초다양체

틀:위키데이터 속성 추적 틀:초대칭 초다양체(超多樣體, 틀:Llang)는 초대칭을 고려하여 다양체의 개념을 일반화시킨 것이다. 비가환 다양체의 특정한 종류나, 일반적 비가환 공간보다 훨씬 더 정규적이어서, 미분기하학 등을 할 수 있다.

정의

초공간

틀:본문 음이 아닌 정수 $p,q$를 생각하자. ($p$는 보손적 차원의 수, $q$는 페르미온적 차원의 수다.) $p|q$차원의 초공간은 다음과 같은 데이터로 주어진 환 달린 공간이다.

• 두 실수 벡터 공간 $X$, $V$ ($\dim X=p$, $\dim V=q$)
• 자명한 벡터 다발 $E=X\times \bigwedge (V^{*})\twoheadrightarrow X$
• $E$의 매끄러운 단면으로 구성되는, $\mathbb{Z}/2$ 등급 실수 결합 대수의 층 ${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(X,E)={𝒞}^{\mathrm{\infty }}(X)\otimes \bigwedge (V^{*})$

이 층의 단면

$f\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(X,\bigwedge V^{*})$

은 다음과 같이 “테일러 급수” 전개를 갖는다.

$f=\sum _{I,J}\frac{1}{I!}{f}_{I,J}{x}^I{\xi }^J+o(1)$

$I\in {\mathbb{N}}^{\dim V}$

$J\in \{0,1{\}}^{\dim V}$

이에 따라, 이는 “가환 좌표” $(x^1,\dots ,x^p)$와 “반가환 좌표” $({\xi }^1,\dots ,{\xi }^q)$에 대한 “함수”로 여겨질 수 있다.

이 환 달린 공간을 ${ℝ}^{p|q}$로 표기하자.

초다양체

음이 아닌 정수 $p,q$를 생각하자. ($p$는 보손적 차원의 수, $q$는 페르미온적 차원의 수다.) $p|q$차원의 초다양체는 다양체이자, 국소적으로 ${ℝ}^{p|q}$와 동형인 환 달린 공간이다.

이는 일반적 매끄러운 다양체의 정의 (국소적으로 ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^p)$와 동형인 환 달린 공간)과 유사하다.

초다양체 위의 미분 형식

데카르트 좌표계 $(x^1,\dots ,x^p,{\theta }^1,\dots ,{\theta }^q)$를 갖는 초공간 ${ℝ}^{p|q}$ 위의 미분 형식들의 층은 다음과 같은, $\mathbb{Z}/2$ 등급 미분 등급 대수의 층이다.

$\mathrm{\Omega }({ℝ}^{p|q})={𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^p){\otimes }_{ℝ}\bigwedge {\mathrm{Span}}_{ℝ}\{\mathrm{d}{x}^1,\dots ,\mathrm{d}{x}^p,{\theta }^1,\dots ,{\theta }^q,\mathrm{d}{\theta }^1,\dots ,\mathrm{d}{\theta }^q\}$

$\mathrm{deg}{x}^i=\mathrm{deg}\mathrm{d}\theta =0$

$\mathrm{deg}\mathrm{d}{x}^i=\mathrm{deg}{\theta }^i=1$

임의의 $p|q$차원 초다양체 $M$의 미분 형식들의 층은 초공간 위의 미분 형식의 층들을 짜깁기하여 얻어진다.

분류

$M$이 매끄러운 다양체라고 하고, $E$가 $M$ 위의 벡터 다발이라고 하자. 그렇다면 외대수 ${\bigwedge }^{\bullet }(E^{*})$의 매끄러운 단면들의 층을 갖춘 $M$은 초다양체를 이룬다. 이를 $\mathrm{\Pi }E$라고 쓴다. $\mathrm{\Pi }$는 매끄러운 벡터 다발의 범주에서 초다양체의 범주로 가는 함자이다.

$\mathrm{\Pi }:\mathrm{VectBdl}\to \mathrm{sMfd}$

특히, $E=\mathrm{T}M$(접다발)인 경우 $\mathrm{\Pi }\mathrm{T}M$은 미분 형식들의 층 $\mathrm{\Omega }(M)$이다.

배첼러 정리(Batchelor定理, 틀:Llang)에 따르면, 이 함자는 사실상 전사 함자이다. 즉. 모든 초다양체는 $\mathrm{\Pi }E$의 꼴의 초다양체와 동형이다. 그러나 이는 표준적이지 못하며, 또한, 함자 $\mathrm{\Pi }$는 (초다양체의 범주에 동치류를 취하더라도) 범주의 동치를 이루지 않는다. 이는 초다양체의 사상이 벡터 다발 사상과 매우 다르기 때문이다. 구체적으로, 두 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$, $F\twoheadrightarrow N$이 주어졌을 때, 그 사이의 벡터 다발 사상

$\varphi :E\to F$

은 초다양체의 사상

$\mathrm{\Pi }\varphi :\mathrm{\Pi }(E)\to \mathrm{\Pi }(F)$

을 유도하는데, 층 단면의 밂

$(\mathrm{\Pi }\varphi {)}_{*}:\mathrm{\Gamma }({𝒪}_{\mathrm{\Pi }(E)})\to \mathrm{\Gamma }({𝒪}_{\mathrm{\Pi }(F)})$

는 (외대수에서 유도되는) $\mathbb{N}$ 값의 차수를 보존하지만, 일반적으로 초다양체의 사상은 $\mathbb{Z}/2$ 차수만을 보존한다.

초다양체 사상의 분류

임의의 두 초다양체 $M$, $N$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\mathrm{hom}}_{\mathrm{sMfd}}(M,N)\cong {\mathrm{hom}}_{{\mathrm{sAlg}}_{ℝ}}(\mathrm{\Gamma }({𝒪}_N),\mathrm{\Gamma }({𝒪}_M))$

여기서

• ${\mathrm{sAlg}}_{ℝ}$는 실수 위의, $\mathbb{Z}/2$ 등급을 갖는 실수 등급 대수의 범주이다.

즉, 이는 함자

$\mathrm{sMfd}\to {\mathrm{sAlg}}_{ℝ}^{\mathrm{op}}$

를 정의한다. 또한, 이는 충실충만한 함자이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
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• 틀:서적 인용

외부 링크

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같이 보기

• 초공간
• 초대칭
• 매끄러운 다양체
• 비가환 공간