리만 재배열 정리

틀:위키데이터 속성 추적 실해석학에서 리만 재배열 정리(-再配列定理, 틀:Llang)는 실수항의 조건 수렴 급수의 항의 순서를 적절히 변경하여 임의의 실수 또는 음과 양의 무한대로 수렴하도록 만들 수 있다는 정리이다. 이 정리는 유한 개의 실수의 덧셈에 대한 교환 법칙이 무한 개의 실수에 대하여 성립하지 않는다는 것보다 더 많은 내용을 담는다.

정의

실수항 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n(x_n\in ℝ)$

가 조건 수렴한다고 하자. 리만 재배열 정리에 따르면, 임의의 확장된 실수 $s\in ℝ\cup \{-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }\}$에 대하여, 다음을 만족시키는 순열 $\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$이 존재한다.틀:Rp틀:Rp

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\sigma (n)}=s$

증명

자연수(음이 아닌 정수)의 집합 $\mathbb{N}$을 다음과 같이 분할하자.

$\mathbb{N}=\{m_0,m_1,m_2,\dots \}\cup \{n_0,n_1,n_2,\dots \}$

$x_{m_k}\ge 0\mathrm{\forall }k$

$x_{n_k}<0\mathrm{\forall }k$

그렇다면,

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_{m_k}=\mathrm{\infty }$

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_{n_k}=-\mathrm{\infty }$

임을 보일 수 있다. (만약 두 급수가 모두 실수로 수렴한다면, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$은 절대 수렴하므로 모순이다. 만약 두 급수가 하나는 무한대로 발산하고 하나는 실수로 수렴한다면, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$은 무한대로 발산하므로 모순이다.) 특히, $\{m_0,m_1,\dots \}$와 $\{n_0,n_1,\dots \}$는 모두 무한 집합이다.

이제, 급수가 $s$로 수렴하도록 항을 재배열하는 방법을 찾자. 편의상 $s\ge 0$이라고 하자. 우선

$\sum _{k=0}^{i_0-1}{x}_{m_k}\le s<\sum _{k=0}^{i_0}{x}_{m_k}$

인 자연수 $i_0\in \mathbb{N}$를 취할 수 있다. 이 경우

$s<\sum _{k=0}^{i_0}{x}_{m_k}\le s+x_{m_{i_0}}$

이다. 이제

$\sum _{k=0}^{i_0}{x}_{m_k}+\sum _{k=0}^{j_0}{x}_{n_k}<s\le \sum _{k=0}^{i_0}{x}_{m_k}+\sum _{k=0}^{j_0-1}{x}_{n_k}$

인 자연수 $j_0\in \mathbb{N}$을 취하자. 그렇다면 마찬가지로

$s+x_{n_{j_0}}\le \sum _{k=0}^{i_0}{x}_{m_k}+\sum _{k=0}^{j_0}{x}_{n_k}<s$

가 성립한다. 위와 같은 과정을 반복하면 다음을 만족시키는 자연수열 $(i_r{)}_{r=0}^{\mathrm{\infty }}$ 및 $(j_r{)}_{r=0}^{\mathrm{\infty }}$을 얻는다.

$i_0<i_1<i_2<\cdots$

$j_0<j_1<j_2<\cdots$

$s<\sum _{k=0}^{i_r}{x}_{m_k}+\sum _{k=0}^{j_{r-1}}{x}_{n_k}\le s+x_{m_{i_r}}\mathrm{\forall }r\in \mathbb{N}$

$s+x_{n_{j_r}}\le \sum _{k=0}^{i_{r-1}}{x}_{m_k}+\sum _{k=0}^{j_r}{x}_{n_k}<s\mathrm{\forall }r\in \mathbb{N}$

이제, 순열 $\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}$을 다음과 같이 정의하자.

$(\sigma (n){)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}=(m_0,m_1,\dots ,m_{i_0},n_0,n_1,\dots ,n_{j_0},m_{i_0+1},m_{i_0+2},\dots ,m_{i_1},n_{j_0+1},n_{j_0+2},\dots ,n_{j_1},\dots )$

그렇다면, 임의의 $K\in \mathbb{N}$에 대하여,

$|\sum _{n=0}^{{\sigma }^{-1}(m_K)}{x}_{\sigma (n)}-s|=|\sum _{k=0}^K{x}_{m_k}+\sum _{k=0}^{j_r}{x}_{n_k}-s|<x_{m_{i_r}}(i_{r-1}<K\le i_r)$

$|\sum _{n=0}^{{\sigma }^{-1}(n_K)}{x}_{\sigma (n)}-s|=|\sum _{k=0}^{i_r}{x}_{m_k}+\sum _{k=0}^K{x}_{n_k}-s|<-x_{n_{j_r}}(j_{r-1}<K\le j_r)$

이므로

$\begin{array}{cc}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|\sum _{n=0}^N{x}_{\sigma (n)}-s|& \le \underset{K\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\max \{|\sum _{n=0}^{{\sigma }^{-1}(m_K)}{x}_{\sigma (n)}-s|,|\sum _{n=0}^{{\sigma }^{-1}(n_K)}{x}_{\sigma (n)}-s|\}\\ & \le \underset{r\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\max \{x_{m_{i_r}},-x_{n_{j_r}}\}\\ & =0\end{array}$

이다. 즉,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}_{\sigma (n)}=s$

이다.

예

조화 급수에 대응하는 교대 급수

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}$

를 생각하자. 이 급수는 $\ln 2$로 수렴한다. 그러나 하나의 양의 실수항과 2개의 음의 실수항을 번갈아 가며 배열하여 얻는 새로운 급수는 $\frac{1}{2}\ln 2$로 수렴한다.

$\begin{array}{cc}1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots =& (1-\frac{1}{2})-\frac{1}{4}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{6})-\frac{1}{8}\\ & +(\frac{1}{5}-\frac{1}{10})-\frac{1}{12}+\cdots \\ =& \frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots )\\ =& \frac{1}{2}\ln 2\end{array}$

역사

베른하르트 리만의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드