연속 원순서 집합

틀:위키데이터 속성 추적 순서론에서 연속 원순서 집합(連續原順序集合, 틀:Llang)은 모든 원소가 그 원소를 ‘제한적으로 근사’하는 원소들로도 충분히 잘 근사되는 원순서 집합이다. 연속 완비 격자는 흔히 연속 격자(連續格子, 틀:Llang)로 불린다.

정의

원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 두 원소 $a,b\in P$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 임의의 상향 집합 $D\subseteq P$에 대하여, 만약 $b\lesssim \bigvee D$라면, $a\lesssim d$인 $d\in D$가 존재한다.
• 임의의 순서 아이디얼 $I\subseteq P$에 대하여, 만약 $b\lesssim \bigvee I$라면, $a\in I$이다.

이 경우, $a$가 $b$를 근사한다(틀:Llang) 또는 $a$가 $b$보다 훨씬 아래(틀:Llang)라고 하며, 이를

$a\ll b$

로 적는다.

근사 관계 $\ll$는 추이적 관계이며, $P$가 부분 순서 집합인 경우 반대칭 관계이지만, 원순서가 아닐 수 있다. $\ll$가 원순서인 것은 $(P,\lesssim )$의 오름 사슬 조건과 동치이다.틀:Rp

원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 임의의 원소 $a\in L$에 대하여,

$\Uparrow a=\{b\in L:a\ll b\}$

$\Downarrow a=\{b\in L:b\ll a\}$

라고 하자. 이는 각각 $P$의 상집합과 하집합을 이룬다. 만약 $P$가 이음 반격자라면, $\Downarrow a$는 상향 집합이다. 그러나 $P$가 만남 반격자이더라도 $\Uparrow a$는 하향 집합이 아닐 수 있다.

원순서 집합 $(P,\lesssim )$가 다음 조건을 만족시키면, 연속 원순서 집합이라고 한다.

• 임의의 $a\in P$에 대하여, $\Downarrow a$는 상향 집합이며, $a=\bigvee \Downarrow a$이다.

성질

순서론적 성질

연속 원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 두 원소 $a,b\in P$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $a\ll b$
• 임의의 상향 집합 $D\subseteq P$에 대하여, 만약 $b\lesssim \bigvee D$라면, $a\ll d$인 $d\in D$가 존재한다.

틀:증명 둘째 조건은 첫째 조건을 자명하게 함의한다. 이제, $a\ll b$이며, $D\subseteq P$가 상향 집합이며, $b\lesssim \bigvee D$라고 하자.

$I=\bigcup _{d\in D}\Downarrow d$

를 생각하자. $P$가 연속 원순서 집합이므로, $I$는 순서 아이디얼들의 상향 집합의 합집합이다. 따라서 $I$ 역시 순서 아이디얼이다. 또한,

$\bigvee I\gtrsim \underset{d\in D}{\bigvee }\bigvee \Downarrow d=\bigvee D\gtrsim b$

이다. 따라서, $a\in I$이다. 즉, $a\ll d$인 $d\in D$가 존재한다. 틀:증명 끝 이를 사용하여, 연속 원순서 집합 $(P,\lesssim )$의 근사 관계 $\ll$가 다음과 같은 보간 성질을 만족시킴을 보일 수 있다.

$\mathrm{\forall }a,b\in P:a\ll b⟹(\mathrm{\exists }c\in P:a\ll c\ll b)$

틀:증명 위 명제에서, $D=\Downarrow b$를 취한다. 틀:증명 끝

dcpo

dcpo $(P,\le )$의 두 원소 $a,b\in P$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• $a\ll b$이며, $a\ne b$
• 임의의 상향 집합 $D\subseteq P$에 대하여, 만약 $b\lesssim \bigvee D$라면, $a\ll d$이며 $a\ne d$인 $d\in D$가 존재한다.

따라서, 만약 $P$가 연속 dcpo라면, 다음과 같은 더 강한 보간 성질이 성립한다.틀:Rp

$\mathrm{\forall }a,b\in P:a\ll b\wedge a\ne b⟹(\mathrm{\exists }c\in P:a\ll c\ll b\wedge a\ne c)$

dcpo $(P,\le )$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 연속 원순서 집합이다.
• 순서 아이디얼의 상한 함수 $\bigvee :\mathrm{Ideal}(P)\to P$는 (작은 얇은 범주 사이의 함자로서) 왼쪽 수반 함자를 갖는다. 여기서 $\mathrm{Ideal}(P)$는 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합이다.

구체적으로, 연속 dcpo $(P,\le )$에 대하여, $\bigvee :\mathrm{Ideal}(P)\to P$의 왼쪽 수반 함자는

$\Downarrow :P\to \mathrm{Ideal}(P)$

$\Downarrow ⊣\bigvee$

이다. 틀:증명 임의의 연속 dcpo $(P,\le )$가 주어졌다고 하자. 다음 두 명제를 보이면 족하다.

• 임의의 $a\in P$에 대하여, $a\le \bigvee \Downarrow a$
• 임의의 순서 아이디얼 $I\in \mathrm{Ideal}(P)$에 대하여, $\Downarrow \bigvee I\subseteq I$

이 두 명제는 연속 원순서 집합의 정의에 따라 자명하다.

반대로, $(P,\le )$가 dcpo이며, $f:P\to \mathrm{Ideal}(P)$가 $\bigvee :\mathrm{Ideal}(P)\to P$의 왼쪽 수반 함자이며, $a\in P$라고 하자. 그렇다면, $f(a)$는

$a\le \bigvee f(a)$

인 최소의 $P$의 순서 아이디얼이다. 근사 순서 $\ll$의 정의에 따라,

$f(a)=\Downarrow a$

이다. 따라서, $P$는 연속 원순서 집합이다. 틀:증명 끝

완비 격자

완비 격자 $L$의 두 원소 $a,b\in L$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $a\ll b$
• 임의의 부분 집합 $A\subseteq P$에 대하여, 만약 $b\le \bigvee A$라면, $a\le \bigvee F$인 유한 부분 집합 $F\subseteq A$가 존재한다.

완비 격자 $L$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 연속 원순서 집합이다.
• 순서 아이디얼의 상한 함수 $\bigvee :\mathrm{Ideal}(L)\to L$은 임의의 부분 집합의 하한을 보존한다. 여기서 $\mathrm{Ideal}(L)$은 순서 아이디얼들의 완비 격자이다.틀:Rp
• 임의의 상향 집합들의 집합 $𝒟\subseteq 𝒫(L)$에 대하여, $\underset{D\in 𝒟}{\bigwedge }\bigvee D=\underset{f\in \prod 𝒟}{\bigvee }\underset{D\in 𝒟}{\bigwedge }f(D)$
• 두 원소 격자 $\{0,1\}$의 (유한 또는 무한 개) 직접곱 위의 스콧 연속 멱등 함수 $r:\{0,1{\}}^{\kappa }\to \{0,1{\}}^{\kappa }$의 상 $r(\{0,1{\}}^{\kappa })$과 동형이다.틀:Rp

틀:증명 연속 완비 격자 $L$이 주어졌다고 하자. $ℐ\subseteq \mathrm{Ideal}(L)$이 임의의 순서 아이디얼들의 집합이라고 하자.

$\bigvee \bigwedge ℐ=\underset{I\in ℐ}{\bigwedge }\bigvee I$

를 보이면 족하다. $\le$은 자명하다. $\Downarrow ⊣\bigvee$이므로, 반대 방향의 부등식은

$\bigwedge ℐ\supseteq \Downarrow \underset{I\in ℐ}{\bigwedge }\bigvee I$

를 보이면 족하다. 이는 임의의 $I\in ℐ$에 대하여

$I\supseteq \Downarrow \bigvee I\supseteq \Downarrow \underset{J\in ℐ}{\bigwedge }\bigvee J$

이므로 참이다.

반대로, $L$이 완비 격자이며, $\bigvee :\mathrm{Ideal}(L)\to L$이 임의의 하한을 보존한다고 하자. $\bigvee :\mathrm{Ideal}(L)\to L$의 왼쪽 수반 함자 $f:L\to \mathrm{Ideal}(L)$를 찾으면 족하다. 다음과 같은 함수를 생각하자.

$f:a\mapsto \bigwedge \{I\in \mathrm{Ideal}(L):a\le \bigvee I\}$

이는 자명하게 순서 보존 함수이다. 따라서, 다음 두 부등식을 보이면 족하다.

• 임의의 $I\in \mathrm{Ideal}(L)$에 대하여, $f(\bigvee I)\subseteq I$
  • 이는 $I\in \{J\in \mathrm{Ideal}(L):\bigvee I\le \bigvee J\}$이므로 참이다.
• 임의의 $a\in L$에 대하여, $a\le \bigvee f(a)$
  • $\bigvee :\mathrm{Ideal}(L)\to L$이 하한을 보존하므로, $\bigvee f(a)=\underset{I\in ℐ}{\overset{a\le \bigvee I}{\bigwedge }}\bigvee I\ge a$이다.

틀:증명 끝 틀:증명 연속 완비 격자 $L$이 주어졌다고 하자. $𝒟\subseteq 𝒫(L)$가 임의의 $L$의 상향 집합들의 집합이라고 하자. $\underset{D\in 𝒟}{\bigwedge }\bigvee D\ge \underset{f\in \prod 𝒟}{\bigvee }\underset{D\in 𝒟}{\bigwedge }f(D)$ 은 자명하다. 따라서, 임의의 $a\ll \underset{D\in 𝒟}{\bigwedge }\bigvee D$에 대하여, $a\le \underset{f\in \prod 𝒟}{\bigvee }\underset{D\in 𝒟}{\bigwedge }f(D)$임을 보이면 족하다. 임의의 $D\in 𝒟$에 대하여, $a\ll \bigvee D$이므로, $a\le g(D)$인 $g(D)\in D$가 존재한다. 따라서,

$a\le \underset{D\in 𝒟}{\bigwedge }g(D)\le \underset{f\in \prod 𝒟}{\bigvee }\underset{D\in 𝒟}{\bigwedge }f(D)$

이다.

반대로, $L$이 완비 격자이며, 또한 임의의 상향 집합들의 집합 $𝒟\subseteq 𝒫(L)$에 대하여, $\underset{D\in 𝒟}{\bigwedge }\bigvee D=\underset{f\in \prod 𝒟}{\bigvee }\underset{D\in 𝒟}{\bigwedge }f(D)$라고 하자. 임의의 $a\in L$에 대하여, 자명하게 $\bigvee \Downarrow a\le a$이다. 따라서 $\bigvee \Downarrow a\ge a$임을 보이면 족하다. $𝒟$를 다음 두 조건을 만족시키는 부분 집합 $D\subseteq L$들의 집합으로 취하자.

• $D$는 상향 집합이다.
• $a\le \bigvee D$

그렇다면, $𝒟$의 정의에 따라, 임의의 $f\in \prod 𝒟$에 대하여,

$\underset{D\in 𝒟}{\bigwedge }f(D)\ll a$

이다. 따라서,

$a\le \underset{D\in 𝒟}{\bigwedge }\bigvee D=\underset{f\in \prod 𝒟}{\bigvee }\bigwedge f(D)\le \bigvee \Downarrow a$

이다. 틀:증명 끝

연속 완비 격자에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 분배 격자이다.
• 완비 헤이팅 대수이다.

틀:증명 모든 완비 헤이팅 대수는 자명하게 분배 격자이다. 반대로, $L$이 연속 완비 격자이자, 분배 격자라고 하자. 임의의 원소 $a\in L$ 및 부분 집합 $S\subseteq L$에 대하여,

$a\wedge \bigvee S=\underset{s\in S}{\bigvee }a\wedge s$

임을 보이면 족하다. 연속 완비 격자의 세 번째 조건에서,

$𝒟=\{\{a\},\{\bigvee S^{\prime }:S^{\prime }\subseteq S,|S^{\prime }|<{\mathrm{\aleph }}_0\}\}$

을 취하자. (두 번째 집합이 상향 집합임은 쉽게 보일 수 있다.) 그렇다면, $L$이 연속 완비 격자이자 분배 격자이므로, 다음이 성립한다.

$a\wedge \bigvee S=a\wedge \underset{S^{\prime }\subseteq S}{\overset{|S^{\prime }|<{\mathrm{\aleph }}_0}{\bigvee }}\bigvee S^{\prime }=\underset{S^{\prime }\subseteq S}{\overset{|S^{\prime }|<{\mathrm{\aleph }}_0}{\bigvee }}a\wedge \bigvee S^{\prime }=\underset{S^{\prime }\subseteq S}{\overset{|S^{\prime }|<{\mathrm{\aleph }}_0}{\bigvee }}\underset{s\in S^{\prime }}{\bigvee }a\wedge s=\underset{s\in S}{\bigvee }a\wedge s$

모든 연속 완비 분배 격자는 국소 콤팩트 공간의 열린집합 격자와 순서 동형이다.

연산에 대한 닫힘

유한 개의 연속 dcpo들의 직접곱은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 성분별 근사 관계와 동치이다. 유한 또는 무한 개의 최소 원소를 갖는 연속 dcpo $(P_i,\le {)}_{i\in I}$들의 직접곱 $\prod _{i\in I}{P}_i$ 는 연속 dcpo이며, 직접곱의 두 원소 $a,b\in \prod _{i\in I}{P}_i$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $a\ll b$
• 임의의 $i\in I$에 대하여 $a_i\ll b_i$이며, $\{i\in I:a_i\ne \mathrm{\perp }\}$는 유한 집합이다.

연속 dcpo의 스콧 닫힌집합은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 원래 근사 관계를 제한한 것이다.

범주론적 성질

연속 완비 격자와 스콧 연속 함수의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.틀:Rp

예

모든 유한 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다. 보다 일반적으로, 오름 사슬 조건을 만족시키는 모든 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다.

폐구간

실수 폐구간 $[0,1]\subseteq ℝ$은 표준적인 순서에 의하여 완비 격자를 이룬다. 또한, 임의의 $x,y\in [0,1]$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $x\ll y$
• $x=0$이거나, $x<y$

따라서, 항상

$\bigvee \Downarrow x=\bigvee ([0,x)\cup \{0\})=x$

이며, $[0,1]$은 연속 완비 격자를 이룬다.

보다 일반적으로, 전순서 완비 격자 $L$의 임의의 두 원소 $a,b\in L$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $a\ll b$
• 다음 세 조건 가운데 정확히 하나가 성립한다.
  • $a=b=\mathrm{\perp }$
  • $a<b$
  • $a=b>\mathrm{\perp }$이며, $a=b$는 $L$의 어떤 도약 $(c,a)$의 두 번째 성분이다.

따라서, 모든 전순서 완비 격자는 연속 완비 격자이다.

멱집합

임의의 집합 $X$에 대하여, 멱집합 $(𝒫(X),\subseteq )$는 완비 격자를 이룬다. 이 경우 $A\ll B$는 $A$가 $B$의 유한 부분 집합인 것과 동치이다. 모든 집합은 그 유한 부분 집합들의 합집합이므로, $(𝒫(X),\subseteq )$는 연속 완비 격자를 이룬다.

열린집합 격자

위상 공간 $X$의 열린집합들은 포함 관계에 의하여 완비 헤이팅 대수 $\mathrm{Open}(X)$를 이룬다. 임의의 두 열린집합 $U,V\in \mathrm{Open}(X)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $U\ll V$
• 임의의 열린 $V$-덮개는 유한 부분 $U$-덮개를 갖는다.
• $U\subseteq V$이며, $U$를 원소로 갖는 $X$ 위의 임의의 극대 필터는 $V$ 속의 점으로 수렴한다.

틀:증명 $\mathrm{Open}(X)$가 완비 격자이므로 첫째 조건과 둘째 조건은 서로 동치이다. 이제, $U\ll V$이며, $ℱ$가 $X$위의 극대 필터이며, $U\in ℱ$라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 $x\in V$가 $ℱ$의 극한이 아니라고 가정하자. 즉, $W_x\in ̸ℱ$인 $x$의 근방 $W_x$가 존재한다. $ℱ$가 극대 필터이므로, $W_x\cap F_x=\varnothing$인 $F_x\in ℱ$가 존재한다. 그렇다면, $\{W_x:x\in V\}$는 $V$-덮개이므로, 유한 부분 $U$-덮개 $\{W_x:x\in S\}$을 갖는다. 따라서,

$\varnothing =\bigcup _{x\in S}{W}_x\cap \bigcap _{x\in S}{F}_x\in ℱ$

이며, 이는 모순이다.

이제, $U\subseteq V$이며, $U$를 원소로 갖는 $X$ 위의 임의의 극대 필터는 $V$ 속의 점으로 수렴한다고 하자. $𝒟\subseteq \mathrm{Open}(X)$가 열린집합들의 상향 집합이며, $V\subseteq \bigcup 𝒟$라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 $D\in 𝒟$에 대하여, $U\subseteq ̸D$라고 하자. 그렇다면, $\{U\setminus D:D\in 𝒟\}$는 하향 집합을 이룬다. 이를 포함하는 최소의 필터

${ℱ}_0=\uparrow \{U\setminus D:D\in 𝒟\}$

를 생각하자. ${ℱ}_0\subseteq ℱ$인 $X$ 위의 극대 필터 $ℱ$를 취하자. $D_0\in 𝒟$를 고정하자. 그렇다면, 임의의 $F\in ℱ$에 대하여,

$F\cap U\supseteq F\cap U\setminus D_0\ne \varnothing$

이다. 따라서 $U\in ℱ$이며, $ℱ$는 어떤 $x\in V$로 수렴한다. $x\in D$인 $D\in 𝒟$를 취하자. 그렇다면, $D\in ℱ$이므로,

$\varnothing =D\cap U\setminus D\in ℱ$

이다. 이는 모순이다. 틀:증명 끝 만약 $X$가 국소 콤팩트 공간(즉, 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 위상 공간)이라면, 추가로 다음 조건이 동치이다.

• $U\subseteq C\subseteq V$인 콤팩트 집합 $C$가 존재한다.

따라서, 임의의 국소 콤팩트 공간 $X$의 열린집합 격자 $\mathrm{Open}(X)$는 연속 완비 격자를 이룬다. 보다 일반적으로, 위상 공간 $X$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$를 핵콤팩트 공간(틀:Llang)이라고 한다.

• $\mathrm{Open}(X)$는 연속 완비 격자이다.
• $X$의 차분화는 국소 콤팩트 공간이다.
• 위상 공간의 범주 $\mathrm{Top}$에서, 임의의 위상 공간 $Y$에 대하여, 지수 대상 $Y^X$가 존재한다.

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

국소 콤팩트 공간 (모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 공간) ⇒ 핵콤팩트 공간 ⇒ 쇼케 공간 ⇒ 베르 공간

반례

다음과 같은 부분 순서 집합 $\{\mathrm{\perp },\mathrm{\top },a_1,a_2,a_3,\dots ,b\}$을 생각하자.

$\mathrm{\perp }<a_1<a_2<a_3<\cdots <\mathrm{\top }$

$\mathrm{\perp }<b<\mathrm{\top }$

이는 완비 격자를 이룬다.

$\{\mathrm{\perp },a_1,a_2,a_3,\dots \}$

가 상향 집합이므로, $b\ll ̸b$임을 알 수 있다. 따라서

$\bigvee \Downarrow b=\bigvee \{\mathrm{\perp }\}=\mathrm{\perp }\ne b$

이며, 이 완비 격자는 연속 완비 격자가 아니다.

모든 원자 없는 완비 불 대수는 연속 완비 격자가 아니다. 원자 없는 완비 불 대수 $B$의 두 원소 $a,b\in B$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $a\ll b$
• $a=\mathrm{\perp }$

합동 관계 격자

환 $R$의 아이디얼들은 포함 관계에 의하여 완비 격자 $\mathrm{Ideal}(R)$를 이룬다. 임의의 두 아이디얼 $I,J\in \mathrm{Ideal}(R)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $I\ll J$
• $I\subseteq K\subseteq J$인 유한 생성 아이디얼 $K\subseteq R$가 존재한다.

모든 아이디얼은 그 유한 생성 부분 아이디얼들의 합집합이므로, $\mathrm{Ideal}(R)$는 연속 완비 격자를 이룬다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:플래닛매스