보고몰니 방정식

틀:위키데이터 속성 추적 양자장론에서 보고몰니 방정식(Богомольный方程式, 틀:Llang)은 3차원 공간 위의 주접속과 딸림표현 스칼라장에 대한 1차 비선형 편미분 방정식이다. 그 해는 자기 홀극을 나타낸다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 3차원 유향 리만 다양체 $(M,g)$
  • 이를 통하여, 호지 쌍대 $*:{\mathrm{\Omega }}^{\bullet }(M)\to {\mathrm{\Omega }}^{3-\bullet }(M)$가 존재한다.
• 콤팩트 단순 리 군 $G$
• $G$-주다발 $\pi :P\twoheadrightarrow M$
  • 이로부터 $G$의 딸림표현에 대한 연관 벡터 다발 $\mathrm{ad}(P)=P{\times }_G𝔩𝔦𝔢(G)$을 정의할 수 있다.
• $\pi$의 주접속 ${\mathrm{\nabla }}_A$
  • 그 곡률을 $F\in {\mathrm{\Omega }}^2(M;\mathrm{ad}(P))$라고 하자.
• $\mathrm{ad}(P)$의 매끄러운 단면 $\varphi \in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{ad}(P))$
  • 이에 대한 공변 미분 ${\mathrm{\nabla }}_A\varphi \in {\mathrm{\Omega }}^1(M;\mathrm{ad}(P))$을 정의할 수 있다.

그렇다면, 이 데이터에 대한 다음과 같은 1차 편미분 방정식을 보고몰니 방정식이라고 한다.

$F_A=*{\mathrm{\nabla }}_A\varphi$

보고몰니 방정식의 해는 물리학적으로 자기 홀극을 나타낸다.

자기 홀극

편의상, 게이지 군 $G=\mathrm{SU}(2)$ 및 $M={ℝ}^3$를 생각하자.

보고몰니 방정식의 해 가운데, 유한한 에너지

$\underset{M}{\int }(⟨F,F⟩+⟨\mathrm{D}\varphi ,\mathrm{D}\varphi ⟩){\mathrm{d}}^{3}x<\mathrm{\infty }$

를 가지는 것들의, 게이지 변환군

${𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^3,\mathrm{SU}(2))$

의 작용에 대한 동치류를 자기 홀극이라고 한다. 만약 $M={ℝ}^3$인 경우, 이는 다음 조건을 함의한다.틀:Rp

$|\varphi |={\varphi }_0-\frac{k}{2r}+𝒪(r^{-2})$

$\frac{\partial |\varphi |}{\partial \theta }=𝒪(r^{-2})$

$|\mathrm{D}\varphi |=𝒪(r^{-2})$

여기서 $\theta$는 ${ℝ}^3$의 구면 좌표에서 임의의 방향으로의 각 좌표이며, $r$는 원점으로부터의 거리이다. ${\mathrm{\Phi }}_0$는 임의의 상수이며, $k\in \mathbb{Z}$는 자하(磁荷, 틀:Llang)이다. 주어진 자하의 보고몰니 방정식의 모듈라이 공간을 ${𝒩}_k$라고 하자.

이 대신, ${ℝ}^3$의 임의의 한 방향을 골라, 이 방향의 무한대에서 게이지 변환이 자명하다는 조건을 가할 수 있다. 이러한 게이지 환의 군을

${𝒢}_0\le 𝒢={𝒞}^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^3,\mathrm{SU}(2))$

라고 하자. 그렇다면 유한 에너지 보고몰니 방정식 해의 ${𝒢}_0$ 동치류를 틀 갖춘 자기 홀극(틀:Llang)이라고 하자.틀:Rp. 자하가 $k$인 틀 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간을 ${ℳ}_k$라고 하자. 그렇자면 정의에 따라 이는 U(1) 주다발

$\mathrm{U}(1)\hookrightarrow {ℳ}_k\twoheadrightarrow {𝒩}_k$

을 이룬다.

성질

순간자와의 관계

보고몰니 방정식은 4차원 양-밀스 순간자가 따르는 자기 쌍대성 방정식

$F^{(4)}=\pm *F^{(4)}$

을 차원 축소하여 얻을 수 있다. 이 경우, 4차원의 게이지 퍼텐셜 $A$는 3차원의 게이지 퍼텐셜과 스칼라장으로 분해된다. 즉, 4차원 주접속의 곡률은

$F^{(4)}=\left(\begin{array}{cc}0& {\mathrm{\nabla }}_A\mathrm{\Phi }\\ -{\mathrm{\nabla }}_A\mathrm{\Phi }& F\end{array}\right)$

의 꼴이다. 따라서, 이 경우 자기 (반)쌍대 방정식은

$F=\pm *{\mathrm{\nabla }}_A\mathrm{\Phi }$

가 된다. 물론, 부호 ±는 $\mathrm{\Phi }$를 재정의하여 없앨 수 있다.

모듈라이 공간

${ℝ}^3$ 위의 SU(2) 틀 갖춘 자기 홀극의 모듈라이 공간 ${ℳ}_k$는 $4k$차원 리만 다양체이며, 초켈러 다양체이다. (그 위의 리만 계량은 해의 L² 계량으로 주어진다.) 즉, ${𝒩}_k$는 $4k-1$차원 리만 다양체이다. 또한, 이 위에는 아벨 리 군 ${ℝ}^3\times \mathrm{U}(1)$이 작용하며, 이에 대한 몫공간

$\frac{{ℳ}_k}{{ℝ}^3\times \mathrm{U}(1)}={\widetilde{ℳ}}_k$

을 정의할 수 있다. ${\widetilde{ℳ}}_k$는 $4(k-1)$차원 초켈러 다양체이다.

특히, ${ℳ}_1={ℝ}^3\times \mathrm{U}(1)$이다. 즉, 하나의 자기 홀극은 자명한 모듈라이 공간을 갖는다. 이러한 $k=1$ 해는 프라사드-소머필드 해(틀:Llang)라고 하며, 다음과 같다.

$A=(\frac{1}{\sinh r}-\frac{1}{r}){ϵ}_{ijk}\frac{x^j}{r}{\sigma }^k\mathrm{d}{x}^i$

$\varphi =(\frac{1}{\tanh r}-\frac{1}{r})\frac{x^i}{r}{\sigma }_i$

여기서 ${\sigma }_i$는 리 대수 $𝔰𝔲(2)$의 기저를 이루는 파울리 행렬이다.

$k=2$일 때, ${\widetilde{ℳ}}_2$는 아티야-히친 다양체이다. 이는 점근 국소 평탄 공간이며, ADE 분류에서 D₀형에 해당한다. (반면, A₋₁형은 ${ℝ}^3\times {𝕊}^1$이며, A₀형은 토브-너트 공간이며, A_n은 $(n-1)$중 토브-너트 공간이다. E형은 존재하지 않는다.) 아티야-히친 다양체는 SU(2) 등거리군을 가지며, 이는 원점을 중심으로 하는 회전에 해당한다. 아티야-히친 다양체의 2겹 피복 공간은 D₁형 점근 국소 평탄 공간이다.

남 방정식

틀:본문 보고몰니 방정식의 해는 남 방정식으로 구성된다.틀:Rp

역사

예브게니 보리소비치 보고몰니(틀:Llang)가 도입하였다.

같이 보기

• 긴즈부르크-란다우 이론
• 자이베르그-위튼 이론

각주

• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom