상태 (함수해석학)

틀:위키데이터 속성 추적 C* 대수 이론에서, 상태(狀態, 틀:Llang)는 C* 대수 위에 정의된, 특정한 부등식을 만족시키는, 작용소 노름 1의 복소수 값 유계 작용소이다. 이는 대략 C* 대수를 비가환 공간으로 여겼을 때 일종의 “확률 측도”로 여길 수 있다. 양자역학의 밀도 행렬을 추상화한 개념이다.

겔판트-나이마르크-시걸 구성(Гельфанд-Наймарк-Segal構成, 틀:Llang, 약자 GNS 구성)에 따라, 상태들은 C* 대수의, 복소수 힐베르트 공간 위의 표현(의 동치류)와 일대일 대응한다.

정의

(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수 $(A{,}^{*})$ 위의 복소수 선형 변환

$f:A\to ℂ$

가 다음 조건을 만족시킨다면, 상태라고 한다.틀:Rp틀:Rp

• 임의의 $a\in A$에 대하여, $f(a^{*}a)\in [0,\mathrm{\infty })$이다.
• $f(1)=1$이다.

C* 대수 $A$의 상태들의 공간을 $\mathrm{State}(A)\subseteq A^{*}$라고 하자 ($A^{*}$는 $A$의 연속 쌍대 공간). 이는 콤팩트 볼록 집합이며, 크레인-밀만 정리에 의하여 이는 극점들을 갖는다. 극점인 상태들을 순수 상태(純粹狀態, 틀:Llang)틀:Rp, 아닌 상태들을 혼합 상태(混合狀態,틀:Llang)라고 한다. (이 용어들은 양자역학에서 유래하였다.)

*-표현

C* 대수 $A$의 *-표현(*-表現) $(\mathscr{H},\rho )$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $\mathscr{H}$는 복소수 힐베르트 공간이다.
• $\rho :A\to \mathrm{B}(\mathscr{H},\mathscr{H})$는 복소수 대합 대수의 준동형이다. 즉, 환 준동형이며, 복소수 선형 변환이며, 대합과 항등원을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.
  • 임의의 $a,b\in A$에 대하여, $\rho (a+b)=\rho (a)+\rho (b)$
  • 임의의 $a,b\in A$에 대하여, $\rho (ab)=\rho (a)\rho (b)$
  • 임의의 $a\in A$ 및 $\lambda \in ℂ$에 대하여, $\rho (\lambda a)=\lambda \rho (a)$
  • 임의의 $a\in A$에 대하여, $\rho (a^{*})=\rho (a{)}^{*}$ (우변의 ${*}^{}$는 에르미트 수반)
  • $\rho (1)=1$ (항등 함수)

$A$의 *-표현 $(\mathscr{H},\rho )$에 대하여, 만약 $v\in \mathscr{H}$가 다음 조건을 만족시킨다면 순환 벡터라고 한다.틀:Rp

$\{\rho (a)x:a\in A\}$는 $\mathscr{H}$의 (노름으로 정의된 거리 위상에 대한) 조밀 집합이다.

성질

기초적 성질

복소수 대합 대수 $A$ 위의 상태 $f:A\to ℂ$가 주어졌을 때, 에르미트 형식

$B_f:A\times A\to ℂ$

$B_f:(a,b)\mapsto f(a^{*}b)$

을 정의할 수 있다. 이는 양의 준정부호이므로, 코시-슈바르츠 부등식

$|B_f(a,b){|}^2\le B_f(a,a)B_f(b,b)\mathrm{\forall }a,b\in A$

가 성립한다. 즉,

$|f(a^{*}b){|}^2\le f(a^{*}a)f(b^{*}b)\mathrm{\forall }a,b\in A$

이다.

C* 대수 위의 상태의 작용소 노름은 항상 1이다.틀:Rp 특히, 항상 연속 함수를 이룬다.

증명:

우선, 다음 보조 정리를 증명하자.

① C* 대수 $A$의 자기 수반 원소 $a\in A$가 $\Vert a\Vert \le 1$이라면, $b^2=1-a$인 자기 수반 원소 $b\in A$가 존재한다.

①의 증명: $a$로 생성되는 (1을 포함하는) 부분 C* 대수 $B\subseteq A$를 생각하자. 이는 가환 C* 대수이며, 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 대한 $B\cong {𝒞}^0(X,ℂ)$로 표현되며, 이 표현 아래 $x$는 치역이 $[-1,1]$의 부분 집합인 연속 함수 $f:X\to ℂ$에 대응된다. 이 경우, $\sqrt{1-f}$에 대응되는 원소가 $b\in B\subseteq A$이다.

임의의 C* 대수 $A$ 위의 임의의 상태 $f:A\to ℂ$를 생각하자. $f:1_A\mapsto 1_{ℂ}$이므로 $\Vert f\Vert \ge 1$이다. 즉, $\Vert f\Vert \le 1$임을 보이면 족하다.

임의의 $a\in A$에 대하여, $\Vert a\Vert \le 1$이라고 하자. 이제 $|f(a)|\le 1$임을 보이면 족하다. 그런데 코시-슈바르츠 부등식에 의하여

$|f(a){|}^2\le f(a^{*}a)$

이다. 즉, $f(a^{*}a)\le 1$, 즉 $f(1-a^{*}a)\ge 0$임을 보이면 족하다. 그런데 이는 보조 정리 ①에 의하여 참이다.

분해

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• C* 대수 $A$
• 유계 작용소 $f:A\to ℂ$

또한, 다음이 성립한다고 하자.

• 임의의 자기 수반 원소 $a\in A$에 대하여, $f(a)\in ℝ$

그렇다면, $f$는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다.

$f={\alpha }_{+}{f}_{+}-{\alpha }_{-}{f}_{-}$

여기서

• $f_{+},f_{-}:A\to ℂ$는 $A$ 위의 두 상태이다.
• ${\alpha }_{+},{\alpha }_{-}\in [0,\mathrm{\infty })$는 음이 아닌 두 실수이며, $\Vert f\Vert ={\alpha }_{+}+{\alpha }_{-}$이다.

정규 상태

폰 노이만 대수 $A$ 위의 상태 $f:A\to ℂ$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 상태를 정규 상태(正規狀態, 틀:Llang)라고 한다.틀:Rp

• $f\upharpoonright \mathrm{cl}{\mathrm{ball}}_A(0,1)$는 약한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
• $f\upharpoonright \mathrm{cl}{\mathrm{ball}}_A(0,1)$는 강한 작용소 위상 아래 연속 함수이다.
• 임의의 *-표현 $(\mathscr{H},\rho )$에 대하여, $\rho (a)=\mathrm{tr}(T\rho (a))$가 성립하는 대각합류 작용소 $T:\mathscr{H}\to \mathscr{H}$가 존재한다. (이 경우, $T$를 $f$의 밀도 행렬이라고 한다.)

겔판트-나이마르크-시걸 구성

겔판트-나이마르크-시걸 구성에 따르면, 다음이 성립한다.

① C* 대수 $A$의 상태 $f:A\to ℂ$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 *-표현 $(\mathscr{H},\rho )$ 및 그 속의 순환 벡터 $v\in \mathscr{H}$가 존재한다.틀:Rp

$\mathrm{\forall }a\in A:f(a)=⟨\rho (a)v,v⟩$

② 위 조건을 만족시키는, 순환 벡터가 부여된 두 *-표현 $(\mathscr{H},\rho ,v)$, $({\mathscr{H}}^{\prime },{\rho }^{\prime },v^{\prime })$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 전단사 유니터리 변환 $U:\mathscr{H}\to {\mathscr{H}}^{\prime }$이 존재한다.틀:Rp

$\mathrm{\forall }a\in A:{\rho }^{\prime }(a)=U\rho (a)U^{*}$

$\mathrm{\forall }a\in A:{\rho }^{\prime }(a)v^{\prime }=U\rho (a)v$

즉, C* 대수의 상태들은 순환 벡터가 부여된 *-표현들의 (②에 대한) 동치류들과 일대일 대응한다.

구성:

구체적으로, 상태 $f:A\to ℂ$에 대응하는 *-표현 및 순환 벡터는 다음과 같다.틀:Rp 우선, 양쪽 아이디얼

$\Im =\{a\in A:f(a^{*}a)=0\}$

를 정의하면, 복소수 힐베르트 공간은

$\mathscr{H}=\overline{A/\Im }$

이다. (위의 줄은 내적 공간의 완비화를 뜻한다.) 그 위의 내적은 다음과 같다.

$⟨a+\Im ,b+\Im {⟩}_{\mathscr{H}}=f(ab)\mathrm{\forall }a,b\in A$

그 위의 *-표현은 다음과 같다.

$\rho :A\to \mathrm{B}(\mathscr{H},\mathscr{H})$

$\rho :a\mapsto (b+ℐ\mapsto ab+\Im )$

그 위의 순환 벡터는 다음과 같다.

$v=1_A+\Im \in \mathscr{H}$

순수 상태 ⇔ 기약 *-표현

C* 대수 $A$의 *-표현 $(\mathscr{H},\rho )$가 다음 두 조건을 만족시킨다면 기약 *-표현(틀:Llang)이라고 한다.틀:Rp

• $\mathscr{H}\ne \{0\}$
• 임의의 닫힌 부분 벡터 공간 $V\subseteq \mathscr{H}$에 대하여, 만약 $\{0\}\ne V\ne \mathscr{H}$라면, $\rho (a)V\ne V$인 $a\in A$가 존재한다.

이 경우, 겔판트-나이마르크-시걸 구성 아래, 순수 상태들은 기약 *-표현(의 동치류)들과 일대일 대응한다.틀:Rp

예

임의의 유한 차원 복소수 힐베르트 공간 $\mathscr{H}={ℂ}^N$ 및 모든 $N\times N$ 복소수 행렬로 구성된 폰 노이만 대수 $𝒜=\mathrm{Mat}(N,N;ℂ)$를 생각하자. 이 경우, 대각합이 1인 에르미트 행렬 $\rho$를 생각하자.

$\mathrm{tr}\rho =1$

$\rho ={\rho }^{†}$

또한, $\rho$의 모든 고윳값이 음이 아닌 실수라고 하자. 그렇다면, 함수

$\mathrm{Mat}(N,N;ℂ)\to ℂ$

$O\mapsto \mathrm{tr}(\rho O)=\mathrm{tr}(O\rho )$

는 $\mathrm{Mat}(N,N;ℂ)$ 위의 상태를 이룬다.

이 가운데 순수 상태들은 $\rho =|v⟩⟨v|$ ($v\in {ℂ}^N$는 단위 벡터)의 꼴의 상태들이다. 이 경우

${\varphi }_{|v⟩⟨v|}:O\mapsto \mathrm{tr}(O|v⟩⟨v|)=⟨v|O|v⟩$

이다.

역사

상태의 개념은 양자역학에서 유래하였다.

겔판트-나이마르크-시걸 구성은 이즈라일 겔판트와 마르크 아로노비치 나이마르크가 1943년에 겔판트-나이마르크 정리를 증명하는 데 사용하였으나, 명시적으로 정의하지 않았다. 이후 어빙 에즈라 시걸(틀:Llang)이 겔판트와 나이마르크의 논문에서 이 개념을 추출하였다.

같이 보기

• 양자역학

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용
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