극한 기수

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 극한 기수(極限基數, 틀:Llang)는 바로 다음 기수 연산만으로 도달할 수 없는 기수이다.

정의

기수 $\kappa$가 다음 조건을 만족시키면, 극한 기수라고 한다.

• $\kappa ={\lambda }^{+}$인 기수 $\lambda$가 존재하지 않는다.

극한 기수가 아닌 기수를 따름 기수(따름基數, 틀:Llang)라고 한다. (일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

기수 $\kappa$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기수를 강극한 기수(強極限基數, 틀:Llang)라고 한다.

• 모든 기수 $\lambda <\kappa$에 대하여, $2^{\lambda }<\kappa$
• 모든 기수 $\lambda ,\mu <\kappa$에 대하여, ${\lambda }^{\mu }<\kappa$

(일부 문헌에서는 0을 극한 기수에서 제외시킨다.)

성질

임의의 순서수 $\alpha$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $\alpha$는 극한 순서수이다.
• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$는 극한 기수이다. ($\mathrm{\aleph }$는 알레프 수)
• ${\beth }_{\alpha }$는 강극한 기수이다. ($\beth$는 베트 수)

모든 강극한 기수는 극한 기수이다. 만약 일반화 연속체 가설이 성립한다면, 모든 극한 기수는 강극한 기수이다.

만약 선택 공리가 성립한다면, 모든 따름 기수는 정칙 기수이다.틀:Rp

예

가산 극한 기수는 0과 ${\mathrm{\aleph }}_0$ 밖에 없다. 이들은 둘 다 강극한 기수이다.

최소의 비가산 극한 기수는 ${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$이며, 최소의 비가산 강극한 기수는 ${\beth }_{\omega }$이다.

알레프 수의 고정점(즉, ${\mathrm{\aleph }}_{\kappa }=\kappa$인 $\kappa$)은 항상 극한 기수이다. 베트 수의 고정점은(즉, ${\beth }_{\kappa }=\kappa$인 $\kappa$)은 항상 강극한 기수이다. (이는 등식에 따라 $\kappa$가 극한 순서수이기 때문이다.) 그러나 이 명제들의 역은 성립하지 않는다.

같이 보기

• 도달 불가능한 기수

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:플래닛매스