사영 선형군

정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 의 사영 선형군 $PGL (V; K)$ 은 다음과 같은 짧은 완전열에 대한 몫군이다.

1 \to K^{\times} ↪ GL (V; K) ↠ PGL (V; K) \to 1

여기서

$K^{\times}$ 는 $K$ 의 가역원군이다.
$K^{\times} ↪ GL (V; K)$ 는 가환환의 원소의 작용 $a \mapsto a {id}_{V}$ 이며, 그 상은 $GL (V; K)$ 의 군의 중심이다.

만약 $K$ 가 가환환이며 $V$ 가 유한 $n$ 차원 $K$ -자유 가군일 때, 특수 선형군 $SL (V; K)$ 를 정의할 수 있으며, 그 중심은

Z (SL (V; K)) = Z (GL (V; K)) \cap SL (V; K) = {a \in 𝕂^{\times} : \exists b \in K^{\times} : b^{n} = a}

이다. 사영 특수 선형군(틀:Llang)은 특수 선형군의, 그 중심에 대한 몫군이다.

1 \to Z (SL (V; K)) \to SL (V; K) ↠ PSL (V; K) \to 1

가환환 $K$ 및 자연수 $n \in ℕ$ 에 대하여, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

\begin{matrix} 1 & \to & K^{\times} & \to & GL (n; K) & \to & PGL (n; K) & \to & 1 \\ (-)^{n} ↓ (-)^{n} & ↓ & ↓ \\ 1 & \to & SZ (n; K) & \to & SL (n; K) & \to & PSL (n; K) & \to & 1 \end{matrix}

여기서 $SZ (n; K)$ 는 $n$ 차 거듭제곱근을 (하나 이상 갖는) $K$ 의 가역원들의 아벨 군이다.

만약 $K$ 에서 모든 $n$ 차 거듭제곱근이 존재한다면, 즉 어떤 $n \in ℤ^{+}$ 에 대하여

(-)^{n} : K^{\times} \to K^{\times}

(-)^{n} : α \mapsto α^{n}

가 전사 함수라면, $PGL (n; K)$ 와 $PSL (n; K)$ 는 서로 같다.

유한체 $𝔽_{q}$ 위의 사영 선형군의 크기는 다음과 같다.

| PGL (n; 𝔽_{q}) | = \frac{1}{q - 1} | GL (n; 𝔽_{q}) | = \frac{1}{q - 1} \prod_{i = 0}^{n - 1} (q^{n} - q^{i})

또한, 다음과 같은 군의 동형이 존재한다.

PSL (2; 𝔽_{2}) ≅ Sym (3)

PSL (2; 𝔽_{3}) ≅ Alt (4)

PGL (2; 𝔽_{3}) ≅ Sym (4)

여기서 $Sym (-)$ 은 대칭군이며, $Alt (-)$ 는 교대군이다.

틀:본문 정수 계수 2차 사영 특수 선형군 $PSL (2; ℤ)$ 는 모듈러 군이며, 이는 모듈러 형식의 이론에 중요한 역할을 한다.