독립 (확률론)

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 넘어옴 틀:확률론 확률론에서 두 사건이 독립(獨立, 틀:Llang)이라는 것은, 한 사건이 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는다는 것을 의미한다. 예를 들어서, 주사위를 두 번 던지는 경우 첫 번째에 1이 나오는 사건은 두 번째에 1이 나오는 사건에 독립적이다. 이 밖에도 다양한 독립의 개념이 존재한다. 특히 통계학에서 통계적 독립(statistically independent) 또는 독립성(independence)이라고도 한다.

정의

독립 사건 집합

확률 공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})$ 위의 사건들의 집합 $𝒮\subset ℱ$가 다음 조건을 만족시킨다면, $𝒮$가 서로 독립이라고 한다.

• 모든 유한 집합 $\{S_1,\dots ,S_n\}\subset 𝒮$에 대하여,

  $\mathrm{Pr}(S_1\cap S_2\cap \cdots \cap S_n)=\mathrm{Pr}(S_1)\mathrm{Pr}(S_2)\cdots \mathrm{Pr}(S_n)$

독립 사건 시그마 대수 집합

확률 공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})$ 위의, $ℱ$의 부분 시그마 대수들의 집합 $𝔊\subset 𝒫(ℱ)$이 다음 성질을 만족시킬 경우, $𝔊$가 서로 독립이라고 한다.

• 모든 유한 집합 $\{{𝒢}_1,\dots ,{𝒢}_n\}\subset 𝔊$ 및 $S_i\in {𝒢}_i$ ($i=1,\dots ,n$)에 대하여, $\mathrm{Pr}({\bigcap }_{i=1}^n{S}_i)={\prod }_{i=1}^n\mathrm{Pr}(S_i)$

사건의 집합 $𝒮\in ℱ$에 대하여, 다음 두 명제가 서로 동치이다.

• $𝒮$는 사건의 집합으로서 서로 독립이다.
• $\{\sigma (S):S\in 𝒮\}$는 시그마 대수의 집합로서 서로 독립이다. 여기서 $\sigma (S)=\{\varnothing ,S,\mathrm{\Omega }\setminus S,\mathrm{\Omega }\}$는 $S$를 포함하는 가장 작은 시그마 대수이다.

독립 확률 변수 집합

같은 확률 공간 위에 정의된 (공역이 다를 수 있는) 확률 변수의 집합

$X_i:(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})\to (S_i,{𝒢}_i)(i\in I)$

에 대하여, 시그마 대수

${ℱ}_i=\{X_i^{-1}(T):T\in {𝒢}_i\}\subset ℱ$

를 정의할 수 있다. 만약 $\{{ℱ}_i{\}}_{i\in I}$가 시그마 대수의 집합으로서 서로 독립일 경우, 확률 변수의 집합 $\{X_i{\}}_{i\in I}$이 서로 독립이라고 한다.

성질

확률 공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})$ 위의 π계의 집합 $𝔓\subset 𝒫(ℱ)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\{\sigma (𝒫):𝒫\in 𝔓\}$는 서로 독립이다.
• 모든 유한 집합 $\{{𝒫}_1,\dots ,{𝒫}_n\}\subset 𝔓$ 및 $S_i\in {𝒫}_i$ ($i=1,\dots ,n$)에 대하여, $\mathrm{Pr}({\bigcap }_{i=1}^n{S}_i)={\prod }_{i=1}^n\mathrm{Pr}(S_i)$

확률 공간 $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathrm{Pr})$ 위의 시그마 대수의 집합 $𝔊\subset 𝒫(ℱ)$ 및 $𝔊$의 분할 $\{{𝔊}_i{\}}_{i\in I}$에 대하여, 만약 $𝔊$가 서로 독립이라면,

$\{\sigma (\bigcup {𝔊}_i):i\in I\}$

역시 서로 독립이다.

같이 보기

• 동분산성
• 정규성

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드