해석적 집합

틀:위키데이터 속성 추적 집합론과 일반위상수학에서 해석적 집합(解析的集合, 틀:Llang)은 폴란드 공간의 연속적 상인 폴란드 공간 부분 공간이다.

정의

폴란드 공간 $X$의 부분 집합 $A\subseteq X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 부분 집합을 해석적 집합이라고 한다.

• $f(Y)=A$인 폴란드 공간 $Y$ 및 연속 함수 $f:Y\to X$가 존재한다.틀:Rp
• $f(S)=A$인 폴란드 공간 $Y$ 및 보렐 집합 $S\subseteq Y$ 및 연속 함수 $f:Y\to X$가 존재한다.
• $A$는 공집합이거나, 아니면 $f({\mathbb{N}}^{{\mathrm{\aleph }}_0})=A$인 연속 함수 $f:{\mathbb{N}}^{{\mathrm{\aleph }}_0}\to X$가 존재한다.틀:Rp
• ${\mathrm{proj}}_1(S)=A$인 보렐 집합 $S\subseteq X\times X$가 존재한다.틀:Rp
• ${\mathrm{proj}}_X(S)=A$인 폴란드 공간 $Y$ 및 보렐 집합 $S\subseteq X\times Y$가 존재한다.틀:Rp틀:Rp
• ${\mathrm{proj}}_X(S)=A$인 닫힌집합 $S\subseteq X\times {\mathbb{N}}^{{\mathrm{\aleph }}_0}$가 존재한다.틀:Rp틀:Rp
• ${\mathrm{proj}}_X(S)=A$인 G_δ 집합 $S\subseteq X\times \{0,1{\}}^{{\mathrm{\aleph }}_0}$가 존재한다.틀:Rp

$X$의 해석적 집합들의 족은 ${\mathrm{\Sigma }}_1^1(X)$로 표기한다. (여기서 첨자들은 사영 위계의 일부이기 때문이다.)

성질

연산에 대한 닫힘

해석적 집합들은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.

• 폴란드 공간 $X$ 속에서 가산 개의 해석적 집합들의 합집합은 해석적 집합이다.틀:Rp틀:Rp
• 폴란드 공간 $X$ 속에서 가산 개의 해석적 집합들의 교집합은 해석적 집합이다.틀:Rp틀:Rp
• 두 폴란드 공간 $X$, $Y$ 사이의 보렐 가측 함수 $f:X\to Y$ 및 해석적 집합 $A\subseteq X$에 대하여, 그 상 $f(A)$ 역시 해석적 집합이다.틀:Rp틀:Rp
• 두 폴란드 공간 $X$, $Y$ 사이의 보렐 가측 함수 $f:X\to Y$ 및 해석적 집합 $B\subseteq Y$에 대하여, 그 원상 $f^{-1}(B)$ 역시 해석적 집합이다.틀:Rp틀:Rp

폴란드 공간 $X$의 부분 집합 $A\subset X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $A$는 보렐 집합이다.
• $A$와 $X\setminus A$ 둘 다 해석적 집합이다.

분리 정리

루진-노비코프 분리 정리(Лузин-Новиков分離定理, 틀:Llang)에 따르면, 임의의 폴란드 공간 $X$ 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 $\{A_i{\}}_{i\in I}\subseteq {\mathrm{\Sigma }}_1^1(X)$, $|I|\le {\mathrm{\aleph }}_0$에 대하여, 만약 $\bigcap _{i\in I}{A}_i=\varnothing$이라면, $\mathrm{\forall }i\in I:B_i\supseteq A_i$이자 $\bigcap _{i\in I}{B}_i=\varnothing$인 보렐 집합들의 집합족 $\{B_i{\}}_{i\in I}\subseteq {\mathrm{\Delta }}_1^1(X)$이 존재한다.틀:Rp틀:Rp

쿠라토프스키 분리 정리에 따르면, 폴란드 공간 $X$ 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 $\{A_i{\}}_{i\in I}\subseteq {\mathrm{\Sigma }}_1^1(X)$, $|I|\le {\mathrm{\aleph }}_0$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 집합족 $\{C_i{\}}_{i\in I}\subseteq {\mathrm{\Pi }}_1^1(X)$가 존재한다.틀:Rp

• 임의의 $i\in I$에 대하여, $A_i\setminus \bigcup _{j\ne i}{A}_j\subseteq C_i$
• 임의의 $i,j\in I$에 대하여, $i\ne j$라면 $C_i\cap C_j=\varnothing$

실수의 해석적 집합

실수선 $ℝ$의 해석적 집합은 보편 가측 집합이며, 준열린집합이며, 완전 집합 성질을 갖는다.

역사

니콜라이 루진과 미하일 수슬린 이 1917년에 정의하였다.

루진-노비코프 분리 정리의 2개의 집합에 대한 경우를 니콜라이 루진이 1927년에 증명하였고, 이를 1931년에 표트르 세르게예비치 노비코프가 가산 개의 집합에 대하여 일반화하였다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom
• 틀:Eom

같이 보기

• 보렐 집합
• 사영 집합