단사 가군

틀:위키데이터 속성 추적 환론에서 단사 가군(單射加群, 틀:Llang)은 이를 포함하는 모든 가군을 직합으로 쪼갤 수 있는 가군이다. 가군의 범주에서의 단사 대상이다.

정의

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $Q$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 단사 왼쪽 가군이라고 한다.

• 임의의 짧은 완전열 $0\to Q\to M\to K$은 분할 완전열이다. 즉, 임의의 $R$ 위의 왼쪽 가군 $M$에 대하여 $Q\subset M$이라면, $M=Q\oplus N$인 부분 가군 $K\subset M$이 존재한다.
• $Q$는 범주 $R\text{-Mod}$의 단사 대상이다. 즉, 함자 $\mathrm{hom}(-,Q):R{\text{-Mod}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Ab}$은 완전 함자이다.
• 임의의 가군 준동형 $f:M\to Q$ 및 단사 가군 준동형 $\iota :M\hookrightarrow \tilde{M}$에 대하여, $\tilde{f}\circ \iota =f$인 가군 준동형 $\tilde{f}:\tilde{M}\to Q$가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.)

  $\begin{array}{ccccc}0& \to & M& \to & \tilde{M}\\ & & \downarrow & \swarrow \mathrm{\exists }\\ & & Q\end{array}$

• (베어 조건 틀:Llang) 임의의 왼쪽 아이디얼 $I\subseteq R$ 및 가군 준동형 $f:I\to Q$에 대하여, $\tilde{f}{|}_I=f$인 가군 준동형 $\tilde{F}:R\to Q$가 존재한다.

  $\begin{array}{ccccc}0& \to & I& \to & R\\ & & \downarrow & \swarrow \mathrm{\exists }\\ & & Q\end{array}$

마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 단사 오른쪽 가군을 정의할 수 있다.

성질

임의의 왼쪽 가군들의 집합 $\{M_i{\}}_{i\in I}$에 대하여, 다음이 동치이다.

• 직접곱 $\prod _{i\in I}{M}_i$이 단사 왼쪽 가군이다.
• 모든 $i\in I$에 대하여 $M_i$가 단사 왼쪽 가군이다.

유한 개의 가군의 직합은 직접곱과 같으므로, 위 성질이 성립한다.

배스-파프 정리 틀:Llang에 따르면, 임의의 환 $R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.틀:Rp

• $R$는 왼쪽 뇌터 환이다.
• $R$의 왼쪽 단사 가군들의 귀납적 극한은 단사 왼쪽 가군이다.
• $R$의 왼쪽 단사 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) 직합은 단사 왼쪽 가군이다.
• $R$의 가산 개의 왼쪽 단사 가군들의 직합은 단사 왼쪽 가군이다.

분류

단사 가군은 데데킨트 정역 또는 보다 일반적으로 뇌터 가환환 위에서 분류될 수 있다.

데데킨트 정역

데데킨트 정역 $D$ 위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다. (분해 불가능 가군은 자명하지 않은 가군들의 직합으로 나타낼 수 없는 가군이다.)

데데킨트 정역 $D$에 대하여, $D$ 위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은 $D$ 위의 소 아이디얼들의 집합 $\mathrm{Spec}D$와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}D$에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 다음과 같다.

• 만약 $𝔭\ne (0)$일 경우: $R_{𝔭}/R$
• 만약 $𝔭=(0)$일 경우: 분수체 $R_{(0)}=\mathrm{Frac}R$

여기서 $R_{𝔭}$는 $R\setminus 𝔭$에서의 국소화이다. 예를 들어, 분수체 $\mathrm{Frac}D=R_{(0)}$는 $D$의 분해 불가능 단사 가군이며, 영 아이디얼 $(0)\subset D$에 대응한다.

예를 들어, 데데킨트 정역인 정수환 $\mathbb{Z}$ 위의 단사 가군 (=나눗셈군) 가운데 분해 불가능 단사 가군인 것은 다음이 전부이다.

• 유리수체의 덧셈군 $\mathbb{Q}=\mathrm{Frac}D$
• 소수 $p$에 대하여, 프뤼퍼 군 $\mathbb{Z}(p^{\mathrm{\infty }})={\mathbb{Z}}_{(p)}/\mathbb{Z}$

모든 나눗셈군은 위 아벨 군들의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

뇌터 가환환

뇌터 가환환 $R$ 위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다.

뇌터 가환환 $R$에 대하여, $R$ 위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은 $R$ 위의 소 아이디얼들의 집합 $\mathrm{Spec}R$와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 $𝔭\in \mathrm{Spec}D$에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 $R/𝔭$의 단사 폐포(틀:Llang, $R/𝔭$를 포함하는 가장 작은 단사 가군)이다. $R/𝔭$의 단사 폐포는 표준적으로 $R_{𝔭}$-가군을 이루며, $R/𝔭$의 $R$-가군으로서의 단사 폐포는 $R/𝔭$의 $R_{𝔭}$-가군으로서의 단사 폐포와 일치한다.

예

자명 가군은 단사 가군이다. 체 위의 벡터 공간은 단사 가군이다.

정수환 위의 단사 가군은 나눗셈군이라고 한다.

임의의 정역 $R$ 위에서, $R$를 포함하는 가장 작은 단사 가군은 분수체 $\mathrm{Frac}R$이다. 특히, 체가 아닌 정역은 스스로 위의 단사 가군이 아니다.

스스로 위의 가군으로서의 환

몫환 $\mathbb{Z}/(n)$은 스스로의 가군으로서 단사 가군이다. 보다 일반적으로, 데데킨트 정역 $D$의 아이디얼 $𝔞⊊D$에 대하여 ($D\ne 𝔞$), $D/𝔞$는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

모든 프로베니우스 대수는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

역사

라인홀트 베어(틀:Llang, 1902~1979)가 1940년에 단사 가군의 개념을 정의하였고, 또 베어 조건을 증명하였다. 이후 단사 가군의 개념은 단사 대상으로 일반화되었다.

같이 보기

• 사영 가군
• 단사 대상
• 나눗셈군
• 단사층

각주

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab