11차원 초중력

틀:위키데이터 속성 추적 이론물리학에서 11차원 초중력(十一次元超重力, 틀:Llang)은 (10,1)차원에 정의되는 초중력 이론이다. 이 이상의 차원에서는 초대칭이 존재할 수 없으며, 11차원 초중력은 M이론의 무질량 입자 유효 이론이다.

정의

11차원은 초대칭이 존재할 수 있는 (로런츠 계량 부호수) 최다(最多) 차원이다. 이는 12차원 이상인 경우에는 스핀이 2를 초과하는 입자들이 존재하게 되어, 상호작용하는 양자장론을 정의할 수 없기 때문이다. 11차원에서의 초대칭 이론은 (3차 이상 도함수항을 제외하면) 유일하며, 이 이론을 11차원 초중력이라고 한다.

성질

대칭

이 이론은 32개의 초전하(틀:Lang)를 가지며, 이는 $𝒩=1$ 초대칭에 해당한다. 그 초대칭은 리 초대수

$𝔬𝔰𝔭(1|32)$

에 의하여 주어진다. 그 가환 성분, 즉 R대칭군은 리 대수

$𝔬(32)$

이다. 11차원에서, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 갖는데, R대칭은 이 위에 회전군으로 작용한다.

특히, 이 경우 그래비티노 초대칭 변환은

${\delta }_{ϵ}{\psi }_M=D_Mϵ-\frac{1}{12\cdot 4!}{F}_{NPQR}({\mathrm{\Gamma }}^{NPQR}{}_M-8{\delta }_M^N{\mathrm{\Gamma }}^{PQR})ϵ$

의 꼴이다.틀:Rp틀:Rp 여기서

$D_{\mu }ϵ={\partial }_{\mu }+{\omega }_{\mu }$

는 스핀 접속을 포함하는, 스피너 공변 미분이다.

${\delta }_{ϵ}=0$은 일종의 킬링 스피너 방정식에 해당하며, 이 조건을 만족시키는 스피너장의 수는 초중력 배경이 보존하는 초대칭의 양이다.

장

11차원 초중력은 중력장 $G_{MN}$과 마요라나 그래비티노 ${\psi }_M$, 또 3차 미분형식 게이지장 $C_{MNP}$를 포함한다. 이들은 다음과 같다.

이름	기호	푸앵카레 대칭 표현	게이지 대칭
중력장	$G_{MN}$	대칭 텐서	미분 동형
그래비티노	${\psi }_M$	벡터-마요라나 스피너	국소 초대칭 변환
게이지장	$C_{MNP}$	3차 미분 형식	$C_{MNP}\mapsto C_{MNP}+{\mathrm{d}}_{[M}{B}_{NP]}$

작용

11차원 초중력의 작용은 다음과 같다.

$\begin{array}{ccc}ℒ& =& +\frac{1}{2{\kappa }^2}eR-\frac{1}{2}e{\bar{\psi }}_M{\mathrm{\Gamma }}^{MNP}{D}_N[\frac{1}{2}(\omega -\bar{\omega })]{\psi }_P\\ & & +\frac{1}{2\cdot 4!}e{F}_{MNPQ}^2+\frac{\sqrt{2}\kappa }{16\cdot 4!}e({\bar{\psi }}_M{\mathrm{\Gamma }}^{MNPQRS}{\psi }_S+12\stackrel{N}{\stackrel{‾}{\psi }}{\mathrm{\Gamma }}^{PQ}{\psi }^R)(F+\bar{F}{)}_{NPQR}\\ & & +\frac{\sqrt{2}\kappa }{4!\cdot 4!\cdot 3!}{\epsilon }^{M_1\dots M_{11}}{F}_{M_1\dots M_4}{F}_{M_5\dots M_8}{C}_{M_9{M}_{10}{M}_{11}}\end{array}$

여기서

• $M,N,\dots$는 11차원 굽은 공간 지표이다.
• $A,B,\dots$는 필바인(11차원 민코프스키 공간) 지표이다.
• $R$는 리치 스칼라이다.
• $e_M^A$은 필바인이며, ${\eta }_{AB}{e}_M^A{e}_N^B=G_{MN}$이 11차원 계량 텐서이다.
  • $e=|\det (e_M^A)|=\sqrt{|\det g_{MN}|}$은 부피 형식이다.
  • $\omega$는 필바인으로 정의되는 스핀 접속이다.
• $F_{MNPQ}={\partial }_{[M}{C}_{NPQ]}$는 $C$의 4차 미분 형식 장세기이다.
• ${ϵ}^{M_1\dots M_{11}}$은 (천-사이먼스 꼴의 항을 적기 위한) 11차원 레비치비타 기호이다.
• $\kappa =8\pi G$는 중력 상수의 8π배이다.

L∞-대수를 통한 구성

다음과 같은 슈발레-에일렌베르크 대수를 갖는, $\mathbb{N}\oplus \mathbb{Z}/2$ 등급의 (즉, 초벡터 공간 범주에서 정의된) L∞-대수를 생각하자.틀:Rp

이름	기호	$\mathbb{N}\oplus \mathbb{Z}/2$ 등급	미분
필바인	$e^a$	(1,+)	$\mathrm{d}{e}^a={\omega }^a{}_b\wedge e^b+\frac{1}{2}\mathrm{i}\overline{\psi }{\gamma }^a\psi$
스핀 접속	${\omega }^{ab}$	(1,+)	$\mathrm{d}{\omega }^a{}_c={\omega }^a{}_b\wedge {\omega }^b{}_c$
그래비티노	$\psi$	(1,−)	$\frac{1}{4}{\omega }^a{}_b{\gamma }_a{}^b\psi$
3차 미분 형식 (전기) 게이지 장	$C_3$	(3,+)	$\frac{1}{2}\overline{\psi }{\gamma }_{ab}\wedge \psi \wedge e^a\wedge e^b$
6차 미분 형식 (자기) 게이지 장	$C_6$	(6,+)	$\mathrm{d}{C}_6=-\frac{1}{2}\overline{\psi }\wedge {\gamma }_{a_1\dots a_5}\wedge e^{a_1}\wedge \cdots \wedge e^{a_5}-\frac{13}{2}\overline{\psi }{\gamma }_{ab}\wedge e^a\wedge e^b\wedge C_3$

이 L∞-대수 $𝔰𝔲𝔤𝔯𝔞$를 초중력 L∞-대수라고 한다. 이 가운데, $\psi$와 $C_3$, $C_6$를 생략하면, 푸앵카레 리 대수 $𝔦𝔬(10,1)$을 얻는다.

이제, 그 베유 대수(틀:Llang)

$\mathrm{W}(𝔰𝔲𝔤𝔯𝔞)=\bigvee ({𝔤}^{*}\oplus 𝔤[1])$

를 정의할 수 있다. 이는 $\mathbb{N}\oplus \mathbb{Z}/2$-등급 미분 등급 대수이다.

시공간이 매끄러운 다양체 $M$이라고 할 때, 그 위의 초중력 장들은 다음과 같다.

$\mathrm{W}(𝔰𝔲𝔤𝔯𝔞)\to \mathrm{\Omega }(M)$

이제, 베유 대수에서 다음과 같은 장세기들을 정의할 수 있다.

${\mathrm{d}}_{\mathrm{W}}{e}^a$ (비틀림 텐서)

${\mathrm{d}}_{\mathrm{W}}{C}_3$

${\mathrm{d}}_{\mathrm{W}}{C}_6+15({\mathrm{d}}_{\mathrm{W}}{C}_3)\wedge C_3$

${\mathrm{d}}_{\mathrm{W}}\psi$

${\mathrm{d}}_{\mathrm{W}}{\omega }^{ab}$ (리치 곡률 텐서의 일반화)

11차원 초중력의 (고전적) 장방정식들이 만족시켜질 필요 충분 조건은

1. 이 대상들이 $e^a$와 $\psi$로 생성되는 아이디얼에 속하며,
2. $\psi$를 포함하는 항들의 (미분 형식) 계수는 $e$만을 포함하는 항의 계수의 (쐐기곱에 대한) 다항식이어야 한다.

즉, 예를 들어, $C_3$의 경우, 다음과 같은 4차 미분 형식 $G_4\in {\mathrm{\Omega }}^4(M;ℝ)$이 존재하여야 한다.

${\mathrm{d}}_{\mathrm{W}}{C}_3=(G_4{)}_{abcd}{e}^a\wedge e^b\wedge e^c\wedge e^d$

이러한 꼴의 조건을 리오노미(틀:Llang)라고 한다.

차원 축소

11차원 초중력을 낮은 차원으로 차원 축소를 가하면, 다음과 같은 이론들을 얻는다.

차원	이론
11	11차원 초중력
10	ⅡA형 ($𝒩=(1,1)$) 초중력
9	$𝒩=2$ 초중력
8	$𝒩=2$ 초중력
7	$𝒩=2$ 초중력
6	$𝒩=(2,2)$ 초중력
5	$𝒩=4$ 초중력
4	$𝒩=8$ 초중력

E₇과의 관계

11차원 초중력을

${ℝ}^{10,1}={ℝ}^{3,1}\times {ℝ}^7$

$z^M=(x^{\mu },y^m)$

위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장 (계량 텐서 $G$와 게이지 장 $C$)은 다음과 같이 분해된다.

$G_{MN}=\left(\begin{array}{cc}{G}_{\mu \nu }& G_{m\mu }\\ G_{m\mu }& G_{mn}\end{array}\right)$

$A_{MNP}=(A_{mnp},A_{\mu mn},A_{\mu \nu m},A_{\mu \nu \rho })$

이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.

(10,1)차원	(3,1)+7차원	(3,1)차원 (유사)스칼라장의 수	(3,1)차원 벡터장의 수	(3,1)차원 텐서장의 수
$G_{MN}$	$G_{\mu \nu }$	—	—	1
	$G_{\mu m}$	—	7	—
	$G_{mn}$	28	—	—
$C_{MNP}$	$C_{\mu \nu \rho }$	—	—	—
	$C_{m\mu \nu }$	7	—	—
	$C_{mn\mu }$	—	21	—
	$C_{mnp}$	35	—	—
계		70	28	1

이제, 위 장들 가운데, 38+35개의 스칼라장 $(G_{mn},C_{mnp})$ 및

${\partial }_{\mu }{\varphi }_m={ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }{\partial }_{\nu }{C}_{\rho \sigma m}$

에 의하여 정의되는 7개의 스칼라장 ${\varphi }_m$을 생각하자. 이들은 총 70개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간

${\mathrm{E}}_{7(7)}/\mathrm{SU}(8)$

의 좌표를 이룬다. 여기서 ${\mathrm{E}}_{7(7)}$은 리 군 E₇의 분할 형태이며, SU(8)은 특수 유니터리 군이다.

스칼라장과 유사스칼라장

28개의 스칼라장 $(G_{m,n}{)}_{1\le m,n\le 7}$과 $C_{mn\mu }$를 쌍대화하여 얻는 7개의 스칼라장 ${\varphi }_m$을 생각하자.

이제, 다음과 같은 8×8 정사각 행렬을 정의하자.틀:Rp

$S={\mathrm{\Delta }}^{-3/4}{\left(\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }{G}^{mn}-{\varphi }^{m}i{\varphi }^n& {\varphi }^n\\ {\varphi }^m& -1\end{array}\right)}_{}(i,j\in \{1,2,\dots ,7\})\in \mathrm{SL}(8;ℝ)$

$\mathrm{\Delta }=|\det (g_{mn}{)}_{1\le m,n\le 7}|$

이는 동차 공간 $\mathrm{SL}(8;ℝ)/\mathrm{SO}(8;ℝ)$의 원소로 간주된다. (이 동차 공간은 $63-28=35$차원이므로, 올바른 수의 성분을 갖는다.) 즉, 이는 게이지 변환

$S\mapsto MS{M}^{-1}(M\in \mathrm{SO}(8;ℝ))$

을 겪는다. 게이지 변환 가운데 $\mathrm{SO}(7;ℝ)$ 부분은 7개의 내부 차원의 회전군이다.

이 35개의 스칼라장 말고도, 35개의 유사스칼라 $C_{mnp}$가 존재한다. 군론에서, 다음과 같은 가환 그림이 주어진다.

$\begin{array}{ccc}\mathrm{SL}(8;ℝ)& \to & {\mathrm{E}}_{7(7)}\\ \uparrow & & \uparrow \\ \mathrm{SO}(8)& \to & \mathrm{SU}(8)\end{array}$

$\mathrm{SU}(8)\cap \mathrm{SL}(8;ℝ)=\mathrm{SO}(8)$

이에 따라, $S$에 35개의 유사스칼라장 성분을 추가하여, ${\mathrm{E}}_{7(7)}$의 원소로 확장할 수 있다. 다만, ${\mathrm{E}}_{7(7)}$의 가장 작은 충실한 표현이 54차원이므로, 그 구체적 표기는 복잡하다.틀:Rp

벡터장

이 이론은 28개의 게이지 보손을 갖는다. 우선, 스칼라장의 $\mathrm{SL}(8;ℝ)/\mathrm{SO}(8)$ 대칭에 대하여, 이 보손들은 $\mathrm{SL}(8;ℝ)$ 및 $\mathrm{SO}(8)$의 28차원 표현으로 변환한다. (이 표현은 8×8 반대칭 행렬로 구성된다.) 즉, 이는 8차원 실수 내적 공간 위의 쌍선형 형식을 이룬다.

4차원에서는 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 2차 미분 형식이다. 이에 따라, 28개의 게이지 보손 장세기와 그 28개의 쌍대 장세기들을 생각하자. 이들은 ${\mathrm{E}}_{7(7)}$의 56차원 실수 기본 표현을 이룬다. 이는 ${\mathrm{E}}_{7(7)}$의 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.

$\begin{array}{ccc}{\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟖}}_{ℝ}\oplus {\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟖}}_{ℝ}& \to & {\mathrm{𝟓}\mathrm{𝟔}}_{ℝ}\\ \uparrow & & \uparrow \\ {\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟖}}_{ℝ}\oplus {\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟖}}_{ℝ}& \to & {\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟖}}_{ℂ}\end{array}\begin{array}{ccc}\mathrm{SL}(8;ℝ)& \to & {\mathrm{E}}_{7(7)}\\ \uparrow & & \uparrow \\ \mathrm{SO}(8)& \to & \mathrm{SU}(8)\end{array}$

여기서 $\mathrm{SU}(8)$의 표현은 8×8 복소수 반대칭 행렬로 구성된다.

페르미온

11차원 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이는 4차원에서 4개의 디랙 스피너를 이룬다. 11차원 마요라나 그래비티노는 10×32 =320개의 실수 성분을 갖는다.

4차원에서, 이는 28개의 디랙 스피너 및 8개의 마요라나 그래비티노(즉, 4개의 디랙 그래비티노)를 이룬다.

$\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟐}\mathrm{𝟎}\to 28\times ((0,\frac{1}{2})\oplus (\frac{1}{2},0))\oplus 4\times ((1,\frac{1}{2})\oplus (\frac{1}{2},1))$

$320=28\times 8+4\times 24$

28개의 디랙 스피너는 게이지 군 SU(8)의 복소수 28차원 (실수 56차원) 표현을 이룬다틀:Rp (8×8 반대칭 행렬). 8개의 마요라나 그래비티노는 SU(8)의 8차원 복소수 표현을 이룬다.틀:Rp

페르미온들은 대역적 대칭 ${\mathrm{E}}_{7(7)}$에 대하여 변환하지 않는다. 이는 일반 상대성 이론에서 페르미온이 필바인의 대칭 $\mathrm{Spin}(1,3)$의 표현을 이루지만 $\mathrm{GL}(4)$의 표현을 이루지 않는 것과 마찬가지다.

E₆과의 관계

11차원 초중력을

${ℝ}^{10,1}={ℝ}^{5,1}\times {ℝ}^6$

$z^M=(x^{\mu },y^m)$

위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장(계량 텐서 $G$와 게이지 장 $C$)은 다음과 같이 분해된다.

$G_{MN}=\left(\begin{array}{cc}{G}_{\mu \nu }& G_{m\mu }\\ G_{m\mu }& G_{mn}\end{array}\right)$

$A_{MNP}=(A_{mnp},A_{\mu mn},A_{\mu \nu m},A_{\mu \nu \rho })$

이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다.

(10,1)차원	(4,1)+6차원	(4,1)차원 (유사)스칼라장의 수	(4,1)차원 벡터장의 수	(4,1)차원 대칭 텐서장의 수
$G_{MN}$	$G_{\mu \nu }$	—	—	1
	$G_{\mu m}$	—	6	—
	$G_{mn}$	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6+1}{2})=21$	—	—
$C_{MNP}$	$C_{\mu \nu \rho }$	1	—	—
	$C_{m\mu \nu }$	—	6	—
	$C_{mn\mu }$	—	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2})=15$	—
	$C_{mnp}$	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3})=20$	—	—
계		42	27	1

이제, 위 장들 가운데, 21+20개의 스칼라장 $(G_{mn},C_{mnp})$ 및

${\partial }_{\mu }\varphi ={ϵ}_{\mu }{}^{\nu \rho \sigma \tau }{\partial }_{\nu }{C}_{\rho \sigma \tau }$

에 의하여 정의되는 스칼라장 $\varphi$를 생각하자. 이들은 총 42개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간

${\mathrm{E}}_{6(6)}/\mathrm{USp}(8)$

의 좌표를 이룬다. 여기서 ${\mathrm{E}}_{6(6)}$은 단순 리 군 E₆의 분할 형태이며, USp(8)은 콤팩트 심플렉틱 군이다.

마찬가지로, 27개의 벡터장들은 E₆의 27차원 기본 표현을 이룬다.

응용

끈 이론에서, 11차원 초중력은 M이론의 낮은 에너지 눈금 유효 이론이다.

역사

11차원 초중력의 존재는 1978년에 외젠 크레메르(틀:Llang)와 베르나르 쥘리아(틀:Llang), 조엘 셰르크가 증명하였다.

외부 링크

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