대칭 작용소

틀:위키데이터 속성 추적 작용소 이론에서 대칭 작용소(對稱作用素, 틀:Llang)는 스스로의 정의역 위에서, 스스로가 에르미트 수반과 일치하는 작용소이다. 유한 차원에서의 에르미트 행렬을 일반화한 개념이다. 자기 수반 작용소의 개념과 달리, 그 정의역이 에르미트 수반의 정의역보다 더 작을 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$ (실수체 또는 복소수체 가운데 하나)
• $𝕂$-위상 벡터 공간 $E$
• $E$의 조밀 부분 벡터 공간 $\mathrm{dom}A$
• $𝕂$-선형 변환 $A:\mathrm{dom}A\to E^{*}$

만약 $A$가 다음 조건을 만족시킨다면, $A$를 대칭 작용소라고 한다.

$⟨Ax|y⟩=\overline{⟨Ay|x⟩}\mathrm{\forall }x,y\in \mathrm{dom}A$

여기서

• $E^{*}$는 $E$의 연속 쌍대 공간이다.
• $\overline{a}:𝕂\to 𝕂$는 $𝕂=ℂ$일 경우 복소켤레이며, $𝕂=ℝ$일 경우 항등 함수이다.
• $⟨|⟩$는 $E$와 $E^{*}$ 사이의 자연스러운 곱 (즉, 연속 범함수의 값매김)이다.

힐베르트 공간의 경우

$H$가 힐베르트 공간이라고 하자. 리스 표현 정리에 따라 $H\cong H^{*}$이다. 이 경우, 대칭 작용소는 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

$𝕂$-힐베르트 공간 $(H,⟨\cdot |\cdot ⟩)$의 조밀 부분 벡터 공간 $\mathrm{dom}A\subseteq H$에 정의된 선형 변환

$A:\mathrm{dom}A\to H$

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.틀:Rp

• $A$는 대칭 작용소이다.
• 모든 $u,v\in \mathrm{dom}A$에 대하여, $⟨u|A|v⟩=⟨Au|v⟩$이다.
• $\mathrm{dom}A\subset \mathrm{dom}{A}^{*}$이며, 모든 $u\in \mathrm{dom}A$에 대하여 $Au=A^{*}u$이다. 여기서 $A^{*}$는 에르미트 수반이다.

힐베르트 공간 위의 대칭 작용소의 경우 항상 $\mathrm{dom}A\subset \mathrm{dom}{A}^{*}$이며, 따라서 $\mathrm{dom}{A}^{*}$ 역시 조밀 집합이다.

대칭 작용소 $A$의 경우, $\mathrm{dom}A=\mathrm{dom}{A}^{*}$일 필요는 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, 자기 수반 작용소의 개념을 얻는다.

성질

함의 관계

힐베르트 공간 $H$의 조밀 부분 벡터 공간 $D$ 위에 정의된 작용소 $D\to H$들의 종류에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

자기 수반 작용소	⊂	대칭 작용소	⊂	작용소
∪		∪		∪
유계 자기 수반 작용소	=	유계 대칭 작용소	⊂	유계 작용소

여기서 둘째 줄(유계 작용소)의 경우 $D=H$이다. 즉, 헬링거-퇴플리츠 정리(틀:Llang)에 따르면, 정의역이 힐베르트 공간 전체인 대칭 작용소는 유계 작용소이다.틀:Rp

유한 차원 힐베르트 공간 ${ℂ}^n$ 위의 작용소 $A$에 대하여, 다음이 서로 동치이다.

• $A$는 대칭 작용소이다.
• $A$는 자기 수반 작용소이다.
• $A$의 행렬은 에르미트 행렬이다.

결점 지표

복소수 힐베르트 공간 $H$ 위의 대칭 작용소

$A:\mathrm{dom}A\to H$

를 생각하자. 즉, 부분 공간

$\mathrm{dom}A\subseteq \mathrm{dom}{A}^{*}\subseteq H$

이 존재한다. 이제 다음과 같은 두 부분 공간을 정의하자.

$N_{\pm }=\mathrm{im}(A\pm \mathrm{i}{)}^{\perp }=\{y\in H:\mathrm{\forall }x\in \mathrm{dom}A:⟨y|A|x⟩=-\mathrm{i}⟨y|x⟩\}$

이들은 직교 여공간이므로 닫힌집합이며, 특히 힐베르트 공간을 이룬다. 그 차원

$\dim N_{\pm }$

을 $A$의 결점 지표(缺點指標, 틀:Llang)라고 한다.

폰 노이만 공식(틀:Llang)에 따르면, 다음이 성립한다.

$N_{\pm }=\ker (A^{*}\mp \mathrm{i})$

대칭 확장

$𝕂$-힐베르트 공간 $H$ 위의 대칭 작용소 $A:\mathrm{dom}A\to H$의 대칭 확장(對稱擴張, 틀:Llang)은 다음을 만족시키는 작용소 $\tilde{A}:\mathrm{dom}\tilde{A}\to H$이다. 이 경우 $A\subseteq \tilde{A}$라고 표기하자.

• $\mathrm{dom}A\subseteq \mathrm{dom}\tilde{A}$
• $\mathrm{\forall }v\in \mathrm{dom}A:Av=\tilde{A}v$

즉, 이는

$\mathrm{graph}A\subseteq \mathrm{graph}\tilde{A}\subseteq H\oplus H$

인 조건과 같다.

대칭 확장 관계를 통해, $H$ 위의 대칭 작용소들의 집합은 부분 순서 집합을 이룬다. 대칭 작용소의 대칭 확장은 일반적으로 유일하지 않으며, 존재하지 않을 수도 있다.

$𝕂=ℂ$라고 추가로 가정하자. 대칭 작용소 $A$의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 유니터리 작용소와 일대일 대응한다.틀:Rp

$U:N_{+}\to N_{-}$

특히, $A$가 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 두 결점 지표가 같은 것이다.

$\dim N_{+}=\dim N_{-}$

또한, $A$가 유일한 자기 수반 확장을 가질 필요 충분 조건은 두 결점 지표가 모두 0인 것이다.

$0=\dim N_{+}=\dim N_{-}$

예

다음을 생각하자.

$H={\mathrm{L}}^2([0,1];ℂ)$

$\mathrm{dom}A=\{f\in {𝒞}^1([0,1],ℂ):f(0)=f(1)=0\}⊊H$

$A:\mathrm{dom}A\to H$

$A:f\mapsto -\mathrm{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$

그렇다면, $A$는 대칭 작용소이다. 이 경우, $N_{\pm }$은 다음과 같은 미분 방정식의 해의 공간이다.

$\mp \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

이는 각각 1차원이며, 구체적으로

$N_{\pm }=\mathrm{Span}\{x\mapsto \exp (\mp x)\}$

이다. 따라서 $A$는 자기 수반 연산자가 아니지만, 자기 수반 확장을 갖는다. 자기 수반 확장의 공간은 $\mathrm{U}(1)$과 동형이다.

구체적으로,

$\mathrm{dom}\tilde{A}=\{f\in {𝒞}^1([0,1],ℂ):f(0)=f(1)\}⊊H$

$\tilde{A}:\mathrm{dom}A\to H$

$\tilde{A}:f\mapsto -\mathrm{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$

을 생각하자. 이는 $A$의 대칭 확장인데, 이 경우 $N_{+}(\tilde{A})=N_{-}(\tilde{A})=0$이므로, 유일한 자기 수반 확장을 갖는다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom