사다리꼴 공식

틀:미적분학 수치 해석에서 사다리꼴 공식(-公式, 틀:Llang)은 정적분을 근사하는 한 수치적분 방법이다.^[1] 사다리꼴 공식은 적분이 나타내는 넓이를 일련의 사다리꼴들의 넓이의 합으로 근사한다. 사다리꼴 공식은 뉴턴-코츠 공식이라는 적분 근사법들의 족(族)의 특수한 경우이며, 매끄러운 함수의 경우 비슷한 계산 복잡도를 갖는 심프슨의 법칙보다 일반적으로 덜 정확하다. 반면, 주기 함수를 적분할 때 사다리꼴 공식은 특별히 더 정확한데, 이는 오일러-매클로린 합산식으로 설명이 가능하다. 반면, 비주기적이며, 매끄럽지 않을 수 있는 함수를 적분할 때에는 클렌쇼-커티스 구적법 또는 가우스 구적법 따위가 더 적합하다.

정의

f : [t_{0}, t_{N}] \to ℝ

및 수열

t_{0} \leq t_{1} \leq \dots \leq t_{N - 1} \leq t_{N}

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대한, 적분

F = \int_{t_{0}}^{t_{N}} f (x) d x

의 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.

\tilde{F} = \sum_{i = 0}^{N - 1} \frac{(t_{i + 1} - t_{i}) (f (t_{i + 1}) + f (t_{i}))}{2}

특히, $N = 1$ 일 때 사다리꼴 공식 근사는 다음과 같다.

\tilde{F} = \frac{(t_{1} - t_{0}) (f (t_{1}) + f (t_{0}))}{2}

사다리꼴 공식 근사의 오차

\tilde{F} - F

를 생각하자. 만약 $f$ 가 $𝒞^{2}$ 함수라면 (즉, 그 2차 도함수가 존재하며 연속 함수라면), 다음 조건을 만족시키는 $ξ \in [t_{0}, t_{N}]$ 가 존재한다.

\tilde{F} - F = \frac{1}{12} f^{″} (ξ) \sum_{i = 0}^{N - 1} (t_{i + 1} - t_{i})^{3}

증명:

다음과 같은 함수들을 정의하자.

g_{i} : [0, t_{i + 1} - t_{i}] \to ℝ

g_{i} (s) = \frac{1}{2} s (f (t_{i}) + f (t_{i} + s)) - \int_{t_{i}}^{t_{i} + t} f (x) d x

즉,

\tilde{F} - F = \sum_{i = 0}^{N - 1} g_{i} (t_{i + 1} - t_{i})

이다. 그러면

g_{i} (0) = {g_{i}}^{'} (0) = {g_{i}}^{″} (0) = 0

{g_{i}}^{'} (s) = \frac{1}{2} (f (t_{i}) - f (t_{i} + s)) + \frac{1}{2} s f^{'} (t_{i} + s)

{g_{i}}^{″} (s) = \frac{1}{2} s f^{″} (t_{i} + s)

이다. 즉,

K = \min_{x \in [t_{0}, t_{N}]} f^{″} (x)

L = \max_{x \in [t_{0}, t_{N}]} f^{″} (x)

를 정의하면,

\frac{1}{2} K s \leq g^{'}'_{i} (s) \leq \frac{1}{2} L s

이며, 이를 두 번 적분하면

\frac{1}{12} K s^{3} \leq g_{i} (s) \leq \frac{1}{12} L s^{3}

가 된다. 즉,

\frac{K}{12} \sum_{i = 0}^{N - 1} (t_{i + 1} - t_{i})^{3} \leq \tilde{F} - F \leq \frac{L}{12} \sum_{i = 0}^{N - 1} (t_{i + 1} - t_{i})^{3}

이다. $f^{″}$ 가 연속 함수라고 가정하였으므로, 중간값 정리에 따라

f^{″} (ξ) = \frac{\tilde{F} - F}{\sum_{i = 0}^{N - 1} (t_{i + 1} - t_{i})^{3}}

인 $ξ \in [t_{0}, t_{N}]$ 가 존재한다.

특히, 만약 $t_{i}$ 들이 산술 수열을 이룬다면,

\frac{1}{12} \sum_{i = 0}^{N - 1} (t_{i + 1} - t_{i})^{3} = \frac{(t_{N} - t_{0})^{3}}{12} N^{- 2}

가 된다. 즉, $N \to \infty$ 일 때, 오차는 $N^{- 2}$ 의 속도로 0으로 수렴한다.

특히, 만약 $f^{″}$ 가 항상 양수일 때, 사다리꼴 공식 근사 $\tilde{F}$ 는 $F$ 보다 더 작으며, 반대로 $f^{‴}$ 가 항상 음수일 때, 사다리꼴 공식 근사 $\tilde{F}$ 는 $F$ 보다 더 크다.