준열린집합

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서 준열린집합(準-集合, 틀:Llang) 또는 베르 성질 집합(Baire性質集合, 틀:Llang)은 열린집합 또는 닫힌집합에 제1 범주 집합만큼 가까운 집합이다.

정의

위상 공간 $X$ 속의 다음과 같은 집합족들을 생각하자.

• $\mathrm{Meag}(X)=\{S\subseteq X:\mathrm{int}(\mathrm{cl}(X))=\varnothing \}$: 제1 범주 집합들의 족
• ${\mathrm{\Sigma }}_1^0(X)$: 열린집합들의 족
• ${\mathrm{\Pi }}_1^0(X)$: 닫힌집합들의 족
• ${\mathrm{\Sigma }}_2^0(X)$: F_σ 집합들의 족
• ${\mathrm{\Pi }}_2^0(X)$: G_δ 집합들의 족
• ${\mathrm{\Delta }}_1^1(X)$: 보렐 집합들의 족

또한, $\mathrm{\sigma }(ℱ)$가 집합족 $ℱ$를 포함하는 최소의 시그마 대수라고 하자. 그렇다면, 다음 집합족들이 일치하며, 이를 $\mathrm{BP}(X)$라고 표기하자.

$\begin{array}{cc}\mathrm{BP}(X)& =\mathrm{\sigma }(\mathrm{Meag}(X)\cup {\mathrm{\Sigma }}_1^0(X))\\ & =\mathrm{\sigma }(\mathrm{Meag}(X)\cup {\mathrm{\Pi }}_1^0(X))\\ & =\mathrm{\sigma }(\mathrm{Meag}(X)\cup {\mathrm{\Delta }}_1^1(X))\\ & =\{S\subseteq X:\mathrm{\exists }U\in {\mathrm{\Sigma }}_1^0(X):A\mathrm{△}U\in \mathrm{Meag}(X)\}\\ & =\{S\subseteq X:\mathrm{\exists }F\in {\mathrm{\Pi }}_1^0(X):A\mathrm{△}F\in \mathrm{Meag}(X)\}\\ & =\{A\setminus M:A\in {\mathrm{\Sigma }}_2^0(X),M\in \mathrm{Meag}(X)\}\\ & =\{A\cup M:A\in {\mathrm{\Pi }}_2^0(X),M\in \mathrm{Meag}(X)\}\\ \end{array}$

여기서 $A\mathrm{△}B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$은 대칭차이다. $\mathrm{BP}(X)$의 원소를 $X$의 준열린집합이라고 한다.틀:Rp

증명:

다음 기호를 정의하자.

$\begin{array}{cc}𝒜& =\mathrm{\sigma }(\mathrm{Meag}(X)\cup {\mathrm{\Sigma }}_1^0(X))\\ {𝒜}^{\prime }& =\mathrm{\sigma }(\mathrm{Meag}(X)\cup {\mathrm{\Pi }}_1^0(X))\\ {𝒜}^{″}& =\mathrm{\sigma }(\mathrm{Meag}(X)\cup {\mathrm{\Delta }}_1^1(X))\\ ℬ& =\{S\subseteq X:\mathrm{\exists }U\in {\mathrm{\Sigma }}_1^0(X):A\mathrm{△}U\in \mathrm{Meag}(X)\}\\ {ℬ}^{\prime }& =\{S\subseteq X:\mathrm{\exists }F\in {\mathrm{\Pi }}_1^0(X):A\mathrm{△}F\in \mathrm{Meag}(X)\}=\{X\setminus S:S\in ℬ\}\\ 𝒞& =\{A\setminus M:A\in {\mathrm{\Sigma }}_2^0(X),M\in \mathrm{Meag}(X)\}\\ {𝒞}^{\prime }& =\{A\cup M:A\in {\mathrm{\Pi }}_2^0(X),M\in \mathrm{Meag}(X)\}=\{X\setminus S:S\in 𝒞\}\\ \end{array}$

보렐 시그마 대수는 정의에 따라 ${\mathrm{\Delta }}_1^1(X)=\sigma ({\mathrm{\Sigma }}_1^0(X))=\sigma ({\mathrm{\Pi }}_1^0(X))$이므로, 자명하게

$𝒜={𝒜}^{\prime }={𝒜}^{″}$

이다. 또한, 자명하게

$𝒞\cup {𝒞}^{\prime }\subseteq {𝒜}^{″}\subseteq \sigma (ℬ)=\sigma ({ℬ}^{\prime })$

이다. 또한,

$ℬ\subseteq {𝒞}^{\prime }⟺{ℬ}^{\prime }\subseteq 𝒞$

임을 쉽게 알 수 있다. 따라서,

$ℬ\subseteq {𝒞}^{\prime }$

$ℬ=\sigma (ℬ)$

를 보이면 족하다.

• $ℬ\subseteq {𝒞}^{\prime }$: 임의의 집합 $S\in ℬ$ 및 $U\in {\mathrm{\Sigma }}_1^0(X)$에 대하여, $S\mathrm{△}U\subseteq A_0\cup A_1\cup \cdots$이며, $(A_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$가 조밀한 곳이 없는 집합들의 열이라고 하자. 그렇다면, $M=\mathrm{cl}(A_0)\cup \mathrm{cl}(A_1)\cup \cdots \in \mathrm{Meag}(X)\cap {\mathrm{\Sigma }}_2^0(X)$이다. 이제 $\tilde{S}=U\setminus M\in {\mathrm{\Pi }}_2^0(X)$을 정의하자. 그렇다면, $S\setminus \tilde{S}\subseteq M$이므로 $S\setminus \tilde{S}\in \mathrm{Meag}(X)$이며, $S=\tilde{S}\cup (S\setminus \tilde{S})$이다.
• $ℬ=\sigma (ℬ)$:
  • 가산 합집합에 대한 닫힘: 열린집합의 합집합은 열린집합이며, 제1 범주 집합들의 가산 합집합은 제1 범주 집합이므로, 이는 자명하게 참이다.
  • 여집합에 대한 닫힘: 편의상, $A\mathrm{△}B\in \mathrm{Meag}(X)$를 $A\approx B$로 표기하자. 임의의 $A\in ℬ$에 대하여, $U\in {\mathrm{\Sigma }}_1^0(X)$이며 $A\approx U$라고 하자. 그렇다면, $X\setminus A\approx X\setminus U$이며, $U\approx \mathrm{cl}(U)$이므로 $X\setminus A\approx X\setminus \mathrm{cl}(U)\in {\mathrm{\Sigma }}_1^0(X)$이다.

성질

함의 관계

위상 공간의 부분 집합에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

		정칙 열린집합 ⇒ 열린집합
	⇗		⇘
열린닫힌집합				보렐 집합
	⇘		⇗		⇘
		정칙 닫힌집합 ⇒ 닫힌집합				준열린집합 ⇒ 부분 집합
					⇗
조밀 집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 제1 범주 집합

연산에 대한 닫힘

위상 공간 $X$ 위의 준열린집합들은 시그마 대수를 이룬다. 즉,

• 준열린집합의 여집합은 준열린집합이다.
• 가산 개의 준열린집합들의 합집합은 준열린집합이다.
• 가산 개의 준열린집합들의 교집합은 준열린집합이다.

모든 열린집합과 닫힌집합을 비롯한 모든 보렐 집합은 준열린집합이다. 만약 사영 결정 공리를 가정한다면, 모든 사영 집합은 준열린집합이다.

예

선택 공리를 가정하면, 실수선의 부분 집합들 가운데 준열린집합이 아닌 부분 집합이 존재한다. 예를 들어, 비탈리 집합은 준열린집합이 아니다.

역사

르네루이 베르가 1905년에 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Nlab