감마 함수

실수축 위에서 감마 함수의 그래프

틀:미적분학 수학에서 감마 함수(Γ函數, 틀:Llang)는 계승 (수학) 함수의 해석적 연속이다.

감마 함수의 기호는 감마(Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다.

양의 정수 n에 대하여 $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$이 성립한다.

정의

복소평면에서의 감마 함수

감마 함수는 다음과 같이 여러 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 동치임을 보일 수 있다.

오일러 적분

감마 함수는 다음과 같은 적분으로 정의된다. 이 적분을 오일러 적분이라고 한다.

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt(\mathrm{Re}z>0)$

오일러 적분은 상반평면 $\{z\in ℂ:\mathrm{Re}z>0\}$ 인 영역에서 절대수렴한다. 여기에 해석적 연속을 사용해 이 함수의 정의역을 위의 단순극을 제외한 전 복소평면으로 확장할 수 있다. 이 확장된 함수를 감마 함수라 부른다.

가우스 극한

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}{n}^z(z\ne 0,-1,-2,\dots )$

이 정의는 오일러의 이름을 따 오일러 극한 형태라고도 불리기도 한다.

바이어슈트라스 무한곱

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{1}{z\exp (\gamma z)}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\exp (z/n)}{1+z/n}$

여기서 $\gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 정의는 카를 바이어슈트라스의 이름을 따 바이어슈트라스 무한곱 형태라고도 불리기도 한다.

계승의 일반화에서 주의점

틀:본문 만약 감마함수를 자연수 $n$에 대해

$\mathrm{\Gamma }\left(n\right)=(n-1)!$

을 만족하는 함수로 정의하면 감마 함수는 유일하지 않다. 예를 들어

$f(x)=\mathrm{\Gamma }(x){\cos }^2\pi x$

또한 위 성질을 만족함을 확인할 수 있다. 감마 함수는 이중 유일하게 $\ln \mathrm{\Gamma }(z)$가 양의 실수축상에서 볼록함수이다.

성질

감마 함수는 정의역에서 정칙 함수이다. 즉, 다음이 성립한다.

$\overline{\mathrm{\Gamma }(z)}=\mathrm{\Gamma }(\overline{z})$

특이점

감마 함수의 절댓값을 나타낸 그림. 양이 아닌 정수에서 극점을 갖는 것을 볼 수 있다.

감마 함수는 복소평면에서 유리형 함수이며, 양이 아닌 정수 $z=0,-1,-2,\dots$에서 단순극을 가진다. 단순극 $-n$에서 유수의 값은 $\frac{(-1{)}^n}{n!}$이다. 감마 함수는 영점을 갖지 않는다. 즉, 그 역수 $1/\mathrm{\Gamma }(z)$는 전해석 함수이다.

함수 방정식

감마 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 만족시킨다.

$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z)$

$\mathrm{\Gamma }(1-z)\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\pi }{\sin (\pi z)}$

두 번째 공식은 오일러 반사 공식(틀:Llang)이라고 불린다.

곱의 정리

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{m})\mathrm{\Gamma }(z+\frac{2}{m})\cdots \mathrm{\Gamma }(z+\frac{m-1}{m})=(2\pi {)}^{(m-1)/2}{m}^{1/2-mz}\mathrm{\Gamma }(mz).$

특히, 이 정리의 특수한 경우로 다음과 같은 두 배 공식을 유도할 수 있다.

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z}\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(2z)$

미분과 적분

감마 함수의 미분은 다음과 같이 폴리감마 함수 ${\psi }_0(z)$로 주어진다.

${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(z)=\mathrm{\Gamma }(z){\psi }_0(z)$

특별히, 양수 m에서의 감마 함수의 미분은 아래와 같이 오일러-마스케로니 상수 γ를 사용해 나타낼 수 있다.

${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(m+1)=m!\cdot (-\gamma +\sum _{k=1}^m\frac{1}{k})$

일반적으로, 감마 함수의 n차 미분은 다음과 같다.

$\frac{d^n}{(dx{)}^n}\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}{\ln }^{n}tdt$

감마 함수의 극, z가 음수인 경우에서의 유수의 값은 다음과 같다.

$\mathrm{Res}(\mathrm{\Gamma },-n)=\frac{(-1{)}^n}{n!}$

특별한 값

반정수에서 감마 함수는 다음과 같다. 음이 아닌 정수 n에 대하여,

$\mathrm{\Gamma }(1/2+n)=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi }$

$\mathrm{\Gamma }(1/2-n)=\frac{(-4{)}^{n}n!}{(2n)!}\sqrt{\pi }$

이 공식들은 $\mathrm{\Gamma }(1/2)=\sqrt{\pi }$로부터 수학적 귀납법으로 유도할 수 있다.

몇몇 경우의 감마 함수의 값은 다음과 같다.

$\begin{array}{ccc}\mathrm{\Gamma }(-3/2)& =\frac{4\sqrt{\pi }}{3}& \approx 2.363\\ \mathrm{\Gamma }(-1/2)& =-2\sqrt{\pi }& \approx -3.545\\ \mathrm{\Gamma }(1/2)& =\sqrt{\pi }& \approx 1.772\\ \mathrm{\Gamma }(1)& =0!& =1\\ \mathrm{\Gamma }(3/2)& =\frac{\sqrt{\pi }}{2}& \approx 0.886\\ \mathrm{\Gamma }(2)& =1!& =1\\ \mathrm{\Gamma }(5/2)& =\frac{3\sqrt{\pi }}{4}& \approx 1.329\\ \mathrm{\Gamma }(3)& =2!& =2\\ \mathrm{\Gamma }(7/2)& =\frac{15\sqrt{\pi }}{8}& \approx 3.323\\ \mathrm{\Gamma }(4)& =3!& =6\end{array}$

$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt{2G\sqrt{2{\pi }^3}},G$가우스 상수

응용

감마 함수는 확률 분포를 비롯한 여러 확률과 통계, 조합론, 그 외 여러 공학 분야들에서 유용하게 사용된다.

초구의 부피

틀:본문 반지름이 $R$인 $n$차원 초구의 부피는 다음과 같이 주어진다.

$V_n=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\frac{n}{2}\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}{R}^n=C_n{R}^n$

감마분포

틀:본문 감마 함수의 피적분 함수를 감마 함수의 적분값으로 나눈 함수를 실수의 양수축에서 적분을 하면 1이 된다. 따라서 이를 이용해 새로운 분포를 정의할 수 있다. 이 분포를 감마분포라 하고, 그 확률 밀도 함수 $f(x)$는 다음과 같다.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{{\beta }^{\alpha }\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{x}^{\alpha -1}{e}^{-\frac{x}{\beta }},& \text{if }x\ge 0\\ 0,& \text{otherwise}\end{array}$

여기서 $\alpha ,\beta$는 감마 함수의 매개 변수로 양수이다.

큐-감마 함수(q-gamma function)

큐-감마 함수는 감마 함수가 큐-아날로그화 된것이다.

$f(x+1)=\frac{1-q^z}{1-q}f(x)$

$q\in (0,1)$ 구간 예약

$f(1)=1$

${\displaystyle }$

$\log f(x),x>0$

$f(x)={\mathrm{\Gamma }}_q(x)$

$\therefore {\mathrm{\Gamma }}_q(z)=\frac{(q;q)\mathrm{\infty }}{(q^z;q)\mathrm{\infty }}(1-q{)}^{1-z}$ 큐-포흐하머 기호$(q;q)\mathrm{\infty }$

같이 보기

• 불완전 감마 함수
• 베타 함수
• 가우스 적분
• 가우스 상수
• 블로흐 상수
• 란다우 상수

외부 링크

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