누적 분포 함수

정규 분포의 누적분포함수

확률론에서 누적분포함수(累積分布函數, 틀:Llang, 약자 틀:Lang)는 주어진 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같은 확률을 나타내는 함수이다.

정의

확률 공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})$ 위의 실숫값 확률 변수 $X:\mathrm{\Omega }\to (ℝ,ℬ(ℝ))$의 (우연속) 누적분포함수 $F_X:ℝ\to ℝ$는 다음과 같다.

$F_X(x)=\mathrm{Pr}(X\in (-\mathrm{\infty },x])\mathrm{\forall }x\in ℝ$

보다 일반적으로, 확률 공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})$ 위의 실숫값 확률 벡터 $X=(X_1,\dots ,X_n):\mathrm{\Omega }\to ({ℝ}^n,ℬ({ℝ}^n))$의 (우연속) 누적분포함수 $F_X:{ℝ}^n\to ℝ$는 다음과 같다.

$F_X(x_1,\dots ,x_n)=\mathrm{Pr}(X_1\in (-\mathrm{\infty },x_1],\dots ,X_n\in (-\mathrm{\infty },x_n])\mathrm{\forall }(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$

위 정의에 등장하는 반닫힌구간들을 열린구간으로 대체하면 좌연속 누적분포함수의 정의를 얻는다.

성질

함수로서의 성질

임의의 함수 $F:ℝ\to ℝ$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $F$는 어떤 확률 변수의 누적분포함수이다.
• 다음 조건들을 만족시킨다.
  • (증가 함수) 만약 $x,y\in ℝ$이며 $x\le y$라면, $F(x)\le F(y)$
  • (우연속 함수) 임의의 $x\in ℝ$에 대하여, $F(x^{+})=F(x)$
  • $F(-\mathrm{\infty })=0$
  • $F(\mathrm{\infty })=1$

여기서 $F(x^{+})$는 우극한이며, $F(-\mathrm{\infty })$와 $F(\mathrm{\infty })$는 음과 양의 무한대에서의 극한이다.

보다 일반적으로, 임의의 함수 $F:{ℝ}^n\to ℝ$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $F$는 어떤 확률 벡터의 누적분포함수이다.
• 다음 조건들을 만족시킨다.
  • 만약 $x,y\in {ℝ}^n$이며 $x_i\le y_i\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}$이라면, $\sum _{t\in \{x_1,y_1\}\times \cdots \times \{x_n,y_n\}}(-1{)}^{|\{i:t_i=x_i\}|}F(t)\ge 0$. (이 조건과 세 번째 조건은 $F$가 각 변수에 대하여 증가 함수임을 함의한다.)
  • (우연속 함수) 임의의 $x\in {ℝ}^n$에 대하여, $F(x^{+})=F(x)$
  • 임의의 $i\in \{1,\dots ,n\}$ 및 $x_1,\dots ,x_{i-1},x_{i+1},\dots ,x_n\in ℝ$에 대하여, $F(x_1,\dots ,x_{i-1},-\mathrm{\infty },x_{i+1},\dots ,x_n)=0$
  • $F(\mathrm{\infty },\dots ,\mathrm{\infty })=1$

여기서

$F(x^{+})=\underset{y_1\to x_1^{+},\dots ,y_n\to x_n^{+}}{\lim }F(y)$

$F(x_1,\dots ,x_{i-1},-\mathrm{\infty },x_{i+1},\dots ,x_n)=\underset{x_i\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)$

$F(\mathrm{\infty },\dots ,\mathrm{\infty })=\underset{x_1\to \mathrm{\infty },\dots ,x_n\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x)$

이다.

확률 분포와의 관계

확률 변수 또는 확률 벡터의 누적분포함수는 그 확률 분포를 유일하게 결정한다. 이는 누적분포함수에 대한 르베그-스틸티어스 측도와 일치한다. 그러나 누적분포함수는 확률 변수 자체를 유일하게 결정하지는 않는다.

확률 변수 $X$가 구간 $(a,b]$에 속할 확률과 특정 실수 $x\in ℝ$를 취할 확률은 누적분포함수 $F_X$를 통해 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\mathrm{Pr}(X\in (a,b])=F_X(b)-F_X(a)$

$\mathrm{Pr}(X=x)=F_X(x)-F_X(x^{-})$

보다 일반적으로, 확률 벡터 $X=(X_1,\dots ,X_n)$가 $(a_1,b_1]\times \cdots \times (a_n,b_n]$에 속할 확률과 특정 값 $x=(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n$을 취할 확률은 각각 다음과 같다.

$\mathrm{Pr}(X_1\in (a_1,b_1],\dots ,X_n\in (a_n,b_n])=\sum _{t\in \{a_1,b_1\}\times \cdots \times \{a_n,b_n\}}(-1{)}^{|\{i:t_i=a_i\}|}{F}_X(t)$

$\mathrm{Pr}(X_1=x_1,\dots ,X_n=x_n)=\underset{ϵ\to 0^{+}}{\lim }\sum _{t\in \{x_1-ϵ,x_1\}\times \cdots \times \{x_n-ϵ,x_n\}}(-1{)}^{|\{i:t_i=x_i-ϵ\}|}{F}_X(t)$

이산성·연속성·특이성과의 관계

이산 확률 분포, 연속 확률 분포, 이산적인 부분과 연속적인 부분이 모두 존재하는 분포에 대한 각각의 누적분포함수

확률 변수 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 이산 확률 변수이다. (즉, $\mathrm{Pr}(X\in A)=1$인 가산 집합 $A\in ℬ(ℝ)$이 존재한다.)
• $\sum _{x\in ℝ}(F_X(x)-\underset{y\to x^{-}}{\lim }{F}_X(y))=1$

특히, 계단 함수를 누적분포함수로 하는 확률 변수는 이산 확률 변수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

확률 변수 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 연속 확률 변수이다. (즉, 임의의 $x\in ℝ$에 대하여, $\mathrm{Pr}(X=x)=0$이다.)
• $F_X$는 연속 함수이다.

확률 변수 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 절대 연속 확률 변수이다. (즉, 확률 분포 $\mathrm{Pr}(X\in \bullet )$는 르베그 측도에 대한 절대 연속 측도이다. 또는, $X$는 확률 밀도 함수를 갖는다.)
• $F_X$는 임의의 닫힌구간에서 절대 연속 함수이다.

확률 변수 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X$는 특이 확률 변수이다. (즉, 확률 분포 $\mathrm{Pr}(X\in \bullet )$와 르베그 측도는 서로 특이 측도이다.)
• 르베그 거의 어디서나 ${F_X}^{\prime }=0$이다.

임의의 누적분포함수 $F$는 이산 누적분포함수 $F_{\mathrm{disc}}$와 절대 연속 누적분포함수 $F_{\mathrm{a.c.}}$, 특이 연속 누적분포함수 $F_{\mathrm{s.c.}}$의 음이 아닌 계수의 아핀 결합으로 나타낼 수 있다.

$F=c{F}_{\mathrm{disc}}+c^{\prime }{F}_{\mathrm{a.c.}}+c^{″}{F}_{\mathrm{s.c.}}$

$c,c^{\prime },c^{″}\ge 0$

$c+c^{\prime }+c^{″}=1$

독립성과의 관계

같은 확률 공간 위의 확률 변수 또는 확률 벡터들의 집합 $𝒳$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $𝒳$는 서로 독립이다.
• 임의의 서로 다른 $X_1,\dots ,X_n\in 𝒳$ 및 임의의 $x_i\in \mathrm{dom}{F}_{X_i}$ ($i=1,\dots ,n$)에 대하여, $F_{(X_1,\dots ,X_n)}(x_1,\dots ,x_n)=F_{X_1}(x_1)\cdots F_{X_n}(x_n)$

틀:증명 첫 번째 조건은 두 번째 조건을 자명하게 함의한다. 이제 두 번째 조건을 가정하고 첫 번째 조건을 증명하자. 유한 개의 확률 변수

$𝒳=\{X_1,\dots ,X_n\}$

$X_i:(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})\to (ℝ,ℬ(ℝ))$

의 경우의 증명은 다음과 같다. 일반적인 경우는 이와 유사하게 증명할 수 있다.

$𝒞=\{(-\mathrm{\infty },x]:x\in ℝ\}$

라고 하자. 그렇다면 $𝒞$는 π계를 이루며, $ℬ(ℝ)$는 $𝒞$를 포함하는 최소의 시그마 대수이다. 다음과 같은 집합을 생각하자.

${ℒ}_n=\{B_n\in ℬ(ℝ)|\mathrm{\forall }{B}_1,\dots ,B_{n-1}\in 𝒞:\mathrm{Pr}(X_1\in B_1,\dots ,X_n\in B_n)=\mathrm{Pr}(X_1\in B_1)\cdots \mathrm{Pr}(X_n\in B_n)\}$

그렇다면, 가정한 조건에 따라 $𝒞\subseteq {ℒ}_n$이다. 또한, ${ℒ}_n$은 λ계를 이룸을 보일 수 있다. 딘킨 π-λ 정리에 따라, ${ℒ}_n=ℬ(ℝ)$이다. 이제, 다음과 같은 집합을 생각하자.

${ℒ}_{n-1}=\{B_{n-1}\in ℬ(ℝ)|\mathrm{\forall }{B}_1,\dots ,B_{n-2}\in 𝒞,B_n\in ℬ(ℝ):\mathrm{Pr}(X_1\in B_1,\dots ,X_n\in B_n)=\mathrm{Pr}(X_1\in B_1)\cdots \mathrm{Pr}(X_n\in B_n)\}$

그렇다면, ${ℒ}_n=ℬ(ℝ)$이므로 $𝒞\subseteq {ℒ}_{n-1}$이며, ${ℒ}_{n-1}$은 λ계를 이룬다. 따라서 ${ℒ}_{n-1}=ℬ(ℝ)$이다. 이와 같은 과정을 반복하면 결국 임의의 $B_1,\dots ,B_n\in ℬ(ℝ)$에 대하여,

$\mathrm{Pr}(X_1\in B_1,\dots ,X_n\in B_n)=\mathrm{Pr}(X_1\in B_1)\cdots \mathrm{Pr}(X_n\in B_n)$

이라는 사실을 얻는다. 즉, $\{X_1,\dots ,X_n\}$은 서로 독립이다. 틀:증명 끝

같이 보기

• 기술통계학

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드