예고로프 정리

틀:위키데이터 속성 추적 측도론에서 예고로프 정리(Егоров定理, 틀:Llang)는 가측 함수에 대하여, 점별 수렴과 균등 수렴이 거의 일치한다는 정리이다.

정의

측도 공간 $(X, ℱ, μ)$ 에서 (보렐 시그마 대수를 갖춘) 분해 가능 거리 공간 $(Y, d)$ 으로 가는 일련의 가측 함수의 열

f_{n} : X \to Y (n \in ℕ)

에 대하여, 다음 조건이 성립한다고 하자.

예고로프 정리에 따르면, 임의의 양의 실수 $ϵ > 0$ 에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 가측 집합 $X_{ϵ} \in ℱ$ 가 존재한다.^[1]틀:Rp^[2]틀:Rp

틀:증명 임의의 가측 함수 $f, g : X \to Y$ 에 대하여,

(X, ℱ) \to (Y \times Y, ℬ (Y) \times ℬ (Y))

x \mapsto (f (x), g (x))

d : (Y \times Y, ℬ (Y \times Y)) \to (ℝ, ℬ (ℝ))

역시 연속 함수이므로 가측 함수이다. 가정에 따라 $Y$ 가 분해 가능 거리 공간이므로, 제2 가산 공간이며, (거리 위상의 곱위상에 대한) 보렐 시그마 대수 $ℬ (Y \times Y)$ 는 곱 시그마 대수 $ℬ (Y) \times ℬ (Y)$ 와 일치한다. 따라서

x \mapsto d (f (x), g (x))

이제, $f_{n}$ 의 거의 어디서나 점별 극한이 되는 가측 함수 $f$ 를 취하자. 임의의 $ϵ > 0$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 점별 수렴의 정의와 측도의 성질에 따라, 임의의 $m \in ℤ^{+}$ 에 대하여,

\begin{matrix} 0 & = μ (⋃_{m^{'} = 1}^{\infty} ⋂_{n = 1}^{\infty} ⋃_{i = n}^{\infty} {x \in X : d (f_{i} (x), f (x)) > \frac{1}{m^{'}}}) \\ \geq μ (⋂_{n = 1}^{\infty} ⋃_{i = n}^{\infty} {x \in X : d (f_{i} (x), f (x)) > \frac{1}{m}}) \\ = \lim_{n \to \infty} μ (⋃_{i = n}^{\infty} {x \in X : d (f_{i} (x), f (x)) > \frac{1}{m}}) \end{matrix}

이다. (함수 $x \mapsto d (f_{i} (x), f (x))$ 가 가측 함수이므로 위 집합들은 모두 가측 집합이다.) 따라서

μ (⋃_{i = n (m)}^{\infty} {x \in X : d (f_{i} (x), f (x)) > \frac{1}{m}}) < \frac{ϵ}{2^{m}}

인 $n (m) \in ℕ$ 이 존재한다.

이제

X_{ϵ} = ⋂_{m = 1}^{\infty} ⋂_{i = n (m)}^{\infty} {x \in X : d (f_{i} (x), f (x)) \leq \frac{1}{m}} \in ℱ

이라고 하자. 그렇다면

μ (X ∖ X_{ϵ}) < ϵ

이며, 임의의 $m \in ℤ^{+}$ 에 대하여,

d (f_{i} (x), f (x)) \leq \frac{1}{m} (\forall i \geq n (m), x \in X_{ϵ})

이다. 즉, $f_{i}$ 는 $X_{ϵ}$ 위에서 $f$ 로 균등 수렴한다. 틀:증명 끝

만약 $μ (X) < \infty$ 조건이 없으면 이 정리는 거짓이다. 예를 들어, 함수

f_{n} : ℝ \to ℝ

f_{n} : x \mapsto {\begin{matrix} 1 & x \in [n, n + 1] \\ 0 & x \in̸ [n, n + 1] \end{matrix}

을 생각하자. 이는 점별로 0으로 수렴하지만, 임의의 유한 측도 르베그 가측 집합 $S$ 에 대하여 이 함수열은 $ℝ ∖ S$ 에서 균등 수렴하지 않는다.

이탈리아의 수학자 카를로 세베리니(틀:Llang)가 1910년에 증명하였으나, 이탈리아어 논문에 출판하여 주목받지 못했다.^[3] 이듬해 드미트리 예고로프가 같은 정리를 재증명하여 유명 프랑스어 저널에 출판하였다.^[4]