브룬 상수

브룬 상수(틀:Lang)는 쌍둥이 소수의 역수를 모두 합한 값이다.

1919년 노르웨이 수학자 비고 브룬(Viggo Brun)은 다음과 같은 쌍둥이 소수의 역수의 합이 수렴한다는 결과를 발표했다. 이 결과를 브룬의 정리라 부른다.

두 개의 연속된 소수, 즉 쌍둥이 소수를 다루므로 보통 $B_{2}$ 라고 표기한다.

$B_{2} = (\frac{1}{3} + \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{7}) + (\frac{1}{11} + \frac{1}{13}) + (\frac{1}{17} + \frac{1}{19}) + \dots$

이 값은 대략 1.9021605831에 근접하며, 최초 발표자의 이름을 따 이 상수를 쌍둥이 소수에 대한 브룬 상수라고 불린다.

만약 이 수가 무한한 수였다면 쌍둥이 소수의 무한성이 증명되었을 것이지만, 이 수는 앞에서 봤듯 한 수에 수렴한다.

그러므로 브룬 상수에 의해서 쌍둥이 소수의 무한성은 증명되지도 반증되지도 못한다.

이와 비슷하게 네 쌍 소수(4의 간격을 둔 두 쌍의 쌍둥이 소수)에 대한 브룬 상수 $B_{4}$ 는 다음과 같이 정의된다.

$B_{4} = (\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}) + (\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}) + \dots$

이 값은 대략 0.875088380에 근접한다.

브룬 상수의 분리

브룬 상수 $B_{2}$ 를 예약하면,

B_{2} = U + L

U = \sum_{n = > 1} \frac{1}{G (n)}

L = \sum_{n = > 1} \frac{1}{g (n)}

G (n) = 6 k + 1, (k = > 1)

g (n) = 6 k - 1, (k = > 1)

U = 0.843096 \dots

^[1]

L = 1.059064 \dots

^[2]

B_{2} = U + L = 1.9021605831 \dots

그리고,

브룬 상수 $B$ 를 예약해서,

B = \frac{(L - U)}{2}

= \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \frac{1}{11 \cdot 13} + \dots

= \sum_{n = > 1} \frac{1}{P (n)}

= 0.10798397495 \dots

^[3]

P (n) = p \cdot (p + 2), {p = > 3, p + 2 = p | (p, p + 2)_{1}, (p, p + 2)_{2}, (p, p + 2)_{n}, \dots}

^[4]

트리플릿(세쌍둥이, Triplets)브룬 상수는 위의 쌍둥이 브룬상수처럼 규칙적인 일련의 3개의 소수로 이루어지는 소수들의 합의 값이다.^[5]

B_{3 b} = \sum_{}^{} ((\frac{1}{p_{1}} + \frac{1}{p_{1} + 4} + \frac{1}{p_{1} + 6}) + (\frac{1}{p_{2}} + \frac{1}{p_{2} + 4} + \frac{1}{p_{2} + 6}) + (\frac{1}{p_{3}} + \frac{1}{p_{3} + 4} + \frac{1}{p_{3} + 6}) + \dots)

= \sum_{}^{} ((\frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}) + (\frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}) + (\frac{1}{37} + \frac{1}{41} + \frac{1}{43}) + \dots)

= 0.837113212411 \dots