립한다.

• $𝐟(U)$는 열린집합이다.
• ${𝐟}^{-1}:f(U)\to {ℝ}^n$은 역시 ${𝒞}^k$ 함수이다.

예

미분동형사상이 아닌 국소 미분동형사상

다음과 같은 함수 $𝐟:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$를 생각하자.

$𝐟(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)\mathrm{\forall }x,y\in ℝ$

그렇다면, $𝐟$는 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ 함수이며, 또한 다음을 만족시킨다.

$\det \mathrm{D}𝐟(x,y)=e^{2x}\ne 0$

음함수 정리에 따라, $𝐟$는 (모든 점에서) 국소 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$ 미분동형사상이다. 그러나 $𝐟$는 삼각 함수의 주기성에 따라 단사 함수가 아니므로, 미분동형사상이 아니다.

야코비 행렬식이 0인 점을 갖는 C⁰ 미분동형사상

다음과 같은 함수 $𝐟:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$를 생각하자.

$𝐟(x,y)=(x^3,y)\mathrm{\forall }x,y\in ℝ$

그렇다면, $𝐟$는 연속 함수이며, 다음과 같은 연속 역함수 $f^{-1}$를 갖는다.

$f^{-1}(u,v)=(u^{1/3},v)\mathrm{\forall }u,v\in ℝ$

즉, $𝐟$는 ${𝒞}^0$ 미분동형사상이다. 그러나, $\det \mathrm{D}𝐟(0,0)=0$이다. 즉, ${𝒞}^0$ 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가질 수 있다. $k>0$일 경우, ${𝒞}^k$ 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가지지 않는다.

같이 보기

• 음함수 정리

외부 링크

• 틀:매스월드