조화수

틀:위키데이터 속성 추적 다음은 조화수(Harmonic number)에 대한 설명이다.

조화수$H_{(n,1)}$ 여기서 $n=\lfloor x\rfloor$ (빨간선) 점근선 한계 , $\gamma +\ln (x)$ (파란선)에서 $\gamma$는 오일러-마스케로니 상수

$H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$

조화 급수의 n항까지의 부분합을 조화수(harmonic number)라고 한다. 즉,

$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$

이 조화수는 n이 2 이상이면 정수가 될 수 없다.

발산속도는 다음과 같다.

$\sum _{n=1}^k\frac{1}{n}=\ln k+\gamma +O(1/k)$

여기서 $\gamma$는 오일러-마스케로니 상수를 의미한다.

조화수의 연산

$H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$

$H_n=\frac{1}{n}+H_{n-1}$

$H_n^{\text{'}}=\sum _{k=1}^n\frac{-1^{(k+1)}}{k}$

$H_{2n}^{\text{'}}=\sum _{k=1}^{2n}\frac{-1^{(k+1)}}{k}$

같이 보기

• 조화 수열
• 킨친 상수

참고

• 매스월드