유계형 집합

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 유계형 집합(有界型集合, 틀:Llang)은 유계 부분 집합들의 집합족이 명시된 집합이다.

정의

집합 $X$ 위의 유계형(有界型, 틀:Llang)은 다음 두 조건을 만족시키는 집합족 $ℬ\subseteq 𝒫(X)$이다.

• 덮개이다. 즉, $\bigcup ℬ=X$이다.
• 순서 아이디얼이다. 즉, 다음 세 조건이 성립한다.
  • $\varnothing \in ℬ$
  • (하집합성) 임의의 $B\in ℬ$ 및 $S\subseteq X$에 대하여, $S\cap B\in ℬ$
  • (상향성) 임의의 $B,B^{\prime }\in ℬ$에 대하여, $B\cup B^{\prime }\in ℬ$

$ℬ$의 원소를 유계 집합이라고 한다.

유계형을 갖춘 집합 $(X,ℬ)$를 유계형 집합이라고 한다.

같은 집합 $X$ 위의 두 유계형 $ℬ$, ${ℬ}^{\prime }$에 대하여, 만약 $ℬ\subseteq {ℬ}^{\prime }$이라면, $ℬ$가 더 엉성하다(틀:Llang)고 하며, 반대로 ${ℬ}^{\prime }$이 더 섬세하다(틀:Llang)고 한다.

두 유계형 집합 $(X,{ℬ}_X)$, $(Y,{ℬ}_Y)$ 사이의 함수 $f:X\to Y$가 다음 조건을 만족시킨다면, 유계형 함수(틀:Llang)라고 한다.

• 유계 집합의 상은 유계 집합이다. 즉, 임의의 $B_X\in {ℬ}_X$에 대하여, $f(B_X)\in {ℬ}_Y$이다.

성질

임의의 유계형 집합 $(X,ℬ)$에서, $X$의 유한 부분 집합은 항상 유계 집합이다.

유계형 집합과 유계형 함수들의 범주는 준토포스이다.틀:Rp

예

집합

집합 $X$ 및 무한 기수 $\kappa$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기가 $\kappa$ 미만인 부분 집합들의 족

${𝒫}_{<\kappa }(X)=\{S\subseteq X:|S|<\kappa \}$

은 유계형 집합을 이룬다.

특수한 경우로 다음이 있다.

• $\kappa ={\mathrm{\aleph }}_0$인 경우, ${𝒫}_{<{\mathrm{\aleph }}_0}(X)$-유계 집합은 유한 부분 집합이다. 이는 $X$ 위의 가장 엉성한 유계형이다.
• $\kappa >|S|$인 경우, 모든 부분 집합이 ${𝒫}_{<\kappa }(X)$-유계 집합이다. 이는 $X$ 위의 가장 섬세한 유계형이다.

특히, 만약 $X$가 유한 집합일 경우 ${ℬ}_{<\kappa }=𝒫(X)$들은 $\kappa$에 관계없이 모두 일치하며, 이는 $X$ 위의 유일한 유계형이다.

위상 공간

T₁ 공간 $X$에서, 폐포가 콤팩트 집합인 부분 집합들의 족은 유계형을 이룬다.

거리 공간

거리 공간 $(X,d)$에서, 다음과 같은 집합족은 유계형을 이룬다.

$ℬ=\{S\subseteq X:{\mathrm{diam}}_{d}S<\mathrm{\infty }\}$

여기서

$\mathrm{diam}S=\underset{s,t\in S}{\sup }d(s,t)$

는 $S$의 지름이다.

위상 벡터 공간

위상체 $K$ 위의 위상 벡터 공간 $V$ 위의 폰 노이만 유계형(틀:Llang)은 다음과 같다.

$B\in ℬ⟺\mathrm{\forall }U\in {𝒩}_0\mathrm{\exists }r\in K^{\times }:B\subseteq rU$

여기서

• ${𝒩}_0$는 영벡터의 근방 필터이다.
• $K^{\times }=K\setminus \{0\}$는 $K$의 가역원군이다.

두 위상 벡터 공간 $V$, $W$ 사이의 연속 선형 변환 $T:V\to W$은 폰 노이만 유계 함수이다.

증명:

$T$가 연속 함수라고 하자. 임의의 폰 노이만 유계 집합 $B\subseteq V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 열린 근방 $U\ni 0_W$에 대하여, $T^{-1}(U)\ni 0_V$는 $0_V$의 열린 근방이다. $B$가 폰 노이만 유계 집합이므로, $B\subseteq r{T}^{-1}(U)$인 $r\in K^{\times }$가 존재한다. 따라서 $T(B)\subseteq rU$이며, 따라서 $T(B)$ 역시 폰 노이만 유계 집합이다.

그러나 일반적으로 폰 노이만 유계 선형 변환이 연속 함수일 필요는 없다. 다만, 만약 $V$가 거리화 가능 국소 볼록 배럴 공간이며 $W$가 국소 볼록 공간인 경우, 선형 변환 $V\to W$에 대하여 연속 함수인 것은 유계인 것과 동치이다.

순서 집합

$(X,\lesssim )$가 상향 원순서 집합이라고 하자. 그렇다면, 상계를 갖는 부분 집합들의 족

${ℬ}_{\text{ub}}(X)=\{S\subseteq X:\mathrm{\exists }a\in X\mathrm{\forall }s\in S:a\gtrsim s\}$

은 유계형을 이룬다. 마찬가지로, $(X,\lesssim )$가 하향 원순서 집합이라면, 하계를 갖는 부분 집합들의 족

${ℬ}_{\text{lb}}(X)=\{S\subseteq X:\mathrm{\exists }a\in X\mathrm{\forall }s\in S:a\lesssim s\}$

은 유계형을 이룬다. 만약 $(X,\lesssim )$가 상향 원순서 집합이자 하향 원순서 집합이라면 (예를 들어, $X$가 공집합이 아닌 전순서 집합이라면), 상계와 하계를 둘 다 갖는 부분 집합들의 족

${ℬ}_{\text{b}}={ℬ}_{\text{ub}}\cap {ℬ}_{\text{lb}}$

역시 유계형을 이룬다.

측도 공간

측도 공간 $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\mu$는 완비 측도이며, 모든 한원소 집합은 가측 집합이자 그 측도가 0이다.
• 측도가 0인 가측 집합들의 족 $\{S\in \mathrm{\Sigma }:\mu (S)=0\}$은 유계형을 이룬다.

역사

유계형 집합의 개념은 조지 매키(틀:Llang)가 최초로 연구하였다. 이후 니콜라 부르바키가 "유계형"(틀:Llang)이라는 용어를 도입하였다. 이는 틀:Llang(유계 집합) + 틀:Llang(위상 틀:Llang의 어미)의 합성어이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab
• 틀:Nlab