비틀림 텐서

틀:위키데이터 속성 추적 틀:다른 뜻 미분기하학에서 비틀림 텐서(틀:Llang)는 주다발의 코쥘 접속이 레비치비타 접속에서 얼마나 벗어나는지를 측정하는, (1,2)차 텐서장이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• $M$의 주다발 $\mathrm{T}M$ 위의 코쥘 접속 $\mathrm{\nabla }$

그렇다면, $\mathrm{\nabla }$의 비틀림 텐서는 다음과 같은 (1,2)-텐서장 ($\mathrm{T}M$값 이차 형식)

$T\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M\otimes {\mathrm{T}}^{*}M\otimes {\mathrm{T}}^{*}M)$

이다.

$T(X,Y)={\mathrm{\nabla }}_{X}Y-{\mathrm{\nabla }}_{Y}X-[X,Y](X,Y\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M))$

여기서

• $[X,Y]$는 리 미분이다.

성분으로 적으면 다음과 같다. 우선, 코쥘 접속의 성분이

$({\mathrm{\nabla }}_{\mu }X{)}^{\nu }={\partial }_{\mu }{X}^{\nu }+{\mathrm{\Gamma }}_{\mu \rho }^{\nu }{X}^{\rho }$

라고 하자. 또한, 국소적으로 (홀로노믹) 좌표를 잡자. 그렇다면,

$T(X,Y{)}^{\nu }=T^{\nu }{}_{\mu \rho }{X}^{\mu }{Y}^{\rho }$

$T^{\nu }{}_{\mu \rho }={\mathrm{\Gamma }}_{\mu \rho }^{\nu }-{\mathrm{\Gamma }}_{\rho \mu }^{\nu }=2{\mathrm{\Gamma }}_{[\mu \rho ]}^{\nu }$

이다.

보다 일반적으로, 임의의 필바인

$e_1^{\mu }\dots ,e_n^{\mu }\in \mathrm{\Gamma }(\mathrm{T}M)$

을 잡자. 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

$[e_a,e_b{]}^{\mu }={\gamma }_{ab}^c{e}_c^{\mu }$

$e_a^{\mu }({\mathrm{\nabla }}_{\mu }{e}^b{)}_{\nu }={\omega }^b{}_{ac}{e}_{\nu }^c$

여기서 $\omega$는 스핀 접속이다.

그렇다면, 이 기저에서 비틀림 텐서는 다음과 같다.

$T^c{}_{ab}={\omega }_{ab}^c-{\omega }_{ba}^c-{\gamma }_{ab}^c$

성질

비틀림 텐서는 (1,2)차 텐서장이며, 그 두 개의 아래 지표는 서로 반대칭이다. 즉, $\mathrm{T}M$값의 2차 미분 형식을 이룬다.

$T^i{}_{jk}=-T^i{}_{kj}$

즉, $n$차원의 다양체에서 그 성분은 총 $n\times n\times (n-1)/2$개이다. 특히, 1차원 이하의 경우 비틀림 텐서는 항상 0이다. (2차원 이상의 경우 비틀림이 ≠0일 수 있다.)

비안키 항등식

아핀 다양체 $(M,\mathrm{\nabla })$의 리만 곡률

$R(X,Y)Z=[{\mathrm{\nabla }}_X,{\mathrm{\nabla }}_Y]Z-{\mathrm{\nabla }}_{[X,Y]}Z$

을 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 비안키 항등식(Bianchi恒等式, 틀:Llang)이 성립한다.

${\mathrm{Cyc}}_{X,Y,Z}[R(X,Y)Z-T(T(X,Y),Z)-({\mathrm{\nabla }}_{X}T)(Y,Z)]=0$

${\mathrm{Cyc}}_{X,Y,Z}[({\mathrm{\nabla }}_{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)]=0$

여기서

${\mathrm{Cyc}}_{X,Y,Z}[X\dots Y\dots Z]=X\dots Y\dots Z+Y\dots Z\dots X+Z\dots X\dots Y$

는 $(X,Y,Z)$를 순환에 따라 치환한 합을 뜻한다.

예

준 리만 다양체 $(M,g)$의 레비치비타 접속의 비틀림은 0이다.

같이 보기

• 리만 곡률 텐서
• 레비치비타 접속

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab