양자 조화 진동자

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 양자 조화 진동자(量子調和振動子, 틀:Llang)는 양자 물리계의 하나로, 고전적 조화 진동자를 양자화하여 얻는다. 양자역학에서 해석적으로 풀 수 있는 몇 안되는 계 가운데 하나다.

1차원 양자 조화 진동자

퍼텐셜

1차원 양자 조화 진동자의 퍼텐셜은 다음과 같다.

$V(x)=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$.

여기서 $k$는 용수철 상수이고, $\omega$는 퍼텐셜에 갇힌 입자의 운동의 각진동수이다. $m$은 입자의 질량이다.

에너지 고유 상태

양자 조화 진동자의 n=0~7인 경우에 대한 파동함수. (표준화되어 있지 않다.)

시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식 (시간독립 슈뢰딩거 방정식, Time-Independent Schrödinger Equation)을 풀면 다음과 같은 에너지 고유 상태 $|n⟩$와 에너지 준위 $E_n$을 얻는다.

$⟨x|n⟩={\psi }_n(x)=N_n\cdot H_n\left(\sqrt{\alpha }x\right)\cdot e^{-\frac{\alpha x^2}{2}}=\frac{1}{(2^{n}n!{)}^{1/2}}{\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}^{1/4}\cdot H_n\left(\sqrt{\alpha }x\right)\cdot e^{-\frac{\alpha x^2}{2}}$

$E_n=\hslash \omega (n+\frac{1}{2})$.

여기서,

$H_n(x)$ : 에르미트 다항식

$\alpha ={\left(\frac{mk}{{\hslash }^2}\right)}^{1/2}=\frac{m\omega }{\hslash }$

$n=0,1,2,3,\dots$

이다.

해석적인 풀이

1차원에서 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2\psi (x)=E\psi (x)$

$\hslash$: 디랙 상수 $h/2\pi$

$m$: 진동자의 질량

$\psi (x)$: 진동자의 파동함수

$E$: 진동자의 에너지

여기에 다음과 같은 변수 변환

$ϵ=\frac{2E}{\hslash \omega }$

$y=\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}x=\sqrt{\alpha }x$

를 취하면 다음의 방정식을 얻는다. (이는 방정식에 나타난 물리량을 단위가 없는 양으로 바꾸기 위함이다.)

$\frac{d^2\psi (y)}{d{y}^2}+(ϵ-y^2)\psi (y)=0$

지금 당장 이 형태는 풀기 어렵다. 따라서, 평형점(x=0)으로부터 한없이 멀리 떨어진 곳에서의 파동함수의 거동을 살펴보자. (이렇게 하면 해를 구하는 과정에서 x → ∞ 이면 파동함수의 함수값이 0 이 되어야 한다는 양자역학의 통계적 해석에 관한 기본 조건이 풀이에 자연스럽게 이용된다.) 이 경우, 상수인 ε에 비해 y는 매우 커지므로(x → ∞ 이면 y → ∞), 위 식의 두 번째 항에서 ε항을 무시할 수 있다. 그러면,

$\frac{d^2{\psi }_0(y)}{d{y}^2}-y^2{\psi }_0(y)=0$

의 간단한 방정식을 얻는다. 이 방정식의 해는 실제 파동함수가 x → ∞ 일 때 원래의 해가 점근적으로 수렴해 가는 함수이다. 이 미분 방정식을 풀면

${\psi }_0(y)=e^{-\frac{y^2}{2}}$

를 얻는다. 그런데 이는 x 가 한없이 큰 곳에서의 해이므로, 실제 슈뢰딩거 방정식의 해는 특정 함수가 곱해진 형태인 다음과 같은 형태의 함수일 것이라 생각해볼 수 있다.

$\psi (y)=h(y)e^{-\frac{y^2}{2}}$

따라서 이 함수를 시험해로 사용하여 슈뢰딩거 방정식에 대입하여 정리하면 다음과 같은 새로운 미분방정식을 얻는다.

$\frac{d^{2}h(y)}{d{y}^2}-2y\frac{dh(y)}{dy}+(ϵ-1)h(y)$

위 방정식을 급수해 풀이법으로 풀면, 그 해로 에르미트 다항식 H(y)를 얻는다.

$h(y)=H(y)$

이를 표준화를 시키면 앞의 표준화 상수 N_n를 구할 수 있고, 다시 y와 ε을 역변환하면 아래의 양자 조화 진동자 파동함수를 얻는다.

${\psi }_n=N_n\cdot H_n\left(\sqrt{\alpha }x\right)\cdot e^{-\frac{\alpha x^2}{2}}=\frac{1}{(2^{n}n!{)}^{1/2}}{\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}^{1/4}\cdot H_n\left(\sqrt{\alpha }x\right)\cdot e^{-\frac{\alpha x^2}{2}}$

대수적인 풀이

양자 조화 진동자의 에너지 고유 상태와 에너지 준위의 주요한 성질은 미분 방정식을 직접 풀지 않아도 대수적인 방법으로 유추할 수 있다.

해밀토니언을 다음과 같이 인수분해하자.

$H=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2+\frac{1}{2m}{p}^2$

$=\frac{1}{2}((\omega \sqrt{m}x-ip/\sqrt{m})(\omega \sqrt{m}x+ip/\sqrt{m})+\hslash \omega )$

$=(a^{†}a+\frac{1}{2})\hslash \omega$.

여기서

$a=\frac{1}{\sqrt{2}}(\omega \sqrt{m}x+ip/\sqrt{m})$

$a^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\omega \sqrt{m}x-ip/\sqrt{m})$

는 사다리 연산자이다. 이들은 에르미트 연산자가 아니므로, 관측 가능량이 아니다.

다음과 같이 입자수 연산자(粒子數演算子, 틀:Lang) $N$을 정의하자.

$N=a^{†}a$.

이는 에르미트 연산자이다. 따라서 그 고유 기저를 $|n⟩$이라고 적자. 즉

$N|n⟩=n|n⟩$

이다.

$⟨\psi |N|\psi ⟩=(⟨\psi |a^{†})(a|\psi ⟩)={|a|\psi ⟩|}^2$

이므로, $N$의 고윳값은 음이 아닌 실수다.

입자수 연산자와 사다리 연산자의 교환자는 다음과 같다.

$[a,a^{†}]=1$

$[a,N]=a$

$[a^{†},N]=-a^{†}$.

따라서

$Na|n⟩=a(N-1)|n⟩=(n-1)a|n⟩$

이므로,

$a|n⟩\propto |n-1⟩$

이다. 마찬가지로,

$a^{†}|n⟩\propto |n+1⟩$

임을 보일 수 있다. 즉, $a$는 $N$의 양자수를 1 감소시키고, $a^{†}$는 $N$의 양자수를 1 증가시킨다. 이 때문에 $a^{†}$를 생성 연산자(生成演算子, 틀:Lang), $a$를 소멸 연산자(消滅演算子,틀:Lang)라고 부른다.

그 비례 상수는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$n=⟨n|N|n⟩={|a|n⟩||}^2$.

따라서

$a|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩$

이다. 마찬가지로,

$n+1=⟨n|(N+1)|n⟩={|a^{†}|n⟩|}^2$

이므로,

$a^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩$

이다.

이에 따라,

$a^k|n⟩=\sqrt{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}|n-k⟩$

이다. 만약 $n$이 정수가 아니라면, $k>n$일 때 음의 고윳값 $n-k$을 가진 고유벡터 $|n-k⟩$가 존재하게 된다. 그러나 $N$의 고윳값은 항상 음이 아닌 실수이므로, $n$은 항상 정수이다. 즉, $N$의 고윳값은 항상 음이 아닌 정수이고, 바닥 상태 $|0⟩$로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$|n⟩=\frac{(a^{†}{)}^n}{\sqrt{n!}}|0⟩$.

입자수 $N$의 고윳값이 음이 아닌 정수이므로, 해밀토니언 $H=\hslash \omega (N+1/2)$의 고윳값(에너지 준위) $E_n$은 다음과 같다.

$E_n=\hslash \omega (n+1/2)$.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

같이 보기

• 상자 속 입자
• 퍼텐셜 우물
• 조화 진동자
• 결맞는 상태
• 글라우버-수다르샨 표현