파울리-루반스키 벡터

틀:위키데이터 속성 추적 파울리-루반스키 벡터(틀:Llang)는 운동량 4차원 벡터와 각운동량 4차원 텐서의 "4차원 벡터곱"인 유사벡터다. 대개 $W^{\mu }$로 나타낸다. 그 제곱 $W^2$은 각운동량의 노름으로서, 질량 $P^2$과 함께 푸앵카레 군의 두 카시미르 불변량을 이룬다. 폴란드의 유제프 루반스키 (틀:Llang)가 1942년에 도입하였다.

정의

다음과 같이 정의한다. (여기서 $ϵ$은 레비치비타 유사텐서고, $J^{\mu \nu }$는 각운동량, $P$는 운동량이다.)

$W_{\mu }=\frac{1}{2}{ϵ}_{\mu \nu \rho \sigma }{J}^{\nu \rho }{P}^{\sigma }$

파울리-루반스키 벡터는 운동량과 가환하지만, 각운동량과는 그렇지 않다. 교환관계는 다음과 같다.

$[P^{\mu },W^{\nu }]=0$

$[J^{\mu \nu },W^{\rho }]=i(g^{\rho \nu }{W}^{\mu }-g^{\rho \mu }{W}^{\nu })$

또한 항상 운동량과 4차원 직교한다.

$P\cdot W=0$

그 제곱 $W^2$은 카시미르 불변량을 이룬다. 즉 다른 모든 연산자와 가환한다.

$[P,W^2]=0$

$[J,W^2]=0$

그 값은 각운동량의 제곱이다. 즉 각운동량 $\overrightarrow{J}$을 생각하면

$W^2=-m^2(\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{J})$

여기서 $m$은 질량이다.

양자화

유질량장의 경우 $W^2$는 입자의 총 스핀을 나타낸다. 그 고윳값은 다음과 같다.

$W^2=W_{\mu }{W}^{\mu }=m^{2}s(s+1)$

여기서 $s$는 스핀이다.

무질량장의 경우 $W^2=0$이고, $W^0=-\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{P}$는 나선도를 나타낸다.

같이 보기

• 위그너 분류
• 각운동량 연산자
• 유사벡터
• 유도 표현

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용