갈릴레이 군

틀:위키데이터 속성 추적 틀:특수상대론 물리학과 수학에서 갈릴레이 군(Galilei群, 틀:Llang)은 뉴턴 역학에서 성립하는 시공간의 대칭군이다. 시간 병진 변환과 공간의 병진 변환 · 회전 변환 밖에, 주어진 상대 속도에 대한 기준틀의 변환을 포함한다. 특수 상대성이론에서 갈릴레이 군은 푸앵카레 군으로 대체된다.

정의

$n$차원 공간과 1차원 시간을 갖는 공간 $ℝ\times {ℝ}^n$ 위의 갈릴레이 변환(Galilei變換, 틀:Llang)은 다음과 같은 꼴의 함수이다.

$(t,𝐱)\mapsto (t+s,t𝐯+R𝐱+𝐲),(s\in ℝ,𝐯\in {ℝ}^n,R\in \mathrm{SO}(n;ℝ))$

이들은 함수의 합성 아래 $(n+1)(n+2)/2$차원 리 군을 이루며, 이를 갈릴레이 군(Galilei群, 틀:Llang) $\mathrm{Gal}(n+1)$이라고 한다. 갈릴레이 군은 다음과 같은 리 군 반직접곱으로 나타낼 수 있다.

$\mathrm{Gal}(n+1)={ℝ}^{n+1}⋊\mathrm{ISO}(n;ℝ)$

여기서 $\mathrm{ISO}(n;ℝ)={ℝ}^n⋊\mathrm{SO}(n)$은 유클리드 군이다. $\mathrm{ISO}(n;ℝ)$는 다음과 같은 꼴의 행렬군으로 나타낼 수 있다.

$\mathrm{ISO}(n;ℝ)=\{\left(\begin{array}{cc}1& 𝐯\\ \mathrm{𝟎}& R\end{array}\right):𝐯\in {ℝ}^n,R\in \mathrm{SO}(n;ℝ)\}$

그렇다면, 반직접곱에서 $\mathrm{ISO}(n;ℝ)$의 ${ℝ}^{n+1}$ 위의 작용은 다음과 같다.

$\mathrm{ISO}(n;ℝ)\to \mathrm{Aut}({ℝ}^{n+1})=\mathrm{GL}({ℝ}^{n+1})$

$\left(\begin{array}{cc}1& \mathrm{𝟎}\\ 𝐯& R\end{array}\right):(t,𝐱)\mapsto \left(\begin{array}{cc}1& \mathrm{𝟎}\\ 𝐯& R\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}t\\ 𝐱\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t\\ R𝐱+𝐯t\end{array}\right)$

갈릴레이 군 전체를 다음과 같이 행렬군으로 나타낼 수 있다.

$\mathrm{Gal}(n+1)=\{\left(\begin{array}{ccc}1& 0& \mathrm{𝟎}\\ s& 1& \mathrm{𝟎}\\ 𝐲& 𝐯& R\end{array}\right):R\in \mathrm{SO}(n),𝐯,𝐲\in {ℝ}^n,s\in ℝ\}$

이 표현에서, 갈릴레이 군의 시공간 위의 작용은 다음과 같다.

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& \mathrm{𝟎}\\ s& 1& \mathrm{𝟎}\\ 𝐲& 𝐯& R\end{array}\right):\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 𝐱\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{ccc}1& 0& \mathrm{𝟎}\\ s& 1& \mathrm{𝟎}\\ 𝐲& 𝐯& R\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ t\\ 𝐱\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ t+s\\ R𝐱+𝐯t+𝐲\end{array}\right)$

갈릴레이 대수

갈릴레이 군 $\mathrm{Gal}(n+1)$의 리 대수를 갈릴레이 대수(Galilei代數, 틀:Llang) $𝔤𝔞𝔩(n+1)$이라고 한다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 다음과 같은 기저를 정의하자.

생성원	기호	단위
시간 변화	$H$	[시간]−1
공간 병진 이동	$P_i$ ($i=1,\dots ,n$)	[길이]−1
공간 회전	$J_{ij}$ ($i,j=1,\dots ,n$, $J_{ij}=-J_{ji}$)	1
갈릴레이 변환	$C_i$ ($i=1,\dots ,n$)	[시간] [길이]−1

그렇다면 이들의 리 괄호는 다음과 같다. (물리학 관례를 따라, 모든 생성원에는 $i$가 곱해져 있다.)

$[H,P_i]=[P_i,P_j]=[J_{ij},H]=[C_i,C_j]=[C_i,P_j]=0$

$[J_{ij},J_{kl}]=i[{\delta }_{ik}{J}_{jl}-{\delta }_{il}{J}_{jk}-{\delta }_{jk}{J}_{il}+{\delta }_{jl}{J}_{ik}]$

$[J_{ij},P_k]=i[{\delta }_{ik}{P}_j-{\delta }_{jk}{P}_i]$

$[J_{ij},C_k]=i[{\delta }_{ik}{C}_j-{\delta }_{jk}{C}_i]$

$[C_i,H]=i{P}_i$

성질

갈릴레이 대수는 푸앵카레 대수와 달리 자명하지 않은 2차 리 대수 코호몰로지를 가진다.틀:Rp

$\dim {\mathrm{H}}^2(𝔤𝔞𝔩(3+1))=1$

이에 따라, 갈릴레이 대수는 자명하지 않은 중심 확대를 가지며, 중심 전하 $M$을 추가하면, 갈릴레이 대수는 다음과 같다.

$[H,P_i]=[P_i,P_j]=[J_{ij},H]=[C_i,C_j]=0$

$[J_{ij},J_{kl}]=i[{\delta }_{ik}{J}_{jl}-{\delta }_{il}{J}_{jk}-{\delta }_{jk}{J}_{il}+{\delta }_{jl}{J}_{ik}]$

$[J_{ij},P_k]=i[{\delta }_{ik}{P}_j-{\delta }_{jk}{P}_i]$

$[J_{ij},C_k]=i[{\delta }_{ik}{C}_j-{\delta }_{jk}{C}_i]$

$[C_i,H]=i{P}_i$

$[C_i,P_j]=iM{\delta }_{ij}$

따라서, 갈릴레이 변환을 따르는 고전적 계를 양자화한다면, 양자계는 일반적으로 갈릴레이 변환의 중심 확대를 따르게 된다.

표현론

3+1차원 갈릴레이 대수 $𝔤𝔞𝔩(3+1)$의 (중심 확대의) 유한 차원 유니터리 표현은 다음과 같이 분류된다.

우선, 중심 확대된 3+1차원 갈릴레이 대수의 보편 포락 대수의 중심은 다음 원소들로 생성된다.

• 중심 전하 $M$. 이는 질량에 해당한다.
• 질량껍질 불변량 $ME-P^2/2$. 이는 질량과 정지 에너지의 곱이다.
• $W_{ij}=M{J}_{ij}+P_i{C}_j-P_j{C}_i$
• $W_{ijk}=P_i{J}_{jk}+P_j{J}_{ki}+P_k{J}_{ij}$

$W_{ij}$ 및 $W_{ijk}$는 푸앵카레 군의 표현론에서의 파울리-루반스키 벡터와 유사하다.

슈어 보조정리에 따라, 기약 유니터리 표현에서 이 중심원들은 단위 행렬에 비례하며, 따라서 표현들을 중심 원소의 값에 따라 분류할 수 있다. 위 중심원들의 값이 각각

• $m$
• $m{E}_0$
• $w_{ij}$
• $w_{ijk}$

라고 하자. 유니터리 표현을 가정하였으므로, $m$은 실수이다. 물리학적으로 $E_0\ge 0$이어야만 한다.

유질량 표현

$m\ne 0$인 경우를 생각하자. $(E,𝐏)$ 공간 위에 질량껍질 제약 $mE=m{E}_0+P^2/2$을 가한 초곡면을 질량껍질이라고 하며, 갈릴레이 변환 $C_i$는 질량껍질 위에 추이적으로 작용한다.

유도 표현 (위그너 분류) 방법을 사용하면, $C_i$의 작용의 안정자군을 고려하게 된다. 이 안정자군은 $J_{ij}$에 의해 생성되는 스핀 군 $\mathrm{Spin}(n)$이다 ($n\ge 3$). $n=3$인 경우, 3차원 스핀 군 $\mathrm{Spin}(3)=\mathrm{SU}(2)$의 유한 차원 유니터리 표현은 스핀 $s\in \{0,1/2,1,3/2,\dots \}$에 의하여 완전히 분류된다. 즉, $m\ne 0$인 경우 갈릴레이 대수의 유니터리 표현은 $\mathrm{Spin}(n)$의 유니터리 표현 $s$ 및 질량 $m$, 정지 에너지 $E_0$에 의하여 분류된다.

무질량 표현

$m=0$인 경우, 유니터리 표현이므로 $mE-{𝐩}^2/2=-{𝐩}^2/2\le 0$이다. 유도 표현 방법에 따르면, $(E,𝐏)$ 공간에서의 안정자군을 고려해야 한다.

• ${𝐩}^2=0$인 경우: 이 경우 안정자군은 $J_{ij}$와 $C_i$에 의하여 생성되는 유클리드 군 $\mathrm{ISO}(n)\cong {ℝ}^n⋊\mathrm{SO}(n)$이다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 진공밖에 없으며, 이는 유클리드 군의 자명한 표현에 해당한다.
• ${𝐩}^2>0$인 경우: 이 경우 안정자군은 $\mathrm{ISO}(n-1)$이며, 이는 $𝐩$에 대하여 수직인 방향의 $C_i$ 및 $P_i$에 의하여 생성된다. 따라서 이 경우 표현은 유클리드 군 $\mathrm{ISO}(n-1)$의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 운동량의 (유한한 거리에 대한) 순간적인 이동을 나타내며, 즉 원격 작용(틀:Llang)을 전달하는 입자이다. 이러한 표현은 푸앵카레 군의 타키온 표현과 유사하다.

예

1차원 갈릴레이 군

0+1차원 갈릴레이 대수 $𝔤𝔞𝔩(1)$은 1차원 아벨 리 대수이다. 0+1차원 갈릴레이 군 $\mathrm{Gal}(1)$은 1차원 아벨 리 군 $ℝ$이다.

2차원 갈릴레이 군

1+1차원 갈릴레이 대수 $𝔤𝔞𝔩(1+1)$은 3차원 실수 하이젠베르크 대수 $𝔥(3;ℝ)$와 동형이다. 하이젠베르크 대수의 통상적 기저

$𝔥(3;ℝ)=\mathrm{Span}\{x,p,\hslash \}$

$[x,p]=i\hslash$

$[x,\hslash ]=[p,\hslash ]=0$

가 주어졌을 때, 동형은 구체적으로 다음과 같다.

$C\mapsto x$

$H\mapsto p$

$P\mapsto \hslash$

이는 3차원 실수 리 대수 가운데 아벨 리 대수가 아닌 유일한 멱영 리 대수이며, 3차원 리 대수의 비안키 분류에서 II형 대수이다.

마찬가지로, 1+1차원 갈릴레이 군은 3차원 실수 하이젠베르크 군과 동형이다. 3차원 하이젠베르크 군은 3×3 상삼각 행렬로 구성되는데, 위의 행렬 표현에서 갈릴레이 변환은 하삼각 행렬로 구성된다. (상삼각 행렬과 하삼각 행렬 사이는 기저의 순서를 뒤바꾸어 변환할 수 있다.)

응용

갈릴레이 변환은 뉴턴 역학에서 사용되는 시공간의 대칭군이다. 다만, 자기력과 같이 속도에 의존하는 힘이 존재하는 계의 경우 갈릴레이 변환을 따르지 않을 수 있다. 예를 들어, 맥스웰 방정식은 갈릴레이 변환을 따르지 않는다.

실제 세계의 시공간은 실험에 따라 갈릴레이 변환을 따르지 않고, 대신 푸앵카레 변환을 따른다. 갈릴레이 군은 푸앵카레 군의 위그너-이뇌뉘 축약(틀:Llang)이며, 이는 광속을 무한대로 취하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 광속보다 매우 낮은 속도에 대해서는 갈릴레이 변환이 대략적으로 성립한다.

역사

갈릴레이 변환의 개념은 이탈리아의 물리학자 갈릴레오 갈릴레이가 《새로운 두 과학》에서 최초로 기술하였다.틀:Rp 특수 상대성 이론 이전에는 역학의 기본적인 원리로 당연히 여기다가, 이를 대체하는 푸앵카레 변환이 제시되자 이와 구별하기 위해 "갈릴레이 변환"이라고 부르기 시작했다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• YAN Kun(2004). Energy-exchange descriptions on the superluminal velocity and quantum fractal(Equation of the one-way speed of light for the constancy of the two-way speed of light). DOI:10.3969/j.issn.1006-8341.2004.03.010.

같이 보기

• 푸앵카레 군
• 유클리드 군
• 로런츠 군