위그너 분류

틀:위키데이터 속성 추적 위그너 분류(틀:Llang)는 입자를 그 푸앵카레 표현에 따라 분류하는 방법이다. 유진 위그너가 1939년에 도입하였다.

4차원 위그너 분류

푸앵카레 군은 두 개의 카시미르 불변량을 갖는다. 이는 질량 $P^2$과 파울리-루반스키 벡터의 제곱 $W^2$다. 이를 이용하여 입자를 분류할 수 있다.

유질량

$P^2>0$인 경우다. 이 때는 $P_0=0$인 경우 (즉 정지틀에서는) 안정자군은 SO(3) (또는 페르미온의 경우 그 2겹 피복 Spin(3))이다. 따라서 유질량 입자는 양의 실수 $m$과 Spin(3)=SU(2)의 표현으로 나타낸다. SU(2)의 표현은 정수 또는 반홀수(틀:Lang) 0, ½, 1, 1½ 등으로 나타낸다.

무질량

$P^2=0$, $P_0>0$인 경우다. 이 때는 $P_0=k$, $P_3=-k$, $P_1=P_2=0$인 경우를 생각하자. 이 때는 그 안정자군은 유클리드 군 $\mathrm{ISO}(2)$다. $\mathrm{ISO}(2)$의 표현은 반정수의 나선도로 나타내어지는 것과 연속적인 실수로 나타내어지는 것이 있다. 후자는 연속 스핀 표현(틀:Lang)이라고 하며, 자연계에 존재하지 않는다.

타키온

$P^2<0$인 경우는 타키온이다. 자연계에 존재하지 않는다.

진공

$P^2=0$, $P_0=0$인 경우다. 이 경우에는 표현은 단 하나밖에 없으며, 진공을 나타낸다.

3차원 위그너 분류

3차원에서는 애니온이 존재하므로, 위그너 분류가 고차원과 다르다.

이 경우, 카시미르 연산자는 다음과 같다.

$P^2=m^2$

$P\cdot J=mh$

여기서 $m$은 불변 질량이며, $h$는 상대론적 나선도(relativistic helicity)이다. 나선도 $h$는 무질량 입자의 경우 정의되지 않는다. 이 경우, 음이 아닌 에너지를 가진 표현의 분류는 다음과 같다.

• 유질량 $m>0$. 정지틀 안정자군이 $O(2)$이므로, 이는 나선도 $h\in ℝ$에 따라 분류된다.
  • $h\in \mathbb{Z}$: 보손
  • $h+1/2\in \mathbb{Z}$: 페르미온
  • $2h\in ̸\mathbb{Z}$: 애니온
• 무질량 $m=0$. 이 경우 안정자군은 $(\mathbb{Z}/2)\times ℝ$이며, 표현은 $\mathbb{Z}/2$ 기약표현 $ϵ=\pm$과 $ℝ$의 기약표현으로 나타내어진다. 후자의 기약표현은 실수 $t\in ℝ$에 따라 분류된다.
  • 무질량 보손: $(ϵ=+,t=0)$
  • 무질량 페르미온: $(ϵ=-,t=0)$
  • 연속 스핀 표현: $t\ne 0$ (자연계에 존재하지 않음)
• 진공. 이 경우 안정자군은 $\mathrm{SL}(2,ℝ)$ 전체이다. $\mathrm{SL}(2,ℝ)$의 표현은 여러 가지가 있으나, 자연계에 존재하는 것은 그 자명한 표현(진공)밖에 없다.

기타 대칭군

민코프스키 공간에서의 초대칭을 나타내는 초 푸앵카레 군에 대해서도 위그너 표현이 존재한다. 이는 베르너 남이 1978년 발표하였고, 초다중항들에 해당한다.

4차원 등각 대칭군 $\mathrm{SU}(2,2)$의 경우에도 위그너 표현이 알려져 있다.

같이 보기

• 유도 표현
• 파울리-루반스키 벡터

각주

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용