특수선형군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 특수선형군(特殊線型群, 틀:Lang)은 행렬식이 1인 정사각행렬들이 이루는 군이다. 기호는 $\mathrm{SL}(n,𝔽)$.

정의

$𝔽$가 체라고 하자. 특수선형군 $SL(n,𝔽)$는 행렬식이 1인 $n\times n$ 정사각행렬들이 이루는, 곱셈에 대한 군이다.

성질

특수선형군은 일반선형군의 정규 부분군이며, 행렬식 군 준동형의 핵이다. 즉, 다음과 같은 행렬식 사상

$\det :\mathrm{GL}(n,𝔽)\to F^{\times }$

이 주어졌을 때 (${𝔽}^{\times }$는 0이 아닌 체의 원소들의 곱셈군), 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to \mathrm{SL}(n,𝔽)\hookrightarrow \mathrm{GL}(n,𝔽)\stackrel{\det }{\twoheadrightarrow }{𝔽}^{\times }\to 1$.

만약 $𝔽$가 $ℝ$ 또는 $ℂ$이라면, $SL(n,𝔽)$는 리 군을 이룬다. 이 리 군의 차원은 $n^2-1$차원이다 (실수 또는 복소 차원). 이에 대한 리 대수 $𝔰𝔬(n,𝔽)$는 대각합이 0인 $n\times n$ 정사각행렬들로 구성된다.

특수한 경우

• $\mathrm{SL}(2,ℂ)$는 뫼비우스 변환의 군 $\mathrm{PSL}(2,ℂ)$의 두 겹 피복 공간이다. (이는 $M\sim -M$으로 몫군을 취했기 때문이다.)
• 마찬가지로, $\mathrm{SL}(2,ℝ)$는 복소 반평면의 자기동형사상군 $\mathrm{PSL}(2,ℝ)$의 두 겹 피복 공간이다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드

같이 보기

• 일반선형군
• 2차원 실수 특수선형군