바일 지표 공식

틀:위키데이터 속성 추적 리 군 표현론에서 바일 지표 공식(Weyl指標公式, 틀:Llang)은 주어진 복소수 기약 표현의 지표를 제시하는 공식이다.

정의

체 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$의 유한 차원 표현 $r:𝔤\to 𝔤𝔩(V;K)$의 지표(指標, 틀:Llang)는 다음과 같다.

$\mathrm{ch}(V):𝔤\to K$

$\mathrm{ch}(V):x\mapsto {\mathrm{tr}}_K\exp (r(x))$

여기서 행렬 지수 함수를 취하는 것은 리 대수를 리 군으로 대응시키는 것이다.

이제, 다음과 같은 조건이 주어졌다고 하자.

• $K=ℂ$이다.
• $𝔤$는 복소수 반단순 리 대수이며, 그 카르탕 부분 대수가 $𝔥\cong 𝔤/[𝔤,𝔤]$이며, 그 바일 군은 $\mathrm{Weyl}(𝔤)$이다. $𝔤$의 양근들의 집합을 ${\mathrm{\Delta }}^{+}(𝔤)\subset {𝔥}^{*}$라고 하자.
• $V$는 복소수 유한 차원 기약 표현이며, 그 최고 무게는 $\lambda \in {𝔥}^{*}$이다.

바일 군의 원소 $w\in \mathrm{Weyl}(𝔤)$는 카르탕 부분 대수 $𝔥$ 위에 표현

$w\cdot :𝔥\to 𝔥$

을 가진다. 이 표현의 행렬식 $\det w$은 바일 군의 원소의 길이(틀:Llang)$\mathrm{length}w$와 관계되어 있다. 바일 군의 원소의 길이는 $w$의 표현을 단순근에 대한 반사들의 합성으로 구현하였을 때 필요한 최소 개의 반사의 수이며, 이 경우

$\det w=(-1{)}^{\mathrm{length}(w)}$

이다.

그렇다면, 바일 지표 공식은 다음과 같다.

$\mathrm{ch}(V):x\mapsto \left(\prod _{\alpha \in {\mathrm{\Delta }}^{+}(𝔤)}\frac{1}{2\sinh (\frac{1}{2}\alpha (x))}\right)\sum _{w\in \mathrm{Weyl}(𝔤)}(\det w)\exp (w\cdot (\lambda (x)+\frac{1}{2}\sum _{\alpha \in {\mathrm{\Delta }}^{+}(𝔤)}\alpha (x)))$

특수한 경우

바일 차원 공식

지표를 리 대수의 원소 0에서 계산한다면, 리 대수 표현의 차원을 얻는다. 바일 지표 공식에 $x=0$을 대입하면, 분모와 분자 둘 다 0이 되어 0/0을 얻으므로, 대신 $x\to 0$인 극한을 취하고, 로피탈의 정리를 사용하여 바일 차원 공식(Weyl次元公式, 틀:Llang)을 얻을 수 있다.

$\dim V=\frac{\prod _{\alpha \in {\mathrm{\Delta }}^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha )}{\prod _{\alpha \in {\mathrm{\Delta }}^{+}}(\rho ,\alpha )}$

여기서

$\rho =\frac{1}{2}\sum _{\alpha \in {\mathrm{\Delta }}^{+}}\alpha$

이다.

바일 분모 공식

자명한 1차원 표현의 지표는 항상 1이다. 바일 지표 공식을 자명한 1차원 표현에 대하여 적용하면, 다음과 같은 바일 분모 공식(Weyl分母公式, 틀:Llang)을 얻는다.

$\prod _{\alpha \in {\mathrm{\Delta }}^{+}(𝔤)}2\sinh (\frac{1}{2}\alpha (x))=\sum _{w\in \mathrm{Weyl}(𝔤)}(\det w)\prod _{\alpha \in {\mathrm{\Delta }}^{+}(𝔤)}\exp (\frac{1}{2}w\cdot \alpha (x))$

예

가장 간단한 복소수 단순 리 대수인 ${𝔞}_1=𝔰𝔩(2;ℂ)$를 생각하자. 카르탕 부분 대수가 1차원이므로, 편의상 복소평면과의 동형을 고를 수 있다. 이 경우, 바일 군은 2차 순환군 $x\mapsto -x$이다. 그 근계는 두 개의 근을 가지며, 그 중 하나만이 양근이다. 긴 근의 길이는 $\sqrt{2}$이므로, 기본 무게의 길이는 $1/\sqrt{2}$이다.

$𝔰𝔩(2;ℂ)$의 기약 표현들은 차원에 따라서 완전히 분류되며, 모든 양의 정수에 대하여 그 차원의 기약 표현이 존재한다. $n$차원 기약 표현의 최고 무게는 기본 무게의 $(n-1)$배이다. 따라서, $n$차원 표현에 바일 지표 공식을 적용하면 다음과 같다.

${\mathrm{ch}}_n(x)=\frac{1}{2\sinh (x/\sqrt{2}))}(\exp (nx/\sqrt{2})-\exp (-nx/\sqrt{2}))=\frac{\sinh (nx/\sqrt{2})}{\sinh (x/\sqrt{2}))}$

이다. $x\to 0$ 극한을 취하면, 바일 차원 공식

$\underset{x\to 0}{\lim }{\mathrm{ch}}_n(x)=n$

을 얻는다.

역사

헤르만 바일이 발견하였다.

같이 보기

• 군 표현의 지표

외부 링크

• 틀:Eom
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• 틀:수학노트
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