아티야 준군

틀:위키데이터 속성 추적 미분기하학에서 아티야 준군(Atiyah準群, 틀:Llang)은 매끄러운 주다발에 대하여 표준적으로 대응되는 리 준군이다. 그 리 준대수를 아티야 리 준대수(Atiyah Lie準代數, 틀:Llang)라고 한다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 이에 대응되는 아티야 준군 $At (P)$ 은 다음과 같은 리 준군이다.

대상의 매끄러운 다양체는 $Ob (At (P)) = M$ 이다.
사상의 매끄러운 다양체는 $Mor (At (P)) = (P \times P) / G = P \times P / ((p, q) \sim (p \cdot g, q \cdot g) \forall g \in G)$ 이다. 여기서 $G$ 의 오른쪽 군 작용은 $P \times P$ 위에 성분별로 작용한다.
정의역과 공역 사상 $Mor (At (P)) ⇉ Ob (At (P))$ 는 $(P \times P) / G$ 의 두 사영 사상 ${proj}_{1}, {proj}_{2} : (P \times P) / G \to P / G = M$ 으로 주어진다.
사상의 합성은 자명하게 $(q, r) \cdot G \circ (p, q) \cdot G = (p, r) \cdot G$ 로 주어진다.
항등원 사상 $Ob (At (P)) \to Mor (At (P))$ 은 대각 사상 $x \mapsto (p, p) \cdot G$ ( $p \in π^{- 1} (x)$ )으로 주어진다.

이에 대응하는 리 준대수를 아티야 리 준대수라고 한다.

아티야 리 준대수는 보다 구체적으로 다음과 같이 정의될 수 있다.

$π : P ↠ M$ 의 미분

d π \in Ω^{1} (P; π^{*} T M)

을 생각하자. 이는 다음과 같은 $P$ 위의 벡터 다발들의 짧은 완전열을 정의한다.

P \times 0 \to V P = P \times 𝔤 \to T P \overset{d π}{\to} π^{*} T M \to P \times 0

여기서 수직 벡터 다발 $V P$ 은 $P$ 가 주다발이므로 자명한 벡터 다발이다.

이 위의 각 항의 전체 공간은 $G$ 의 오른쪽 군 작용을 가지며, 이에 대한 몫공간을 취하면 다음과 같은 가환 그림을 얻는다.

\begin{matrix} P \times 0 & \to & P \times 𝔤 & \to & T P & \overset{d π}{\to} & π^{*} T M & \to & P \times 0 \\ π ↓ π & ↓ & ↓ & ↓ & π ↓ π \\ M \times 0 & \to & ad (P) & \to & \frac{T P}{G} & \to & T M & \to & M \times 0 \end{matrix}

여기서

연관 벡터 다발 $ad (P) = P \times_{G} 𝔤 ↠ M$ 은 무한소 게이지 변환의 벡터 다발이며, 그 매끄러운 단면은 무한소 게이지 변환이다.
at⁡(P)=(TP)/G↠M의 매끄러운 단면 X∈Γ∞(M;(TP)/G)은 P 위의 벡터장 X~∈Γ∞(TP)=Vect⁡(P) 가운데, G의 작용에 대하여 불변인 것이다. 즉, 다음 가환 그림이 성립한다.
$\begin{matrix} P & \overset{\tilde{X}}{\to} & T P \\ π ↓ π & ↓ \\ M & \to X & \frac{T P}{G} \end{matrix}$
- $M$ -벡터 다발 사상 $at (P) ↠ T M$ 의 오른쪽 역사상의 데이터는 $P$ 위의 주접속의 데이터와 동치이다.

이에 따라, $at (P)$ 는 다음과 같이 $M$ 위의 리 준대수의 구조를 갖는다.

닻 $at (P) \to T M$ 은 위 가환 그림에 등장하는 $M$ -벡터 다발 사상이다.
$at (P)$ 의 단면 공간 $Γ^{\infty} (M; at (P))$ 위의 리 괄호는 포함 사상 $Γ^{\infty} (M; at (P)) ↪ Vect (P)$ 에 의하여 $Vect (P)$ 의 리 미분의 제한으로 정의된다.

이를 매끄러운 주다발 $π : P ↠ M$ 의 아티야 리 준대수라고 한다.