결합 도식

틀:위키데이터 속성 추적 조합론에서 결합 도식(結合圖式, 틀:Llang) 또는 일관 구조(一貫構造, 틀:Llang)는 어떤 특별한 조건을 만족시키는 일련의 이항 관계들이 주어진 유한 집합이며, 변 색칠이 주어진 완전 그래프로도 간주될 수 있다. 주어진 결합 도식으로부터 그 구조를 나타내는 결합 대수인 보스-메스너 대수(बसु-Mesner代數, 틀:Llang)가 존재한다.

정의

결합 도식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.

조합론적 정의

결합 도식 $(X,ℛ)$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.틀:Rp틀:Rp

• 유한 집합 $X$
• $X\times X$의, $n+1$개의 부분 집합들 $ℛ$, $|ℛ|=n+1$

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• ㉠ $ℛ$는 $X\times X$의 분할을 이룬다. 즉, $R,R^{\prime }\in ℛ$이며 $R\ne R^{\prime }$이라면 $R\cap R^{\prime }=\varnothing$이며, 또한 $\bigcup ℛ=X\times X$이다.
• ㉡ $\{(x,x):x\in X\}=\bigcup {ℛ}^{\prime }$인 부분 집합 ${ℛ}^{\prime }\subseteq ℛ$가 존재한다.
• ㉢ $\varnothing \in ̸ℛ$
• ㉣ 임의의 $R\in ℛ$에 대하여, $R^{\mathrm{op}}\in ℛ$
• ㉤ 임의의 $R,R^{\prime },R^{″}\in ℛ$ 및 $(x,y)\in R$에 대하여, $|\{z\in X:x{\sim }_{R^{\prime }}y{\sim }_{R^{″}}z\}|\in \mathbb{N}$는 $(x,y)$에 의존하지 않는다.

여기서

• $R\in ℛ$에 대하여, $x{\sim }_{R}y$는 $(x,y)\in R$를 뜻한다.
• $R^{\mathrm{op}}=\{(y,x):(x,y)\in R\}$는 $R$의 반대 이항 관계이다.

흔히, $ℛ$의 원소는 $(R_0,R_1,\dots ,R_n)$으로 표기되며, 이 경우 $R_0=\{(x,x):x\in X\}$이다. 또한,

$p_{ij}^k=|\{z\in X:x{\sim }_{i}y{\sim }_{j}z\}|(x{\sim }_{k}y)$

는 결합 도식의 구조 상수(構造常數, 틀:Llang)라고 한다.

행렬을 통한 정의

결합 도식 $(X,n,𝒜)$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.틀:Rp

• 유한 집합 $X=\{0,1,\dots ,q-1\}$
• 자연수 $n$
• $n$개의, 모든 성분이 0 또는 1인 $q\times q$ 정사각 행렬들의 족 $𝒜=\{A_0,A_1,\dots ,A_n\}$.

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• ㉠ ${\sum }_{i=0}^n{A}_i$는 모든 성분이 1인 $k\times k$ 정사각 행렬이다.
• ㉡ $1_{k\times k}=\sum {𝒜}^{\prime }$인 ${𝒜}^{\prime }\subseteq 𝒜$가 존재한다.
• ㉢ $0_{k\times k}\in ̸𝒜$.
• ㉣ 임의의 $A\in 𝒜$에 대하여, $A^{\mathrm{\top }}\in 𝒜$
• ㉤ 임의의 $A_i,A_j\in 𝒜$에 대하여, 그 곱 $A_i{A}_j$는 $𝒜$의 원소들의 자연수 계수 선형 결합이다. 즉, 각 $0\le i,j,k\le k$에 대하여, $A_i{A}_j={\sum }_{k=0}^n{p}_{ij}^k{A}_k$인 자연수 $p_{ij}^k$가 존재한다.

이 두 정의는 서로 동치이다. 즉, 두 정의 사이를 번역하려면, 각 이항 관계 ${\sim }_i$를 대신 정사각 행렬

$(A_i{)}_{x,y}=x{\sim }_{i}y(x,y\in X)$

로 치환하면 된다.

기하학적 정의

결합 도식의 개념은 거리 공간과 유사하게 정의될 수도 있다.틀:Rp

결합 도식 $(X,D,\partial )$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 유한 집합 $X$
• 유한 집합 $D$
• 함수 $\partial :X\times X\to D$. 이는 거리 함수(距離函數, 틀:Llang)라고 한다.

이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

• ㉡ 임의의 $x,y,z\in X$에 대하여, 만약 $\partial (x,x)=\partial (y,z)$라면, $y=z$이다.
• ㉢ $\partial$은 전사 함수이다.
• ㉣ 임의의 $x,y,x^{\prime },y^{\prime }\in X$에 대하여, $\partial (x,y)=\partial (x^{\prime },y^{\prime })$라면 $\partial (y,x)=\partial (y^{\prime },x^{\prime })$
• ㉤ 임의의 $x,y,x^{\prime },y^{\prime }\in X$에 대하여, 만약 $\partial (x,y)=\partial (x^{\prime },y^{\prime })$라면, $\mathrm{\forall }z\in X:\partial (x,z)=\partial (x^{\prime },f(z))$이자 $\mathrm{\forall }z\in X:\partial (z,y)=\partial (f(z),y^{\prime })$가 되는 전단사 함수 $f:X\to X$가 존재한다.

이 정의 역시 나머지 두 정의와 서로 동치이다. 즉, 각 $\alpha \in D$에 대하여 이항 관계

$x{\sim }_{\alpha }y⟺\partial (x,y)=\alpha$

를 대응시키면 된다.

부분 결합 도식

같은 집합 $X$ 위의 두 결합 도식 $(X,ℛ)$ 및 $(X,{ℛ}^{\prime })$에 대하여, 만약 $ℛ\subseteq {ℛ}^{\prime }$이라면, $(X,ℛ)$를 $(X,{ℛ}^{\prime })$의 부분 결합 도식(部分結合圖式, 틀:Llang)이라고 한다.

결합 도식 준동형

다음이 주어졌다고 하자.

• 유한 집합 $X$ 위의 결합 도식 $(X,ℛ)$
• 유한 집합 $X^{\prime }$ 위의 결합 도식 $(X^{\prime },{ℛ}^{\prime })$

그렇다면, 결합 도식 사상(틀:Llang) $(f,g):(X,ℛ)\to (X^{\prime },{ℛ}^{\prime })$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.틀:Rp

• 함수 $f:X\to X^{\prime }$
• 함수 $g:ℛ\to {ℛ}^{\prime }$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

임의의 $x,y\in X$ 및 $R\in ℛ$에 대하여, 만약 $x{\sim }_{R}y$라면, $f(x){\sim }_{g(R)}f(y)$이다.

이는 사실 이항 관계가 주어진 구조 사이의 준동형의 특수한 경우이다.

종류

결합 도식 $X$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 대칭 결합 도식(對稱結合圖式, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

• 조합론적 정의 $(X,ℛ)$에서, $ℛ$의 모든 원소는 대칭 관계이다. 즉, 만약 $R\in ℛ$라면, $R=R^{\mathrm{op}}$이다.
• 행렬을 통한 정의 $(X,𝒜)$에서, 모든 $A\in 𝒜$는 대칭 행렬이다.
• 기하학적 정의 $(X,\partial )$에서, 임의의 $x,y\in X$에 대하여 $\partial (x,y)=\partial (y,x)$이다.

결합 도식 $(X,ℛ)$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 가환 결합 도식(可換結合圖式,틀:Llang)이라고 한다.

• 그 보스-메스너 대수가 가환환이다.
• 조합론적 정의에서, 임의의 $R,R^{\prime },R^{″}\in ℛ$ 및 $(x,y)\in R$에 대하여, $|\{z\in X:x{\sim }_{R^{\prime }}z{\sim }_{R^{″}}y\}|=|\{z\in X:x{\sim }_{R^{″}}z{\sim }_{R^{\prime }}y\}|$
• 행렬을 통한 정의 $(X,𝒜)$에서, 임의의 $A,B\in 𝒜$에 대하여 $AB=BA$이다.
• 기하학적 정의 $(X,\partial )$에서, 임의의 $x,y\in X$에 대하여, $\mathrm{\forall }z\in X:(\partial (x,z),\partial (z,y))=(\partial (y,f(z)),\partial (f(z),x))$가 되는 자기 전단사 함수 $f:X\to X$가 존재한다.

결합 도식 $(X,ℛ)$이 다음 조건을 만족시킨다면, 균등 결합 도식(均等結合圖式, 틀:Llang)이라고 한다.

• 조합론적 정의 $(X,ℛ)$에서, $\{(x,x):x\in X\}\in ℛ$이다.
• 행렬을 통한 정의 $(X,𝒜)$에서, $1_{|X|\times |X|}\in 𝒜$이다.
• 기하학적 정의 $(X,\partial )$에서, $\mathrm{\forall }x,y\in X:\partial (x,x)=\partial (y,y)$이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

대칭 결합 도식 ⊊ 가환 결합 도식 ⊊ 균등 결합 도식 ⊊ 결합 도식

연산

올

결합 도식 $(X,\partial )$이 주어졌을 때, $X$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.

$x\approx y⟺\partial (x,x)=\partial (y,y)$

이 동치 관계에 대한 동치류를 $X$의 올(틀:Llang)이라고 하자. 올들로 구성된 집합의 분할을 $(X_{\alpha }{)}_{\alpha \in I}$로 표기할 때, 다음이 성립한다.

$\mathrm{\forall }R\in ℛ\mathrm{\exists }\alpha ,\beta \in I:R\subseteq X_{\alpha }\times X_{\beta }$

증명:

임의의 $x,y,y^{\prime }\in X$가 주어졌으며, 귀류법을 사용하여

$\partial (x,y)=\partial (x,y^{\prime })$

$\partial (y,y)\ne \partial (y^{\prime },y^{\prime })$

이라고 가정하자. 그렇다면,

$\{z\in X:\partial (x,z)=\partial (x,y),\partial (z,y)=\partial (y,y)\}=\{y\}$

$\{z\in X:\partial (x,z)=\partial (x,y),\partial (z,y^{\prime })=\partial (y,y)\}=\varnothing$

이므로, 이는 결합 도식의 정의와 모순된다.

이에 따라, 결합 도식 $(X,\partial )$의 임의의 올 $X_i$이 주어졌을 때,

$(X_i,\partial \upharpoonright X_i^2)$

는 균등 결합 도식을 이룬다.

직접곱

유한 개의 결합 도식

$(X_i,{ℛ}_i{)}_{i\in I}$

$|I|<{\mathrm{\aleph }}_0$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합

$X=\prod _{i\in I}{X}_i$

위에 이항 관계

$ℛ=\prod _{i\in I}{ℛ}_i$

$(x_i{)}_{i\in I}{\sim }_{(R_i{)}_{i\in I}}(y_i{)}_{i\in I}⟺\mathrm{\forall }i\in I:x_i{\sim }_{R_i}{y}_i$

를 줄 수 있다. 그렇다면, $(X,ℛ)$는 결합 도식을 이루며, 이를 $(X_i,{ℛ}_i{)}_{i\in I}$의 직접곱(直接곱, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

이는 군의 직접곱의 개념의 일반화이다.

성질

구조 상수

임의의 결합 도식 $X$의 구조 상수들 $(p_{ij}^k{)}_{1\le i,j,k\le n}$은 다음을 만족시킨다.

$\sum _{i,j,k=0}^n{p}_{ij}^k|R_k|=|X{|}^3$

만약

$R_i^{\mathrm{op}}=R_{\overline{ı}}$

$R_j^{\mathrm{op}}=R_{\overline{ȷ}}$

$R_k^{\mathrm{op}}=R_{\overline{k}}$

일 때, 다음이 성립한다.

$p_{jk}^i=p_{\overline{k}\overline{ȷ}}^{\overline{ı}}$

균등 결합 도식 $(X,ℛ)$의 구조 상수들 $(p_{ij}^k{)}_{1\le i,j,k\le n}$은 다음을 만족시킨다.틀:Rp

$p_{0i}^j=p_{i0}^j={\delta }_i^j$

$p_{ij}^0=p_{\overline{ȷ}\overline{ı}}^0={\delta }_j^{\overline{ı}}{p}_{i\overline{ı}}^0$

$\sum _{i,j=0}^n{p}_{ij}^0=\sum _{i=0}^n{p}_{i\overline{ı}}^0=|X|$

(여기서 ${\delta }_i^j$는 크로네커 델타이다.)

대칭 결합 도식에 대응되는 변 색칠

대칭 결합 도식 $(X,ℛ)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$의 원소를 꼭짓점들로 하는 완전 그래프 $K_X$ 위에, $ℛ\setminus \{R_0\}$의 원소를 색으로 하는 변 색칠 $c:\mathrm{E}(K_X)\to ℛ\setminus \{R_0\}$을 정의할 수 있다.

$c:(x,y)\mapsto R⟺(x,y)\in R(R\in ℛ,R\ne R_0)$

이에 따라, 대칭 결합 도식은 특별한 변 색칠이 주어진 유한 완전 그래프로 여겨질 수 있다.틀:Rp

보스-메스너 대수

(행렬을 통한 정의의) 결합 도식 $(X,𝒜)$이 주어졌을 때, $𝒜$의 선형 생성

${\mathrm{Span}}_{\mathbb{Z}}𝒜\subseteq \mathrm{Mat}(|X|,|X|;\mathbb{Z})$

은 정수 계수 결합 대수를 이룬다. 이를 $X$에 대응하는 보스-메스너 대수라고 한다 (흔히, 정수 계수 대신 실수나 복소수 계수가 사용된다).틀:Rp

에르미트 수반에 대하여 닫혀 있는 복소수 행렬 결합 대수이므로, 복소수 계수 보스-메스너 대수는 항상 반단순 대수이다.

아르틴-웨더번 정리에 따라서, 복소수 계수 보스-메스너 계수는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현된다.

$\prod _{a=1}^k\mathrm{Mat}(m_a,m_a;ℂ)$

이에 따라, 위 분해에 등장하는 멱등원

$E_a=(0,0,\dots ,0,1_{m_a\times m_a},0,\dots ,0)$

들을 정의할 수 있으며, 이들은

$E_a{E}_b={\delta }_{ab}{E}_a(a,b\in \{0,\dots ,k\})$

를 만족시킨다 (${\delta }_{ab}$는 크로네커 델타). 또한, 편의상

$E_0=\frac{1}{|X|}{𝖩}_{|X|\times |X|}.$

로 놓는다. 여기서 ${𝖩}_{|X|\times |X|}$는 모든 성분이 1인 $|X|\times |X|$ 정사각 행렬(즉, 아다마르 곱의 항등원)이다. 이는 결합 도식의 공리에 따라 보스-메스너 대수의 원소이며, 0이 아닌 고윳값이 1개 밖에 없는 멱영원이므로 위 분해에 항상 등장한다.

특히, $E_a$를 $D_i$로 전개하였을 때의 계수

$|X|E_a=\sum _{i=0}^n{Q}_{ai}{D}_j$

를 정의할 수 있다.

가환 결합 도식의 쌍대성

가환 결합 도식 $X$의 경우, 최소 멱등원의 수는 $|X|=n$와 같으며, 멱영원들 $(E_a{)}_{0\le a\le n}$은 보스-메스너 대수 $𝒜$의 기저를 이룬다. 이에 따라, 다음을 정의할 수 있다.

$D_i=\sum _{a=0}^n{P}_{i,a}{E}_a$

또한, $D_i$들은 모두 아다마르 곱에 대하여 닫혀 있으므로, $E_a$들의 아다마르 곱에 대한 구조 상수

$E_a◯E_b=q_{ab}^c{E}_c$

를 정의할 수 있다. (아다마르 곱은 교환 법칙을 따르므로 $q_{ab}^c=q_{ba}^c$이다.)

이에 따라, 다음과 같은 쌍대성이 존재한다.

이항 연산	아다마르 곱 $◯$	행렬의 곱
기저	$D_i$	$E_a$
기저의 직교성	$D_i◯D_j={\delta }_{ij}{D}_i$	$E_a{E}_b={\delta }_{ab}{E}_a$
멱등원 조건	$D_i$의 모든 성분은 0 또는 1 (아다마르 곱의 멱등원)	$E_a$의 모든 고윳값은 0 또는 1 (행렬곱의 멱등원)
항등원	$D_0=1_{n\times n}$	$E_0={𝖩}_{n\times n}/|X|$
기저 원소의 쌍대성	$D_{\overline{ı}}=D_i^{\mathrm{\top }}$	$E_{\overline{a}}=E_a^{\mathrm{\top }}={\overline{E}}_a$ (각 성분의 복소켤레)
기저의 합	$\sum _i{D}_i={𝖩}_{|X|\times |X|}$	$\sum _a{E}_a=1_{|X|\times |X|}$
차수	$v_i=\{y\in X:x{\sim }_{i}y\}(\mathrm{\forall }x\in X)$	$m_a={\dim }_{ℂ}\mathrm{im}{E}_a$
차수의 합	$\sum _i{v}_i=|X|$	$\sum _a{m}_a=|X|$
구조 상수	$D_i{D}_j=p_{ij}^k{D}_k$	$|X|E_a◯E_b=q_{ab}^c{E}_c$
기저 변환	$D_i={\sum }_{a=0}^n{P}_{ia}{E}_a$	$E_a={\sum }_{i=0}^n{Q}_{ai}{D}_i$

이 표에서, 배경색이 노란 칸은 가환 결합 도식일 경우에만 정의되는 것이다.

이에 따라, 만약 두 결합 도식 $X$, $Y$의 복소수 계수 보스-메스너 대수 ${𝒜}_X$, ${𝒜}_Y$가 각각

$({𝒜}_X,\cdot ,◯,(D_i{)}_i)\cong ({𝒜}_Y,◯,\cdot ,(E_a{)}_a)$

라면, 서로 쌍대(틀:Llang)라고 한다. 즉, 반선형 변환(틀:Llang)

$f:{𝒜}_X\to {𝒜}_Y$

$f(\lambda M)=\overline{\lambda }f(M)(\lambda \in ℂ,M\in {𝒜}_X)$

$f(MN)=f(M)◯f(N)$

$f(M◯N)=f(M)f(N)$

를 만족시킬 경우, 이들이 서로 쌍대라고 한다.

아다마르 곱은 항상 교환 법칙을 따르므로, 쌍대성은 오직 두 가환 결합 도식 사이에만 존재할 수 있다.

특히, 해밍 결합 도식은 스스로의 쌍대이다.틀:Rp

예

다음은 $n=3$인 대칭 결합 도식의 한 예이다. 여기서 $X=\{𝖠,𝖡,𝖢,𝖣,𝖤,𝖥\}$이다.

	A	B	C	D	E	F
A	0	1	1	2	3	3
B	1	0	1	3	2	3
C	1	1	0	3	3	2
D	2	3	3	0	1	1
E	3	2	3	1	0	1
F	3	3	2	1	1	0

그 구조 상수는 다음과 같다.

$1=p_{00}^0=p_{01}^1=p_{02}^2=p_{03}^3=p_{11}^1=p_{23}^1=p_{33}^1=p_{22}^2=p_{12}^3=p_{13}^3$

$2=p_{11}^0=p_{33}^0=p_{13}^2$

여기서 $p_{ij}^k$가 수록되었다면 $p_{ji}^k$는 생략하였으며, 수록되지 않은 구조 상수는 모두 0이다.

자명한 결합 도식

크기가 2 이상인 임의의 유한 집합 $X$ 위에

$R_0=\{(x,x):x\in X\}$

$R_1=X\times X\setminus R_0$

$ℛ=\{R_0,R_1\}$

을 정의하면, $(X,2,ℛ)$는 결합 도식을 이루며, 이를 자명한 결합 도식(自明-結合圖式, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp 그 구조 상수는 다음과 같다.

$p_{00}^0=p_{01}^1=p_{10}^1=1$

$p_{00}^1=p_{01}^0=p_{10}^0=0$

$p_{11}^0=|X|-1$

$p_{11}^1=|X|-2$

이는 사실 $n=1$인 해밍 결합 도식과 같다.

이산 결합 도식

임의의 유한 집합 $X$ 위에,

$ℛ=\{\{(x,y)\}:x,y\in X\}$

를 정의하면, $(X,ℛ)$ 역시 결합 도식을 이룬다. 이를 이산 결합 도식(離散結合圖式, 틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp 그러나 $|X|\ge 2$일 경우 이는 균등 결합 도식이 아니다.

작은 결합 도식

크기 1의 결합 도식은 유일하며, 이는 대칭 결합 도식이다.

	A
A	0

크기 2의 결합 도식은 다음 두 가지가 있다.

(가)

	A	B
A	0	1
B	1	0

(나)

	A	B
A	0	2
B	3	1

(가)는 자명한 결합 도식이며, (나)는 이산 결합 도식이다. (가)는 대칭 결합 도식이지만, (나)는 균등 결합 도식이 아니다.

주어진 집합 $X$ 위의, 특별한 조건을 만족시키는 결합 도식의 수는 다음과 같다.틀:Rp

$|X|$	균등 결합 도식의 수 틀:OEIS	대칭 결합 도식의 수
1	1	1
2	1	1
3	2	1
4	4	3
5	3	2
6	8	4
7	4	2
8	21	10
9	12	6
10	13	8
11	4	2
12	59	21

해밍 결합 도식과 존슨 결합 도식

틀:본문 틀:본문 임의의 곱집합 $X=F^n$ 위에, 두 벡터 사이의 해밍 거리가 $0,1,\dots ,n$인 것을 각각 이항 관계로 삼으면, 이는 결합 도식을 이룬다. 이를 해밍 결합 도식이라고 한다.

특히, $F=\{0,1\}$일 때, 주어진 해밍 무게의 벡터들만을 취한 부분 결합 도식을 존슨 결합 도식이라고 한다.

정추이적 작용

유한군 $G$의, 유한 집합 $X$ 위의 왼쪽 정추이적 작용이 주어졌다고 하자. (특히, $|G|=|X|$이다.) 그렇다면,

$n=|G|$

$ℛ=\{\{(x,gx):x\in X\}:g\in G\}$

를 정의하면, $(X,n,ℛ)$는 결합 도식을 이루며, 그 구조 상수는

$p_{gh}^k=\{\begin{array}{cc}1& gh=k\\ 0& gh\ne k\end{array}(g,h,k\in G)$

이다.

이에 대응하는 보스-메스너 대수는 군환

$\mathbb{Z}[G]$

과 동형이다.

또한, $G$에 대응하는 결합 도식이 가환 결합 도식일 필요 충분 조건은 $G$가 아벨 군인 것이다.

일반적 군 작용

유한군 $G$의, 유한 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $G$는 $X^2=X\times X$ 위에 다음과 같이 작용한다.

$g\cdot (x,y)=(g\cdot x,g\cdot y)(x,y\in X,g\in G)$

그렇다면, $G$의 작용에 대한 궤도들은 $X^2$의 분할 $X^2/G$을 정의한다.

이 경우, $(X,X^2/G)$는 결합 도식을 이룬다.틀:Rp 또한, 이 결합 도식이 각종 조건을 만족시킬 필요 충분 조건은 다음과 같다.

결합 도식	군의 작용
올	$X$ 위의 $G$-작용의 궤도
균등 결합 도식	$G\to \mathrm{Sym}(X)$가 추이적 작용
대칭 결합 도식	임의의 $x,y\in X$에 대하여, $(g\cdot x,g\cdot y)=(y,x)$가 되는 $g\in G$가 존재
자명 결합 도식	$G\to \mathrm{Sym}(X)$가 2-추이적 작용
이산 결합 도식	$G\to \mathrm{Sym}(X)$가 자명한 작용 (즉, $g\cdot x=x\mathrm{\forall }g\in G,x\in X$)

역사

1952년에 라지 찬드라 보스와 시마모토(T. Shimamoto)가 블록 설계의 이론에 대한 응용을 위해 결합 도식의 개념 및 용어를 도입하였다. 보스와 시마모토의 논문에서, “결합 도식”(틀:Llang)이라는 용어는 대칭 결합 대수를 뜻했다.

1959년에 라지 찬드라 보스와 데일 마시 메스너(틀:Llang)는 보스-메스너 대수를 도입하였다.

이후 도널드 고든 히그먼(틀:Llang, 1928~2006)이 1970년에 군론에서의 응용을 위하여 본 문서의 결합 도식과 동치인 개념을 도입하였으며, 히그먼은 이 개념을 “일관 구조”(틀:Llang)라고 불렀다.틀:Rp

같이 보기

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외부 링크

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