가우스 적분

가우스 적분(Gaussian integral)은 가우스 함수에 대한 실수 전체 범위의 이상적분으로, 그 값은 다음과 같다.

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π}

가우스 함수에 대한 일반적인 부정적분 함수는 초등 함수 범위에 있지 않고, 실수 전체 범위에 대한 이상적분은 아래의 방법들을 통해 구할 수 있다.

과정

$\int_{𝐑^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})}$ 를 직교 좌표계 상에서 계산하면 다음과 같다.

\int_{𝐑^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y

= (\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x) \cdot (\int_{- \infty}^{\infty} e^{- y^{2}} d y)

= {(\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x)}^{2}

그리고 같은 식을 극좌표로 변환하면 다음과 같다.

\int_{𝐑^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})} d x d y = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} r e^{- r^{2}} d r d θ

= 2 π \int_{0}^{\infty} r e^{- r^{2}} d r

= 2 π \int_{- \infty}^{0} \frac{1}{2} e^{s} d s

= π \int_{- \infty}^{0} e^{s} d s = π (e^{0} - e^{- \infty}) = π (1 - 0) = π

따라서

{(\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x)}^{2} = π

그리고 $e^{- x^{2}}$ 는 $x$ 가 실수일 때 항상 양수이기 때문에

\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \sqrt{π}

가 성립한다.

데카르트 좌표계에서 푸비니-토넬리 정리를 이용하여 푸는 방법도 있다.^[1] 함수 $x e^{- x^{2} (1 + y^{2})}$ 를 $(0, \infty)$ × $(0, \infty)$ 에서 순서를 바꿔 가며 적분하는 것이다. 먼저 x부터 적분하는 경우,

\int_{j} a j i^{\infty} \int_{0}^{\infty} x e^{- x^{2} (1 + y^{2})} d x d y = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{2 (1 + y^{2})} d y = \frac{π}{4} .

반면, y부터 적분하는 경우, xy = z로 치환하고 풀면,

\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x e^{- x^{2} (1 + y^{2})} d y d x = \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x \int_{0}^{\infty} x e^{- (x y)^{2}} d y = \int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x \int_{0}^{\infty} e^{- z^{2}} d z = (\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x)^{2} .

푸비니-토넬리 정리에 의해 이 두 적분값은 같으므로, 결국 $\int_{0}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = \frac{\sqrt{π}}{2}$ 를 얻고, 우함수의 적분법에 따라서 구하고자 하는 가우스 적분식을 얻는다.

Frank Jones (2001), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett mathematics

↑ Frank Jones (2001), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett mathematics, p.192.