오일러-매클로린 공식

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 오일러-매클로린 공식(Euler–Maclaurin formula)은 어떤 적분 값과 이와 밀접하게 관련된 합 사이의 차이에 대한 공식이다. 이 공식은 유한 합으로 적분을 근사화하거나 반대로 적분과 미적분학 방법을 사용하여 유한 합이나 무한 급수를 평가하는 데 사용할 수 있다. 예를 들어, 이 공식으로부터 다수의 점근적 확장식이 파생되고, 거듭제곱의 합에 대한 파울하버(Johann Faulhaber)의 공식은 이로부터 곧바로 유도된다.

이 공식은 1735년경 레온하르트 오일러와 콜린 매클로린에 의해 독립적으로 발견되었다. 오일러는 천천히 수렴하는 무한급수를 계산하는 데 이 식이 필요했고 매클로린은 적분을 계산하는 데 이 식을 사용했다. 나중에 다르부(Darboux)의 공식으로 일반화되었다.

공식

만일 틀:수학 변수 과 틀:수학 변수 이 자연수 이고 틀:수학 가 구간 틀:수학 에서 실수 틀:수학 변수 에 대한 실수 또는 복소수 값 연속 함수 인 경우에 적분식$$I=\underset{m}{\overset{n}{\int }}f(x)dx$$는 아래의 합계로 근사할 수 있고, 그 역도 가능하다.$$S=f(m+1)+\cdots +f(n-1)+f(n)$$( 사각형 방법 참조). 오일러-매클로린 공식은 구간의 끝점, 즉 틀:수학 및 틀:수학 에서 평가된 더 높은 도함수 틀:수학 값을 이용하여 합과 적분 값의 차이에 대한 식을 제공한다.

구체적으로, 양의 정수 틀:수학 변수 와 틀:수학 구간에서 틀:수학 변수 번 연속적으로 미분 할 수 있는 함수 틀:수학 에 대해 우리는 다음 식,$$S-I=\sum _{k=1}^p\frac{B_k}{k!}(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m))+R_p,$$을 갖는데, 여기서 틀:수학 변수 는 틀:수학 변수번째 베르누이 수 (with 틀:수학이고, 틀:수학 변수 는 차이값으로 틀:수학 변수, 틀:수학 변수, 틀:수학 변수, 및 틀:수학 변수에 의돈하고 적당한 틀:수학 변수에 대하여 작은 값이다.

이 공식은 종종 짝수의 하첨자만을 취하면서 기술하는데, 이는 틀:수학 을 제외하고 홀수 베르누이 수가 0이기 때문이다. 이 경우에 식은,$$\sum _{i=m}^{n}f(i)=\underset{m}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\frac{f(n)+f(m)}{2}+\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{p}{2}\rfloor }\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_p,$$가 되고, 달리 표현하면,$$\sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\underset{m}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\frac{f(n)-f(m)}{2}+\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{p}{2}\rfloor }\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_p$$가 된다.

나머지 항

일반적으로 적분값이 합산값과 정확하게 같지 않기 때문에 나머지 항이 발생한다. 이 공식은 틀:수학 대해 연속적인 구간 틀:수학 에 대하여 부분적분을 반복적으로 적용하여 유도할 수 있다. 이러한 적분의 경계 항은 공식의 주요 항으로 유도되고 잔류 적분은 나머지 항을 형성한다.

나머지 항은 주기화된 베르누이 함수 틀:수학 로 정확하게 표현된다. 베르누이 다항식은 틀:수학 에 의해 재귀적으로 정의될 수 있고, 틀:수학 인 경우 아래와 같이 된다.$$\begin{array}{cc}{B_k}^{\prime }(x)& =k{B}_{k-1}(x),\\ \underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_k(x)dx& =0.\end{array}$$주기화된 베르누이 함수는 다음 식,$$P_k(x)=B_k(x-\lfloor x\rfloor )$$으로 정의되는데, 여기서 틀:수학 는 x보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 나타내므로 틀:수학 는 항상 구간 틀:수학 에 있다.

이 표기법에서 나머지 항 틀:수학 변수 는 다음과 같다.$$R_p=(-1{)}^{p+1}\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{(p)}(x)\frac{P_p(x)}{p!}dx.$$이 식은 틀:수학 일 때 다음 식,$$|B_k(x)|\le \frac{2\cdot k!}{(2\pi {)}^k}\zeta (k),$$으로 표기될 수 있는데, 여기서 틀:수학 변수 는 리만 제타 함수를 나타낸다. 이 부등식을 증명하는 한 가지 방법은 다항식 틀:수학 에 대한 푸리에 급수를 얻는 것이다. 한계값은 틀:수학 변수 가 0일 때 짝수 틀:수학 변수 에 대하여 달성된다. 틀:수학 항은 홀수 틀:수학 변수 에 대해 생략될 수 있지만 이 경우 증명은 더 복잡하다(레머 참조). 이 부등식을 사용하여 나머지 항의 크기는 다음과 같이 추정할 수 있다.$$\left|R_p\right|\le \frac{2\zeta (p)}{(2\pi {)}^p}\underset{m}{\overset{n}{\int }}|f^{(p)}(x)|dx.$$

저 차수 사례

틀:수학 부터 틀:수학 까지의 베르누이 수는, 틀:수학이다. 따라서, 오일러-매클로린 공식의 저 차수 값은 아래와 같이 된다.$$\begin{array}{cc}\sum _{i=m}^{n}f(i)-\underset{m}{\overset{n}{\int }}f(x)dx& =\frac{f(m)+f(n)}{2}+\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx\\ & =\frac{f(m)+f(n)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(n)-f^{\prime }(m)}{2!}-\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{″}(x)\frac{P_2(x)}{2!}dx\\ & =\frac{f(m)+f(n)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(n)-f^{\prime }(m)}{2!}+\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{‴}(x)\frac{P_3(x)}{3!}dx\\ & =\frac{f(m)+f(n)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(n)-f^{\prime }(m)}{2!}-\frac{1}{30}\frac{f^{‴}(n)-f^{‴}(m)}{4!}-\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{(4)}(x)\frac{P_4(x)}{4!}dx\\ & =\frac{f(m)+f(n)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(n)-f^{\prime }(m)}{2!}-\frac{1}{30}\frac{f^{‴}(n)-f^{‴}(m)}{4!}+\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{(5)}(x)\frac{P_5(x)}{5!}dx\\ & =\frac{f(m)+f(n)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(n)-f^{\prime }(m)}{2!}-\frac{1}{30}\frac{f^{‴}(n)-f^{‴}(m)}{4!}+\frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}-\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{(6)}(x)\frac{P_6(x)}{6!}dx\\ & =\frac{f(m)+f(n)}{2}+\frac{1}{6}\frac{f^{\prime }(n)-f^{\prime }(m)}{2!}-\frac{1}{30}\frac{f^{‴}(n)-f^{‴}(m)}{4!}+\frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(n)-f^{(5)}(m)}{6!}+\underset{m}{\overset{n}{\int }}{f}^{(7)}(x)\frac{P_7(x)}{7!}dx.\end{array}$$

응용

바젤 문제

Basel 문제는 아래 합을 결정하는 것이다.$$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}.$$오일러는 1735년에 오일러-매클로린 공식의 겨우 몇개의 항을 계산하여 소수점 이하 20자리까지 계산하였다. 아마도 오일러는 이로써 이 값이 틀:수학과 같을 것으로 확신하였고, 같은 해에 이를 증명하였다.

다항식을 포함하는 합계

만일 틀:수학 변수 가 다항식이고 틀:수학 변수 가 충분히 크면 나머지 항이 사라진다. 예를 들어 틀:수학 이면 틀:수학 를 선택하여 단순화 후 다음을 얻을 수 있다.$$\sum _{i=0}^n{i}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2.$$

적분의 근사

이식에 의하면 정적분을 근사하는 수단이 제공된다. 이제 틀:수학 를 적분 구간의 끝점이라고 한다. 근사에서 사용하는 점의 숫자인 틀:수학 변수 으로 고정하고, 이에 따른 스텝의 크기를 틀:수학틀:수학 으로 표기한다. 틀:수학 으로 고정하면, 틀:수학 및 틀:수학이 된다. 그렇다면 아래식으로 된다.$$\begin{array}{cc}I& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\\ & \sim h(\frac{f(x_1)}{2}+f(x_2)+\cdots +f(x_{N-1})+\frac{f(x_N)}{2})+\frac{h^2}{12}[f^{\prime }(x_1)-f^{\prime }(x_N)]-\frac{h^4}{720}[f^{‴}(x_1)-f^{‴}(x_N)]+\cdots \end{array}$$이것은 수정 항을 포함하여 사다리꼴 공식을 확장하는 것으로 볼 수 있다. 이 점근적 확장은 일반적으로 수렴하지 않는다. 즉 틀:수학 변수 와 틀:수학 변수 에 따라 일부 틀:수학 변수 가 있으므로 과거 순서 틀:수학 변수 가 빠르게 증가한다. 따라서 나머지 항은 일반적으로 세심한 주의가 필요하다.

오일러-매클로린 공식은 수치 직교에서 상세한 오차 분석에도 사용된다. 이 식은 완만한 주기 함수에 대한 사다리꼴 규칙의 우수한 성능을 설명하고 특정한 외삽 방법에 사용된다. Clenshaw-Curtis 구적법 은 (특정한 경우 오일러-매클로린 공식은 이산 코사인 변환의 형태를 취한다는 점에서) 본질적으로 오일러-매클로린 접근법이 매우 정확하게 되는 주기 함수의 적분 항으로 임의의 적분을 캐스팅하기 위하여 변수를 변경한 것이다. 이 기법은 주기화 변환으로 알려져 있다.

합의 점근적 확장

합과 급수의 점근 전개를 계산하는 경우에 일반적으로 오일러-맥클로린 공식의 가장 유용한 형식은 다음과 같다.$$\sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\frac{f(b)+f(a)}{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)),$$여기서 틀:수학 변수 와 틀:수학 변수 는 정수이다. 이 확장은 극한 틀:수학 또는 틀:수학 또는 둘 모두를 취한 후에도 종종 유효하다. 많은 경우에 우변의 적분은, 비록 좌변의 합은 할 수 없지만, 기본 함수의 항의 닫힌 형식 으로 평가할 수 있다. 그러면 점근적 급수의 모든 항은 기본 함수로 표현될 수 있다.

예를 들어,$$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^2}\sim \underset{=\frac{1}{z}}{\underbrace{\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(z+k{)}^2}dk}}+\frac{1}{2z^2}+\sum _{t=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2t}}{z^{2t+1}}$$ 와 같이 될 수 있다.

여기서 좌변은 틀:수학, 즉 다음과 같이 정의된 1차 폴리감마 함수,

${\psi }^{(1)}(z)=\frac{d^2}{d{z}^2}\log \mathrm{\Gamma }(z)$

와 같다.

감마 함수 틀:수학 는 틀:수학 틀:수학 변수 가 양의 정수일 때. 그 결과 틀:수학 에 대한 점근적 확장이 발생한다. 반대로 이 확장은 스털링의 계승 함수 근사에 대한 정확한 오차 추정치의 도출 중 하나를 위한 시작점 역할을 한다.

예

만일 틀:수학 변수 가 1보다 큰 정수이면 아래 식이 된다.$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^s}\approx \frac{1}{s-1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{(s-1)n^{s-1}}+\frac{1}{2n^s}+\sum _{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}[\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!}-\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}].$$상수를 리만 제타 함수의 값으로 수집하면 아래의 점근 전개를 작성할 수 있다.$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^s}\sim \zeta (s)-\frac{1}{(s-1)n^{s-1}}+\frac{1}{2n^s}-\sum _{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}}.$$여기서 틀:수학 변수 가 2인 경우 이는 다음과 같이 단순화된다.$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}\sim \zeta (2)-\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}-\sum _{i=1}\frac{B_{2i}}{n^{2i+1}},$$즉,$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}\sim \frac{{\pi }^2}{6}-\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^2}-\frac{1}{6n^3}+\frac{1}{30n^5}-\frac{1}{42n^7}+\cdots .$$여기서 틀:수학 일 때 해당 기술은 고조파 수에 대해 점근적 확장을 제공한다.$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\sim \gamma +\log n+\frac{1}{2n}-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{2k{n}^{2k}},$$여기서 틀:수학 는 오일러-마스케로니 상수이다.

증명

수학적 귀납법에 의한 유도

우리는 Apostol에서 주어진 주장을 요약한다.

위에서 틀:수학 에 대한 베르누이 다항식 틀:수학 및 주기적 베르누이 함수 틀:수학 가 소개되었다.

처음 몇 개의 Bernoulli 다항식은 다음과 같다.$$\begin{array}{cc}{B}_0(x)& =1,\\ B_1(x)& =x-\frac{1}{2},\\ B_2(x)& =x^2-x+\frac{1}{6},\\ B_3(x)& =x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x,\\ B_4(x)& =x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30},\\ & ⋮\end{array}$$틀:수학 값은 베르누이 수 틀:수학이다. 특히 틀:수학 경우$$B_n=B_n(1)=B_n(0),$$되고, 그리고 틀:수학 인 경우,$$B_1=B_1(1)=-B_1(0).$$이 됨을 유의하라.

함수 틀:수학 은 간격 틀:수학에서 베르누리 다항식과 일치하고 주기 1로 주기적이다. 또한 틀:수학 인 경우를 제외하고는 연속적이다. 따라서,$$P_n(0)=P_n(1)=B_n\text{for }n\ne 1.$$틀:수학 를 정수로 두고 아래 적분,$$\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}f(x)dx=\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}udv,$$여기서$$\begin{array}{cc}u& =f(x),\\ du& =f^{\prime }(x)dx,\\ dv& =P_0(x)dx& \text{since }{P}_0(x)& =1,\\ v& =P_1(x).\end{array}$$인 적분을 고려하자.

이 식은 부분 적분에 의하면 아래 식이 된다.$$\begin{array}{cc}\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}f(x)dx& =[uv{]}_k^{k+1}-\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}vdu\\ & =[f(x)P_1(x){]}_k^{k+1}-\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx\\ & =B_1(1)f(k+1)-B_1(0)f(k)-\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx.\end{array}$$틀:수학틀:수학, 틀:수학틀:수학, 를 이용하고, 위 식을 틀:수학 부터 틀:수학까지 더하면, 위식은 아래와 같이 된다.$$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx+\cdots +\underset{n-1}{\overset{n}{\int }}f(x)dx\\ & =\frac{f(0)}{2}+f(1)+\cdots +f(n-1)+\frac{f(n)}{2}-\underset{0}{\overset{n}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx.\end{array}$$양변에 틀:수학 을 더하고 항을 정리하면, 위 식은 아래와 같이 된다.$$\sum _{k=1}^{n}f(k)=\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\frac{f(n)-f(0)}{2}+\underset{0}{\overset{n}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx.$$이것은 합산 공식에서 틀:수학 경우이다. 유도를 계속하기 위해 오차 항에 부분적분을 아래와 같이 적용한다.$$\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{\prime }(x)P_1(x)dx=\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}udv,$$여기서, $$\begin{array}{cc}u& =f^{\prime }(x),\\ du& =f^{″}(x)dx,\\ dv& =P_1(x)dx,\\ v& =\frac{1}{2}{P}_2(x).\end{array}$$이다. 부분적분의 결과는 $$\begin{array}{cc}[uv{]}_k^{k+1}-\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}vdu& ={\left[\frac{f^{\prime }(x)P_2(x)}{2}\right]}_k^{k+1}-\frac{1}{2}\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{″}(x)P_2(x)dx\\ & =\frac{B_2}{2}(f^{\prime }(k+1)-f^{\prime }(k))-\frac{1}{2}\underset{k}{\overset{k+1}{\int }}{f}^{″}(x)P_2(x)dx.\end{array}$$이다. 틀:수학 에서 틀:수학 까지 합산하고 이를 하위 오차 항으로 대체하면 공식에서 틀:수학 경우가 된다.$$\sum _{k=1}^{n}f(k)=\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx+\frac{f(n)+f(0)}{2}+\frac{B_2}{2}(f^{\prime }(n)-f^{\prime }(0))-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{n}{\int }}{f}^{″}(x)P_2(x)dx.$$이러한 절차는 반복적으로 수행될 수 있다. 이러한 방식으로 수학적 귀납법에 의해 공식화 될 수 있는 오일러-맥클로린 합산 공식의 증명을 얻는다. 여기서 귀납법의 각 단계는 부분적분과 주기적인 베르누이 함수에 대한 항등식에 의존한다.

같이 보기

• Cesàro 합계
• 오일러 합계
• 가우스-크론로드 직교 공식
• Darboux의 공식
• 오일러–부울 합계

추가 자료

• 틀:저널 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:매스월드