프로베니우스 대수

틀:위키데이터 속성 추적 추상대수학에서 프로베니우스 대수(틀:Llang)는 호환되는 내적이 주어진 유한 차원 단위 결합 대수이다.

정의

체 $K$ 위의 유한 차원 결합 대수 $A$가 주어졌다고 하자. 이는 스스로 위의 쌍가군 ${}_A{A}_A$을 이룬다. 마찬가지로, 그 쌍대 가군

$A^{\vee }={\mathrm{hom}}_K(A,K)$

역시 스스로 위의 쌍가군 ${}_A{A^{\vee }}_A$을 이룬다. 구체적으로,

$a\cdot \varphi \cdot b:x\mapsto \varphi (bxa)$

이다.

그렇다면, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $A$-왼쪽 가군의 동형 ${}_{A}A\cong {}_A{A}^{\vee }$이 존재한다.
• $A$-오른쪽 가군의 동형 $A_A\cong {A^{\vee }}_A$이 존재한다.

증명:

왼쪽 가군의 동형

$\lambda :{}_{A}A\to {}_A{A}^{\vee }$

이 주어졌다고 하자. 즉,

$\lambda (a)(x)=\lambda (a,x)$

에 대하여,

$\lambda (a,xb)=\lambda (ba,x)$

라고 하자. 그렇다면,

$\rho :A\to A^{\vee }$

$\rho (a)(x)=\lambda (x,a)$

를 정의하면,

$(\rho (a)\cdot b)(x)=\rho (a)(bx)=\lambda (bx,a)=\lambda (x,ab)=\rho (ab)(x)$

이므로, $\rho$는 오른쪽 가군의 동형이다.

반대 방향의 함의도 마찬가지다.

또한, 이러한 동형이 존재할 필요 조건은 물론 $A$가 유한 차원 $K$-벡터 공간인 것이다.

이러한 동형이 갖추어진 $K$-결합 대수를 프로베니우스 대수라고 한다.

프로베니우스 대수 $(A,\lambda :{}_{A}A\to {}_A{A}^{\vee })$가 주어졌다면, 다음과 같은 구조들을 추가로 정의할 수 있다. 우선,

$⟨a,b⟩=\lambda (1)(ab)$

를 정의하자. 그렇다면,

$⟨ac,b⟩=\lambda (1)(acb)=⟨a,cb⟩$

이 성립한다. $\lambda$가 벡터 공간의 동형이므로, $⟨-,-⟩$는 비퇴화 쌍선형 형식이다. 이를 프로베니우스 형식이라고 한다.

또한, 대각합

$\mathrm{tr}:A\to k$

$\mathrm{tr}:a\mapsto \lambda (1)(a)$

을 정의할 수 있다.

만약 $\mathrm{tr}(ab)=\mathrm{tr}(ba)$라면, $V$를 대칭 프로베니우스 대수(틀:Llang)이라고 한다.

가환환인 프로베니우스 대수를 가환 프로베니우스 대수(틀:Llang)라고 한다.

프로베니우스 대상

보다 일반적으로 모노이드 범주 $(𝒞,\otimes ,1)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 반대 범주 $({𝒞}^{\mathrm{op}},\otimes ,1)$ 역시 같은 텐서곱으로 모노이드 범주를 이룬다.

$𝒞$ 속의 프로베니우스 대상(틀:Llang)은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 모노이드 대상 $(A,\mu :A\otimes A\to 1,\eta :1\to A)$
• 쌍대 모노이드 대상 (즉, ${𝒞}^{\mathrm{op}}$의 모노이드 대상) $(A,\delta :A\to A\otimes A,\eta :A\to 1)$

이 두 구조는 다음과 같은 호환 관계를 만족시켜야 한다.

$\begin{array}{ccc}& & A^{\otimes 3}\\ & {}^{\delta \otimes \mathrm{id}}\nearrow {\mathrm{\backslash color}}^{\delta \otimes \mathrm{id}}& & {}^{\mathrm{id}\otimes \mu }\searrow {}^{\mathrm{id}\otimes \mu }\\ A^{\otimes 2}& \to \mu & A& \to \delta & A^{\otimes 2}\\ & {}_{\mathrm{id}\otimes \delta }\searrow {\mathrm{\backslash color}}_{\mathrm{id}\otimes \delta }& & {}_{\mu \otimes \mathrm{id}}\nearrow {}_{\mu \otimes \mathrm{id}}\\ & & A^{\otimes 3}\end{array}$

(편의상, 모노이드 범주의 결합자 등을 생략하였다.)

위상 양자장론과의 관계

바지 곡면(틀:Llang). 이 곡면에서의 분배 함수는 가환 프로베니우스 대수의 곱셈을 정의한다.

2차원 위상 양자장론은 가환 프로베니우스 대수로 나타내어진다.틀:Rp 정확히 말하면, (복소) 가환 프로베니우스 대수의 범주는 2차원 위상 양자장론의 범주와 동치이다. 프로베니우스 대수와 위상 양자장론은 다음과 같이 대응된다.

기호	가환 프로베니우스 대수	2차원 위상 양자장론
$V$	프로베니우스 대수	원 $S^1$의 힐베르트 공간 $E(S^1)$
$⟨\cdot ,\cdot ⟩$	프로베니우스 형식	힐베르트 공간의 내적
$\cdot :V\times V\to V$	곱셈	바지 곡면(en:pair of pants (mathematics))의 분배 함수
$1\in V$	곱셈의 단위원	원판의 분배 함수 $Z(D^2)\in E(\partial D^2)=E(S^1)$

예

체 $K$ 위의 행렬환 $\mathrm{Mat}(n;K)$ 위의 임의의 부분환 $R\subseteq \mathrm{Mat}(n;K)$이 주어졌을 때, 프로베니우스 형식

$⟨a,b⟩=\mathrm{tr}(ab)$

을 주면, 이는 $K$ 위의 프로베니우스 대수를 이룬다. $n>1$이면 이는 가환 대수가 아니다.

모든 유한 차원 호프 대수는 프로베니우스 대수이다.

군환

임의의 유한군 $G$에 대하여, 군환 $K[G]$ 위에 프로베니우스 형식

$⟨a,b⟩={\mathrm{proj}}_{K{1}_G}(ab)$

을 부여하면, 프로베니우스 대수를 이룬다. 여기서 ${\mathrm{proj}}_{K{1}_G}:K[G]\to K$는 군의 항등원으로 생성되는 1차원 부분 공간으로의 사영이다. 즉,

$⟨\sum _{g\in G}{a}_{g}g,\sum _{h\in G}{b}_{h}h⟩=\sum _{g\in G}{a}_g{b}_{g^{-1}}$

이다. 이 경우, 대각합은

$\mathrm{tr}:\sum _{g\in G}{a}_{g}g\mapsto a_1$

이다.

표현환

유한군 $G$가 주어졌다고 하자. $G$의 유리수 계수 유니터리 표현환

$A=\mathrm{RU}(G){\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}$

위에 프로베니우스 형식

$⟨\rho ,{\rho }^{\prime }⟩={\mathrm{proj}}_1\rho \otimes {\rho }^{\prime }$

를 부여하자. 여기서

${\mathrm{proj}}_1:A\to \mathbb{Q}$

은 자명한 표현으로의 사영 사상이다. 이 경우

$⟨{\rho }_1\otimes {\rho }_2,{\rho }_3⟩=⟨{\rho }_1,{\rho }_2\otimes {\rho }_3⟩$

은 ${\rho }_1\otimes {\rho }_2\otimes {\rho }_3$의 기약 표현 분해에 포함된 자명한 표현의 차원이 된다.

역사 및 어원

리하르트 브라우어와 세실 네스빗(틀:Llang)이 1937년 도입하였고, 페르디난트 게오르크 프로베니우스의 이름을 땄다.

같이 보기

• 호프 대수

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용