스콧 위상

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학 및 순서론에서 스콧 위상(틀:Llang)은 임의의 원순서 집합 위에 정의할 수 있는 위상의 하나이다.

정의

원순서 집합 $(P, ≲)$ 의 부분 집합 $U \subseteq P$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 열린집합(틀:Llang)이라고 한다.

다음 두 조건을 만족시킨다.
- $U$ 는 상집합이다.
- 임의의 상향 집합 $D \subseteq P$ 에 대하여, 만약 $\sup D \in U$ 라면, $D \cap U \neq \emptyset$ 이다. ( $U$ 가 상집합이므로, $\sup D \in U$ 인지 여부는 상한의 선택과 무관하다.)
스콧 닫힌집합의 여집합이다.

마찬가지로, 원순서 집합 $(P, ≲)$ 의 부분 집합 $F \subseteq P$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 닫힌집합(틀:Llang)이라고 한다.

다음 두 조건을 만족시킨다.
- $U$ 는 하집합이다.
- 임의의 상향 집합 $D \subseteq P$ 에 대하여, 만약 $D \subseteq F$ 이며, $\sup D$ 가 존재한다면, $\sup D \in F$ 이다. ( $F$ 가 하집합이므로, $\sup D \in F$ 인지 여부는 상한의 선택과 무관하다.)
스콧 열린집합의 여집합이다.

원순서 집합 $(P, ≲)$ 의 스콧 열린집합들의 집합은 $P$ 위의 위상을 이룬다. 이를 $P$ 의 스콧 위상이라고 한다.

두 원순서 집합 $(P, ≲_{P})$ , $(Q, ≲_{Q})$ 사이의 함수 $f : P \to Q$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $f$ 를 스콧 연속 함수(틀:Llang)라고 한다.

정의역과 공역 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 연속 함수이다.
(상향 집합의 상한의 보존) 임의의 상향 집합 $D \subseteq P$ 에 대하여, 만약 $\sup D$ 가 존재한다면, $f (\sup D) = \sup f (D)$

스콧 연속 함수는 항상 증가함수이다.

스콧 위상은 원순서 집합과 스콧 연속 함수의 범주 $𝒞 \subset Proset$ 와 위상 공간의 범주 $Top$ 사이의 함자

Σ : 𝒞 \to Top

를 정의한다.

위 함자는 연속 dcpo의 범주 $ContDcpo$ 와 콜모고로프 공간의 범주 $Kolm$ 사이로 제한시켰을 때, 유한 곱을 보존한다. 보다 일반적으로, 임의의 dcpo $(P, \leq_{P})$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]틀:Rp

임의의 dcpo (Q,≤Q)에 대하여, 다음 두 위상이 일치한다.
- $P$ 와 $Q$ 의 직접곱 $P \times Q$ 의 스콧 위상
- $P$ 와 $Q$ 의 스콧 위상의 곱위상
$P$ 의 스콧 열린집합들의 완비 헤이팅 대수는 연속 완비 헤이팅 대수이다.