등각 대칭

틀:위키데이터 속성 추적 틀:양자장론 양자장론에서 등각 대칭(等角對稱, 틀:Llang)은 양자장론이 가질 수 있는 대칭의 하나이다.^[1] 대략, 이 대칭을 가진 이론은 특별한 길이 눈금을 갖지 않고, 모든 길이 눈금이 동등하다. 등각 대칭을 갖는 양자장론을 등각 장론이라 한다.

정의

d차원 민코프스키 공간의 등각 대칭군은 $SO (d, 2)$ 이다. 이는 푸앵카레 군 $ISO (d - 1, 1)$ 을 부분군으로 포함한다.

$μ, ν, \dots \in {1, 2, \dots, d}$ 라고 할 때, 등각 대칭군의 생성원들은 다음과 같다.

기호	이름	성분 수	등각 차원
$M_{μ ν}$	회전 및 로런츠 변환	$d (d - 1) / 2$	0
$P_{μ}$	병진 변환	$d$	+1
$D$	확대 변환	1	0
$K_{μ}$	특수 등각 변환(틀:Llang)	$d$	−1

이 가운데 $M$ 만 남기면 로런츠 군, $M$ 과 $P$ 만 남기면 푸앵카레 군이 된다.

등각 대칭군의 리 대수는 다음과 같다.^[1]틀:Rp

[D, K^{μ}] = - i K^{μ}

[D, P_{μ}] = i P_{μ}

[K_{μ}, P_{ν}] = 2 i (η_{μ ν} D - M_{μ ν})

[K_{μ}, M_{ν ρ}] = i (η_{μ ν} K_{ρ} - η_{μ ρ} K_{ν})

[P_{ρ}, M_{μ ν}] = i (η_{ρ μ} P_{ν} - η_{ρ ν} P_{μ})

[M_{μ ν}, M_{ρ σ}] = i (η_{ν ρ} M_{μ σ} + η_{μ σ} M_{ν ρ} - η_{μ ρ} M_{ν σ} - η_{ν σ} M_{μ ρ})

여기서 $η_{μ ν}$ 는 민코프스키 계량 텐서이다. 나머지 리 괄호들은 모두 0이다.

방사 양자화(틀:Llang) 아래, 등각 대칭 생성원의 에르미트 수반은 다음과 같다. (등각 장론에 대하여 통상적으로 쓰이는 방사 양자화에서의 에르미트 수반은 일반 양자장론에 쓰이는 양자화에서의 에르미트 수반과 다르다.)

D^{†} = - D

(P_{μ})^{†} = K^{μ}

(M_{μ ν})^{†} = M^{μ ν}

등각 대칭군이 $SO (d, 2)$ 임을 보이기 위해서, 다음을 정의하자.

M_{- 1, 0} = D

M_{- 1, μ} = \frac{1}{2} (P_{μ} - K_{μ})

M_{0, μ} = \frac{1}{2} (P_{μ} + K_{μ})

그렇다면, 지표 $M, N \in {- 1, 0, 1, \dots, d}$ 에 대하여 $M_{M, N}$ 은 $SO (d, 2)$ 의 표준적인 생성원을 이룬다.

[M_{M N}, M_{P Q}] = i (η_{M Q} J_{N P} + η_{N P} J_{A Q} - η_{M P} M_{N Q} - η_{N Q} J_{M P})

(M_{M N})^{†} = M^{M N}

여기서

η_{- 1, - 1} = - 1

η_{0, 0} = 1

이다.

등각 대칭은 스칼라장에 대하여 다음과 같이 표현된다.^[1]틀:Rp

M_{μ ν} \equiv i (x_{μ} \partial_{ν} - x_{ν} \partial_{μ})

P_{μ} \equiv - i \partial_{μ}

D \equiv - i x_{μ} \partial^{μ}

K_{μ} \equiv i (x^{2} \partial_{μ} - 2 x_{μ} x_{ν} \partial^{ν})

4차원의 경우, 등각 대칭군 $SO (4, 2) \sim SU (2, 2)$ 의 모든 양 에너지 유니터리 표현들이 분류되었다.^[2]^[3]