카르탕 행렬

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서, 카르탕 행렬(Cartan行列, 틀:Llang)은 특정 조건을 만족시키는 정수 정사각 행렬이다.

정의

정수 성분 정사각 행렬

$A\in \mathrm{Mat}(n;\mathbb{Z})$

가 다음 조건을 만족시킨다면, 카르탕 행렬이라고 한다.

• 모든 $i\in \{1,2,\dots ,n\}$에 대하여, $A_{ii}=2$
• 모든 $i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$에 대하여, 만약 $i\ne j$라면 $A_{ij}\le 0$
• 모든 $i,j\in \{1,2,\dots ,n\}$에 대하여, 만약 $A_{ij}=0$이라면 $A_{ji}=0$

딘킨 도표

카르탕 행렬 $A\in \mathrm{Mat}(n;\mathbb{Z})$가 주어졌을 때, 이에 대응하는 딘킨 도표(틀:Llang)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 그래프 $\mathrm{\Gamma }$

  $\mathrm{V}(\mathrm{\Gamma })=\{1,\dots ,n\}$

  $\mathrm{E}(\mathrm{\Gamma })=\{\{i,j\}:A_{ij}<0\}$

• 각 변 $\{i,j\}\in \mathrm{E}(\mathrm{\Gamma })$에 대하여, 양의 정수 순서쌍 $(|A_{ij}|,|A_{ji}|)$

이 데이터로부터 카르탕 행렬을 재구성할 수 있다.

분류

$n\times n$ 정사각 행렬 $M\in \mathrm{Mat}(n;R)$에 대하여, 만약

$M_{ij}=0\mathrm{\forall }i\in I,j\in \{1,\dots ,n\}\setminus J$

인 $\varnothing \ne I⊊\{1,\dots ,n\}$가 존재하지 않는다면, $M$을 분해 불가능 행렬(틀:Llang)이라고 하자. 모든 행렬은 분해 불가능 행렬들의 직합으로 표현된다.

분해 불가능 카르탕 행렬 $A$ 가운데, 다음과 같이 대각 행렬과 대칭 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 것을 대칭화 가능 카르탕 행렬(틀:Llang)이라고 한다.

$A=DS$, $D,S\in \mathrm{Mat}(n;ℝ)$

$S_{ij}=S_{ji}$

$D=\mathrm{diag}(D_{11},\dots ,D_{nn})$

이 경우, 항상 $D_{ij}$의 대각선 성분을 양의 정수로, $S_{ij}$의 성분을 유리수로 잡을 수 있다.

증명:

분해 가능 대칭화 가능 카르탕 행렬은 분해 불가능 대칭화 가능 카르탕 행렬들의 직합이므로, 분해 불가능인 경우만 고려하면 족하다.

$A$가 분해 불가능 대칭화 가능 카르탕 행렬이라고 하고, 그 분해를

$A=DS$

$D,S\in \mathrm{Mat}(n;ℝ)$

라고 하자. 이제, 각 $i\in \{1,\dots ,n\}$에 대하여, $2=A_{ii}=D_i{S}_{ii}$이므로 $D_{ii}\ne 0$이다.

이제, 각 $i,j\in \{1,\dots ,n\}$에 대하여, 만약 $A_{ij}\ne 0$이라면,

$D_i/D_j=A_{ij}/A_{ji}\in {\mathbb{Q}}^{+}$

이다. 분해 불가능 조건에 따라, 이 값들은 $(D_{11},\dots ,D_{nn})$의 사영 동치류를 결정하며, 성분의 비가 모두 양의 유리수이므로 이 동치류는 양의 정수 성분의 대표원

$\tilde{D}=aD\in \mathrm{Mat}(n;{\mathbb{Z}}^{+})$

$a\in {ℝ}^{\times }$

을 갖는다. 이 경우

$\tilde{S}=a^{-1}S$

를 놓으면

$A=\tilde{D}\tilde{S}$

이다. 또한,

${\tilde{S}}_{ij}=\frac{A_{ij}}{{\tilde{D}}_{ii}}\in \mathbb{Q}$

이므로,

$\tilde{S}\in \mathrm{Mat}(n;\mathbb{Q})$

이다.

대칭화 가능 카르탕 행렬은 $n$개의 실수 고윳값을 가진다. 대칭화 가능 카르탕 행렬 $A$들은 그 고윳값에 따라 다음과 같이 분류된다.

• 만약 $A$의 고윳값이 모두 양수일 경우, 카르탕 행렬을 유한형 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 복소수 단순 리 대수와 일대일 대응한다.
• 만약 $A$의 고윳값이 모두 양수 또는 0이며, 0을 하나 이상 포함할 경우, 카르탕 행렬을 아핀 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 아핀 리 대수와 일대일 대응한다.
• 만약 $A$의 고윳값이 음수를 포함한다면, 카르탕 행렬을 아핀 카르탕 행렬이라고 한다. 이 경우, 카르탕 행렬은 아핀 리 대수와 일대일 대응한다.

예

1×1 카르탕 행렬은

$A=\left(\begin{array}{c}2\end{array}\right)$

밖에 없다.

2×2 카르탕 행렬들은 다음과 같다.

$A=\left(\begin{array}{cc}2& a\\ b& 2\end{array}\right)$

2×2의 경우, 만약 $a,b\ne 0$이라면 항상

$A=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2/a& 1\\ 1& 2/b\end{array}\right)$

으로 놓을 수 있어, 항상 대칭 카르탕 행렬이다. $A$의 고윳값은

${\lambda }_{\pm }=2\pm \sqrt{ab}$

이다.

이 경우,

• 유한형 카르탕 행렬은 ($a\le b$라고 놓으면) $(a,b)\in \{(0,0),(-1,-1),(-2,-1),(-3,-1)\}$이다. 이들은 각각 반단순 리 대수 ${𝔞}_1\oplus {𝔞}_1$, ${𝔞}_2$, ${𝔟}_2={𝔠}_2$, ${𝔤}_2$에 대응된다.
• 아핀 카르탕 행렬은 ($a\le b$라고 놓으면) $(a,b)\in \{(-4,-1),(-2,-2)\}$이다. 이들은 각각 아핀 리 대수 ${𝔞}_1^{(1)}$ 및 ${𝔞}_2^{(2)}$에 해당한다.

역사

엘리 카르탕의 이름을 땄으나, 이름과 달리 빌헬름 킬링이 최초로 사용하였다.

같이 보기

• 기본 표현
• 킬링 형식

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드