순환 범주

틀:위키데이터 속성 추적 호몰로지 대수학에서 순환 범주(循環範疇, 틀:Llang)는 단체 범주를 부분 범주로 갖지만 꼭짓점들을 순환시키는 사상이 추가된 작은 범주이다. 순환 범주의 반대 범주를 정의역으로 갖는 함자를 순환 대상(循環對象, 틀:Llang)이라고 한다. 가군 범주 속의 순환 대상에 대하여 순환 호몰로지를 정의할 수 있다.

정의

순환 범주

순환 범주(循環範疇, 틀:Llang) $\mathrm{Cyc}$는 다음과 같은 작은 범주이다.틀:Rp

• $\mathrm{Cyc}$의 대상은 자연수 (음이 아닌 정수) $n\in \mathbb{N}$이다.
• $\mathrm{Cyc}$의 사상들은 다음과 같은 사상들로 생성된다.

  ${\delta }_n^i:n-1\to n(0\le i\le n)$ (면 사상)

  ${\sigma }_n^i:n+1\to n(0\le i\le n)$ (퇴화 사상)

  ${\tau }_n:n\to n$ (순환 사상)

• 이 사상들은 다음과 같은 관계를 갖는다. (이 가운데, $\tau$를 포함하지 않는 것들은 단체 범주 $\mathrm{△}$의 정의에 등장하는 것과 같다.)

  ${\delta }_{n-1}^j\circ {\delta }_n^i={\delta }_{n-1}^i\circ {\delta }_n^{j-1}(0\le i<j)$

  ${\sigma }_{n+1}^j\circ {\sigma }_n^i={\sigma }_{n+1}^i\circ {\sigma }_n^{j+1}(0\le i\le j)$

  ${\sigma }_n^j\circ {\delta }_{n+1}^i=\{\begin{array}{cc}{\delta }_n^i\circ {\sigma }_{n-1}^{j-1}& i<j\\ {\mathrm{id}}_n& i\in \{j,j+1\}\\ {\delta }_n^{i-1}\circ {\sigma }_{n-1}^j& i>j+1\end{array}$

  $\stackrel{n+1}{\overbrace{{\tau }_n\circ \cdots \circ {\tau }_n}}={\mathrm{id}}_n$

  ${\tau }_n\circ {\delta }_n^i={\delta }_n^{i-1}\circ {\tau }_{n-1}(1\le i\le n)$

  ${\tau }_n\circ {\sigma }_n^i={\sigma }_n^{i-1}\circ {\tau }_{n+1}(1\le i\le n)$

이제, 임의의 범주 $𝒞$ 위의 순환 대상은 순환 범주의 반대 범주에서 $𝒞$로 가는 함자

${\mathrm{Cyc}}^{\mathrm{op}}\to 𝒞$

이다.

순환 대상의 구체적 정의

구체적으로, 범주 $𝒞$ 속의 순환 대상은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• 단체 대상 $(X_{\bullet },\underset{\bullet }{\overset{i}{\partial }},d_{\bullet }^i)$. 여기서 $\underset{\bullet }{\overset{i}{\partial }}:X_{\bullet }\to X_{\bullet -1}$는 면(面)이며, $s_{\bullet }^i:X_{\bullet }\to X_{\bullet -1}$는 퇴화 단체이다.
• 일련의 동형 사상들 $t_n:X_n\to X_n$, $n\in \mathbb{N}$

이들은 다음 호환 조건들을 만족시켜야 한다.

• (순환의 순환성) $\stackrel{n+1}{\overbrace{t_n\circ \cdots \circ t_n}}={\mathrm{id}}_{X_n}$. 특히, $t_0={\mathrm{id}}_{X_0}$이다.
• (순환과 면의 호환) $\underset{n}{\overset{i}{\partial }}\circ t_n=t_{n-1}\circ \underset{n}{\overset{i-1}{\partial }}(1\le i\le n)$
• (순환과 퇴화 단체의 호환) $s_n^i\circ t_n=t_{n+1}\circ s_n^{i-1}(1\le i\le n)$

일반적 정의

순환 대상의 개념은 순환군 말고도 정이면체군이나 대칭군 등으로 일반화될 수 있다.

교차단체군(交叉單體群, 틀:Llang)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 단체 집합 $G_{\bullet }:{\mathrm{△}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$
• 임의의 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, $G_n$ 위의 군 구조
• 임의의 $m,n\in \mathbb{N}$에 대하여, ${\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,n)$ 위의, $G_n$의 오른쪽 군 작용 ${\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,n)\times G_n\to {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,n)$

이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.틀:Rp

• 임의의 $\varphi \in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,n)$ 및 $\chi \in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(n,p)$ 및 $g\in G_p$에 대하여,

  $(\chi \circ \varphi )\cdot g=(\chi \cdot g)\circ (\varphi \cdot G({\chi }^{\mathrm{op}})(g))\in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,p)$

• 임의의 $g,h\in G_n$ 및 $\varphi \in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,n)$에 대하여,

  $G({\varphi }^{\mathrm{op}})(gh)=G(\varphi \cdot h{)}^{\mathrm{op}}(g)G({\varphi }^{\mathrm{op}})(h)\in G_m$

교차단체군의 예는 다음이 있다.

• 모든 단체군은 교차단체군이다. (그러나 단체군이 아닌 교차단체군이 존재한다.)
• 순환군 $G_n=\mathrm{Cyc}(n+1)$
• 정이면체군 $G_n=\mathrm{Dih}(n+1)$
• 쌍순환군 $G_n=\mathrm{Dic}(n+1)$
• 대칭군 $G_n=\mathrm{Sym}(n+1)$

교차단체군 $G_{\bullet }$이 주어졌을 때, 임의의 $\varphi \in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,n)$ 및 $g\in G_n$에 대하여 편의상

$g\cdot \varphi =G({\varphi }^{\mathrm{op}})(g)\in G_m$

로 표기하자. 이는

$g\cdot (\varphi \circ \chi )=(g\cdot \varphi )\cdot \chi$

를 만족시킨다.

교차단체군 $G_{\bullet }$가 주어졌을 때, 다음과 같은 작은 범주 ${\mathrm{△}}_{G_{\bullet }}$를 정의할 수 있다.

• ${\mathrm{△}}_{G_{\bullet }}$의 대상은 자연수이다. 즉, 단체 범주 $\mathrm{△}$의 대상과 같다.
• ${\mathrm{△}}_{G_{\bullet }}$의 사상들은 다음과 같은 꼴의 순서쌍이다.

  ${\mathrm{hom}}_{{\mathrm{△}}_{G_{\bullet }}}(m,n)={\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,n)\times G$

• 사상의 합성은 다음과 같다.틀:Rp 여기서, $g\in G_n$에 대하여 ${\tau }_g:{\mathrm{hom}}_{{\mathrm{△}}_{G_{\bullet }}}(n,n)$은 $({\mathrm{id}}_n,g)$에 대응하는 사상이며, $\varphi \in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,n)$이다.

  $\varphi \circ {\tau }_g=(\varphi ,g)(\varphi \in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,n),g\in G_m))$

  ${\tau }_g\circ \varphi =(\varphi \cdot g)\circ {\tau }_{g\cdot \varphi }(\varphi \in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,n),g\in G_n))$

그렇다면, 범주 $𝒞$ 속의 $G_{\bullet }$-대상은 함자

$\underset{G_{\bullet }}{\overset{\mathrm{op}}{\mathrm{△}}}\to 𝒞$

이다.

특히, 다음과 같은 경우를 생각하자.

$G_n=\mathrm{Cyc}(n+1)=⟨t_n|t_n^{n+1}=1⟩$

${\delta }^i\cdot g=\{\begin{array}{cc}{\delta }^{i-1}& 1\le i\le n\\ {\delta }^n& i=0\end{array}$

${\sigma }^i\cdot g=\{\begin{array}{cc}{\sigma }^{i-1}& 1\le i\le n\\ {\sigma }^n& i=0\end{array}$

$t_n\cdot {\delta }_n^i=\{\begin{array}{cc}{t}_{n-1}& i\ge 1\\ 1& i=0\end{array}$

$t_n\cdot {\sigma }_n^i=\{\begin{array}{cc}{t}_{n+1}& i\ge 1\\ t_{n+1}^2& i=0\end{array}$

그렇다면 이는 교차단체군을 정의하며, 이에 대한 $G_{\bullet }$-대상은 순환 대상이라고 한다.

성질

순환 범주 $\mathrm{Cyc}$는 스스로의 반대 범주와 동형이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 함자에 의하여 주어진다.틀:Rp

${\mathrm{Cyc}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Cyc}$

$n^{\mathrm{op}}\mapsto n$

$({\delta }_n^i{)}^{\mathrm{op}}\mapsto \{\begin{array}{cc}{\sigma }_{n-1}^i& i<n\\ {\sigma }_{n-1}^0\circ {\tau }_n^{-1}& i=n\end{array}$

$({\sigma }_n^i{)}^{\mathrm{op}}\mapsto {\delta }_{n+1}^{i+1}$

사상

순환 범주 ${\mathrm{△}}_{\mathrm{Cyc}}$에서, 모든 사상 $f:m\to n$는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.틀:Rp

$f^{\prime }\circ \stackrel{k}{\overbrace{t_m\circ \cdots \circ t_m}}(f^{\prime }\in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,n),k\in \{0,1,\dots ,n\})$

보다 일반적으로, 임의의 교차단체군 $G_{\bullet }$에 대하여, 범주 ${\mathrm{△}}_{G_{\bullet }}$에서, 모든 사상은 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현될 수 있다.

$\varphi \circ {\tau }_g:\varphi \in {\mathrm{hom}}_{\mathrm{△}}(m,n),g\in G_m$

순환 범주 ${\mathrm{△}}_{\mathrm{Cyc}}$에서, 다음이 성립한다.틀:Rp

• ${\tau }_n\circ {\delta }_n^0={\delta }_n^n$

증명:

$\begin{array}{cc}{\tau }_n\circ {\delta }_n^0& ={\tau }_n\circ {\delta }_n^0\circ \stackrel{n}{\overbrace{{\tau }_{n-1}\circ \cdots \circ {\tau }_{n-1}}}\\ & ={\tau }_n\circ {\tau }_n\circ {\delta }_n^1\circ \stackrel{n-1}{\overbrace{{\tau }_{n-1}\circ \cdots \circ {\tau }_{n-1}}}\\ & ={\tau }_n\circ {\tau }_n\circ {\tau }_n\circ {\delta }_n^2\circ \stackrel{n-2}{\overbrace{{\tau }_{n-1}\circ \cdots \circ {\tau }_{n-1}}}\\ & ⋮\\ & =\stackrel{n+1}{\overbrace{{\tau }_n\circ \cdots \circ {\tau }_n}}\circ {\delta }_n^n\\ & ={\delta }_n\end{array}$

• ${\tau }_n\circ {\sigma }_n^0={\sigma }_n^n\circ {\tau }_{n+1}\circ {\tau }_{n+1}$

증명:

$\begin{array}{cc}{\tau }_n\circ {\sigma }_n^0& ={\tau }_n\circ {\sigma }_n^0\circ \stackrel{n+2}{\overbrace{{\tau }_{n+1}\circ \cdots \circ {\tau }_{n+1}}}\\ & ={\tau }_n\circ {\tau }_n\circ {\sigma }_n^1\circ \stackrel{n+1}{\overbrace{{\tau }_{n+1}\circ \cdots \circ {\tau }_{n+1}}}\\ & ={\tau }_n\circ {\tau }_n\circ {\tau }_n\circ {\sigma }_n^1\circ \stackrel{n}{\overbrace{{\tau }_{n+1}\circ \cdots \circ {\tau }_{n+1}}}\\ & ⋮\\ & =\stackrel{n+1}{\overbrace{{\tau }_n\circ \cdots \circ {\tau }_n}}\circ {\sigma }_n^1\circ {\tau }_{n+1}\circ {\tau }_{n+1}\\ & ={\sigma }_n^1\circ {\tau }_{n+1}\circ {\tau }_{n+1}\end{array}$

단체와의 관계

단체 범주 $\mathrm{△}$에서 순환 범주로 가는 포함 함자

$\mathrm{△}\hookrightarrow {\mathrm{△}}_{\mathrm{Cyc}}$

가 존재한다. 이는 충실한 함자이며, 대상 집합에 제한하면 전단사 함수이지만, 충만한 함자가 아니다 (즉, ${\mathrm{△}}_{\mathrm{Cyc}}$에는 $t_n$으로 정의되는 추가 사상들이 존재한다).

이에 따라, 임의의 범주 $𝒞$에 대하여, $𝒞$-순환 대상의 범주에서 $𝒞$-단체 대상의 범주로 가는 망각 함자

$\mathrm{hom}({\mathrm{Cyc}}^{\mathrm{op}},𝒞)\to \mathrm{hom}({\mathrm{△}}^{\mathrm{op}},𝒞)$

가 존재하며, 이는 충실한 함자이지만 일반적으로 충만한 함자가 아닐 수 있다.

예

모든 성분이 자명군인 교차단체군 $1$을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 ${\mathrm{△}}_1$은 단체 범주 $\mathrm{△}$와 같다.

각 성분이 대칭군인 교차단체군

$G_n=\mathrm{Sym}(n+1)$

을 생각하자. 그렇다면, 이에 대하여 정의되는 범주 ${\mathrm{△}}_{\mathrm{Sym}}$는 유한 집합과 함수의 작은 범주 $\mathrm{finSet}$와 동치이다.

결합 대수의 순환 가군

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.

$C:n\mapsto A^{{\otimes }_K(n+1)}$

$C({{\delta }_n^i}^{\mathrm{op}}):C_n\to C_{n-1}$

$C({{\delta }_n^i}^{\mathrm{op}}):a_0{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_n\mapsto \{\begin{array}{cc}{a}_0{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_{i-1}{\otimes }_K{a}_i{a}_{i+1}{\otimes }_K{a}_{i+2}{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_n& 0\le i<n\\ a_n{a}_0{\otimes }_K{a}_1{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_{n-1}& i=n\end{array}$틀:Rp

$C({{\sigma }_n^i}^{\mathrm{op}}):C_n\to C_{n+1}$

$C({{\sigma }_n^i}^{\mathrm{op}}):a_0{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_n\mapsto a_0{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_i{\otimes }_{K}1{\otimes }_K{a}_{i+1}{\otimes }_K{a}_n$틀:Rp

$C({\tau }_n^{\mathrm{op}}):C_n\to C_n$

$C({\tau }_n^{\mathrm{op}}):a_0{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_n\mapsto (-{)}^n{a}_n{\otimes }_K{a}_0{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{a}_{n-1}$틀:Rp

즉, 이는 $K$-가군 범주 ${\mathrm{Mod}}_K$ 속의 순환 가군을 이룬다. 이를 $A$에 대응되는 순환 가군(틀:Llang)이라고 한다.

이 구성은 결합 대수의 순환 호몰로지 및 호흐실트 호몰로지를 정의할 때 사용된다.

역사

알랭 콘이 1983년에 도입하였다.틀:Rp 이 논문에서 콘은 순환 범주를 “$\mathrm{\Lambda }$”라고 표기하였다.틀:Rp틀:Rp

교차순환군의 개념은 즈비크니에프 피에도로비치(틀:Llang)와 장루이 로데가 1991년에 도입하였다.

같이 보기

• 순환 호몰로지
• 단체 범주

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab