불완전 감마 함수

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 불완전 감마 함수(不完全Γ函數, 틀:Llang)는 감마 함수를 확장한 특수 함수로, 원래 감마함수의 정의에서 적분 구간을 변경한 것이다.

정의

상부 불완전 감마함수(上部不完全Γ函數, 틀:Llang)는 다음과 같다.

$\mathrm{\Gamma }(s,x)=\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{s-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t$

하부 불완전 감마함수(下部不完全Γ函數, 틀:Llang)는 다음과 같다.

$\gamma (s,x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{s-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t$

성질

감마 함수의 정의에 따라 다음이 성립한다.

$\gamma (s,x)+\mathrm{\Gamma }(s,x)=\mathrm{\Gamma }(s)$

부분적분을 이용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$\mathrm{\Gamma }(s,x)=(s-1)\mathrm{\Gamma }(s-1,x)+x^{s-1}{e}^{-x}$

$\gamma (s,x)=(s-1)\gamma (s-1,x)-x^{s-1}{e}^{-x}$

미분

• $\frac{\partial \mathrm{\Gamma }(s,x)}{\partial x}=-\frac{x^{s-1}}{e^x}$

Meijer의 G 함수의 특별한 경우에서:

$T(m,s,x)=G_{m-1,m}^{m,0}\left(\begin{array}{c}0,0,\dots ,0\\ s-1,-1,\dots ,-1\end{array}|x\right)$

$T(m,s,z)=-\frac{(-1{)}^{m-1}}{(m-2)!}\frac{{\mathrm{d}}^{m-2}}{\mathrm{d}{t}^{m-2}}[\mathrm{\Gamma }(s-t)z^{t-1}]{|}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{s-1+n}}{n!(-s-n{)}^{m-1}}$ 언제 $|z|<1$

• $\frac{\partial \mathrm{\Gamma }(s,x)}{\partial s}=\ln x\mathrm{\Gamma }(s,x)+xT(3,s,x)$
• $\frac{{\partial }^2\mathrm{\Gamma }(s,x)}{\partial s^2}={\ln }^{2}x\mathrm{\Gamma }(s,x)+2x[\ln xT(3,s,x)+T(4,s,x)]$
• $\frac{{\partial }^m\mathrm{\Gamma }(s,x)}{\partial s^m}={\ln }^{m}x\mathrm{\Gamma }(s,x)+mx\sum _{n=0}^{m-1}{P}_n^{m-1}{\ln }^{m-n-1}xT(3+n,s,x)$ 과 $P_j^n=\left(\begin{array}{c}n\\ j\end{array}\right)j!=\frac{n!}{(n-j)!}.$

외부 링크

• 틀:Eom