슈발레 기저

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 슈발레 기저(Chevalley基底, 틀:Llang)는 모든 구조 상수가 정수인, 반단순 리 대수의 특별한 기저이다. 이를 통해, 정수환 또는 임의의 가환환을 계수로 하는 반단순 리 대수의 형태를 정의할 수 있다.

정의

Φ \subseteq 𝔥 = ℝ^{rank (𝔤)}

를 고르자. 그렇다면, 근계의 기저의 지표를 $i \in {1, \dots, rank (𝔤)}$ 라고 하면, 카르탕-베유 기저

[H_{i}, E_{α}] = α_{i} E_{α} (α \in Φ)

[H_{i}, H_{j}] = 0

[E_{α}, E_{β}] = {\begin{matrix} N_{α, β} E_{α + β} & α + β \in Φ \\ 0 & 0 \neq α + β \in̸ Φ \\ H_{i} & α + β = 0 \end{matrix}

N_{α, β} \in ℤ

를 잡을 수 있다.

그러나 이 기저에서의 구조 상수 $α_{i} \in ℝ$ 는 일반적으로 정수가 아니다.

이제, $Φ$ 의 단순근

Σ \subseteq Φ

| Σ | = rank (𝔤)

을 고르고, 그 카르탕 행렬이

A_{i j} = (α_{i}, α_{j}^{\lor}) = \frac{2 (α_{i}, α_{j})}{(α_{j}, α_{j})} \in ℤ

라고 하자. 이제, $V$ 의 다른 기저

{\tilde{H}}_{σ} = (σ_{i}^{\lor}, H_{i}) (σ \in Σ)

를 정의하자. 그렇다면,

[{\tilde{H}}_{σ}, {\tilde{H}}_{σ^{'}}] = 0

[{\tilde{H}}_{σ}, E_{α}] = A_{i j} E_{α}

[E_{α}, E_{β}] = {\begin{matrix} N_{α, β} E_{α + β} & α + β \in Φ \\ 0 & 0 \neq α + β \in̸ Φ \\ \sum_{σ \in Σ} (σ, β) H_{σ} & α + β = 0 \end{matrix}

가 되어, 모든 구조 상수가 정수가 된다. 이를 $𝔤$ 의 슈발레 기저라고 한다.

이에 따라, 위 리 괄호로 정의되는 정수 리 대수 $𝕘 (ℤ)$ 를 정의할 수 있다. 보다 일반적으로, 임의의 가환환 $K$ 에 대하여, $K$ -리 대수

𝔤 (K) = 𝔤 (ℤ) \otimes_{ℤ} K

를 정의할 수 있다. 만약 $K = ℝ$ 일 경우, 이는 반단순 리 대수의 분할 형태(틀:Llang)이다.

$𝔰 𝔩 (2; ℂ)$ 의 경우, 슈발레 기저는

H = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

E_{+} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix})

E_{-} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix})

[E_{+}, E_{-}] = H

[H, E_{\pm}] = \pm 2 E_{+}

이다.

즉, 이 경우 정수 계수를 취하면

𝔰 𝔩 (2; ℤ) = {(\begin{matrix} a & b \\ c & - a \end{matrix}) : a, b, c \in ℤ}

를 얻는다.

클로드 슈발레가 유한 단순군을 연구하기 위하여 도입하였다.