각운동량 연산자

틀:위키데이터 속성 추적 틀:접이식 사이드바 양자역학에서 각운동량 연산자(角運動量演算子, 틀:Llang)는 특정한 교환자 관계를 만족하는 세 개의 연산자 $J_{x}$ , $J_{y}$ , $J_{z}$ 이다. 두 종류의 각운동량 연산자가 있는데, 고전적인 각운동량을 양자화하여 얻는 각운동량 연산자를 궤도 각운동량(軌道角運動量, 틀:Lang)이라고 하고, 고전적인 값과 관계없는 양자역학 고유의 각운동량 연산자를 스핀 각운동량(틀:Lang)이라고 한다.

정의

각운동량 연산자 $𝐉 = (J_{x}, J_{y}, J_{z})$ 는 다음과 같은 교환 관계를 만족하는 일련의 연산자를 말한다.

[J_{i}, J_{j}] = \sum_{k} i ℏ ϵ_{i j k} J_{k}

.

여기서 $ϵ_{i j k}$ 는 레비치비타 기호다. 풀어 쓰면 다음과 같다.

[J_{x}, J_{y}] = i ℏ J_{z}

[J_{y}, J_{z}] = i ℏ J_{x}

[J_{z}, J_{x}] = i ℏ J_{y}

.

각운동량 성분 사이에는 교환 법칙이 성립하지 않으므로, 불확정성 원리에 따라 각운동량의 여러 성분을 동시에 측정할 수 없다.

성분 연산자와 각운동량 연산자의 제곱 사이에는 다음과 같은 교환 관계가 성립한다.

[J_{i}, 𝐉^{2}] = 0

.

위 둘 사이에서는 교환 법칙이 성립하기 때문에 두 물리량을 동시에 측정할 수 있다. 위 두 교환 관계는 수소 원자에서 전자가 가질 수 있는 각운동량을 결정짓는 데 매우 큰 역할을 하게 된다. 위 교환 관계에 의하면, 각운동량에 대한 4개의 물리량중 성분 하나와 크기만을 동시에 정확히 알 수 있다. 통상적으로, 정확히 측정되는 성분을 z성분으로 잡는다.

각운동량 사다리 연산자

각운동량에 대하여 다음과 같은 사다리 연산자 $J_{+}$ , $J_{-}$ 를 정의할 수 있다.

J_{\pm} = J_{x} \pm i J_{y}

.

이 두 연산자들은 파동 함수의 상태를 다른 상태로 바꾸어 주는 연산자들이다. 순서대로 각운동량 올림 연산자, 각운동량 내림 연산자로 불린다.

각운동량 올림 연산자와 내림 연산자 사이에는 아래와 같은 관계들이 있다.

J_{+} J_{-} + J_{-} J_{+} = 2 (J_{x}^{2} + J_{y}^{2}) = 2 (𝐉^{2} - J_{z}^{2})

J_{+} J_{-} = 𝐉^{2} - J_{z}^{2} + ℏ J_{z}

J_{-} J_{+} = 𝐉^{2} - J_{z}^{2} - ℏ J_{z}

이 외에 각운동량 올림 연산자와 내림 연산자에 대한 교환 관계로 아래와 같은 관계가 있다.

[J_{+}, J_{-}] = 2 ℏ J_{z}

[J_{z}, J_{\pm}] = \pm ℏ J_{\pm}

[𝐉^{2}, J_{\pm}] = 0

각운동량의 고윳값과 고유함수

위의 교환 관계에 따라, 3차원 공간에서 각운동량의 성분 하나와 각운동량의 크기만을 동시에 정확히 측정할 수 있다. 때문에, 각운동량 연산자의 고유함수는 이 둘을 통해 정의한다. 보통 각운동량 성분 연산자로 $J_{z}$ 를 택한다. 자세한 계산은 생략하고 이에 대한 고윳값 방정식은 다음과 같다.

𝐉^{2} | j, m ⟩ = ℏ^{2} j (j + 1) | j, m ⟩

𝐉_{z} | j, m ⟩ = ℏ m | j, m ⟩

.

$m$ 은 $- j, - j + 1, - j + 2, \dots, j - 1, j$ 중 하나의 수를 갖는다. 궤도 각운동량의 경우, $j$ (통상적으로 $l$ 로 표기)는 음이 아닌 정수( $0, 1, 2, \dots$ )이다. 스핀 각운동량이나 궤도 및 스핀 각운동량의 합의 경우에는 $j$ 는 음이 아닌 정수 또는 반정수({lang|half-integer}) $j = 0, 1 / 2, 1, 3 / 2, 2, \dots$ 이다.

고유함수에 각운동량 올림 연산자 또는 내림 연산자를 작용시키면, 다음과 같이 고유함수의 $m$ 값이 변하게 된다.

J_{+} | j, m ⟩ = ℏ \sqrt{(j - m) (j + m + 1)} | j, m + 1 ⟩

J_{-} | j, m ⟩ = ℏ \sqrt{(j + m) (j - m + 1)} | j, m - 1 ⟩

궤도 각운동량

궤도 각운동량 연산자는 고전역학의 각운동량 $𝐋 = 𝐫 \times 𝐩$ 를 양자화한 연산자로, 다음과 같다.

𝐋 = 𝐫 \times 𝐩

.

여기서,

𝐋

: 궤도 각운동량 연산자

𝐫

: 위치 연산자

𝐩 = - i ℏ \nabla

: 운동량 연산자

이다. 공식은 고전적인 경우와 보기에 같지만 이 공식은 더 이상 고전적인 값이 아니라 파동 함수에 작용하는 에르미트 연산자이다.

위치로 식은 표현할 땐, 운동량 연산자가 $𝐩 = \frac{h}{i} \nabla$ 가 되므로 궤도 각운동량은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

𝐋 = \frac{h}{i} 𝐫 \times \nabla

정의는 위와 같지만, 계산의 불편 때문에 각운동량 연산자의 제곱 $𝐋^{2}$ 과 데카르트 좌표계에서의 성분에 대한 연산자 $L_{x}$ , $L_{y}$ , $L_{z}$ 가 더 자주 쓰인다.

L_{x} = - i ℏ (y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y})

L_{y} = - i ℏ (z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z})

L_{z} = - i ℏ (x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x})

𝐋^{2} = L_{x}^{2} + L_{y}^{2} + L_{z}^{2}

.

이를 대입하면 궤도 각운동량 연산자가 각운동량 교환 관계를 만족한다는 사실을 확인할 수 있다.

스핀 각운동량

틀:본문

참고 문헌

Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed. ed.), Prentice Hall, 틀:ISBN
Liboff, Richard L. (2002), Introductory Quantum Mechanics, Addison-Wesley, 틀:ISBN

같이 보기

틀:전거 통제

각운동량 연산자

목차

정의

각운동량 사다리 연산자

각운동량의 고윳값과 고유함수

궤도 각운동량

스핀 각운동량

참고 문헌

같이 보기

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각운동량 연산자

정의

각운동량 사다리 연산자

각운동량의 고윳값과 고유함수

궤도 각운동량

스핀 각운동량

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